量子信息学引论第5讲
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其中 a1 和 a2 为A状态空间的两个矢量, b1 和 b2 为B状态空间的两个矢量。
24
偏迹的说明
trB a1 a2 b1 b2 a1 a2 tr b1 b2
上式右端的迹操作, 是对系统B的通常的迹操 作, 所以:
tr ( b1 b2 ) b2 b1
以上只在AB上的一个特殊子类上定义了偏迹 的操作, 通过要求偏迹还满足对于其输入为线 性的条件, 可完成整个定义.
量子信息学引论
Introduction to Quantum Information Science 第五讲
清华大学 2012.10.17
1
复习 内容回顾
量子力学假定 把物理概念与数学概念联系起来
状态空间 → Hilbert空间 时间演化 → 酉变换 测量 → 测量算子 复合系统 → 张量积空间
泡利矩阵
0 x 1 21 1 , 0
1
此图不能表示多量子位(multiqubit)
0 i y , i 0
1 0 z 0 1
量子位的几何表示, Bloch球面
例子
0
1 0 1 2 对应 , =0 2
此态为一混合态
31
tr((I/2)2)=1/2<1
Bell态及其子系统的状态
00 11
2
Bell 态为纯态，因其状态精确已知。
2 tr((I/2) )=1/2<1
Bell 态子系统为一混合态
联合系统的状态完全已知，为一纯态，而其子系
统却处于混合态，这是量子纠缠的一个重要特点。
32
量子隐形传态
其中 为系统A的密度算子, 密度算子. 则: A
trB tr
B
28
Bell态及其子系统的状态是否为纯态?
Bell态:
00 11 2
Bell态是纯态，因为我们可以知道系统精确地处在 这一状态。
29
Bell态的密度算子
00 11
2
11 11 11
36
Alice在计算基上测量后系统的状态
¼的概率得到 ¼的概率得到
¼的概率得到 ¼的概率得到
10 0 1 11 1 0
00 0 1 01 1 0
37
Alice测量时所用的测量算子
00 01 M m 10 11
23
约化密度算子的定义:
假设由系统A和B组成了复合系统，它的密度算子是 AB，则系统A的约化密度算子就定义为
A trB ( )
AB
trB是一算子映射，称为系统B上的偏迹(partial trace):
trB ( a1 a2 b1 b2 ) a1 a2 tr ( b1 b2 )
7
例子:测量结果丢失后系统状态
测量结果m（Mm）丢失后，我们仅知道系统 处在m的概率为p(m),这时的系统可以用下面 密度算子描述：
p m m
m
MmM tr M M m tr M m M m m
m m M m M m m
00 I B , 01 I B , 10 I B , 11 I B
38
Alice测量后, 系统的密度算子:
1 * * 00 00 0 1 0 1 4 * * 01 01 1 0 1 0
如何实验实现，参阅：Phys. Rev. Lett. 76, 4656 (1996)
5
密度算子
The density operator
• 量子力学的形式化语言：态矢量（State vector), 密度 算子（或密度矩阵: density matrix）。 • 此二方法在数学上等价，但密度算子对思考一些量 子力学中常见的现象更方便。 • 用量子态系综的概念引入密度算子 • 发展密度算子的一般性质。
B * * * * * * *
*
0
8
量子力学引论 II
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 2.3 2.4 状态空间 量子状态演化 量子测量 区分量子态 投影测量 POVM测量 相位 复合系统 量子力学: 总览 超密编码 密度算子
密度算子的一般性质
General properties of the density operator 一个算子是与某个系综相联系的密度算 子，当且仅当: 1）其迹为1。 2）算子为正定的。
6
量子态系综
Ensembles of quantum states
密度算子(密度矩阵)在描述状态不完全已知 的系统时很有用。设系统处于 i 态的概率 为pi ，则纯态的系综定义为:
p ,
i i
系统密度算子(密度矩阵):
pi i i
i
量子力学的假定都可以用密度算子的语言重 新描述。
25
复合系统外积的一个恒等式
b2 已知： a1 和 a 2 为系统 A 的状态空间中的矢量； b1 和
为系
统 B 的状态空间中的矢量. 求证: a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 . 证明: 设 ab 为张量积空间A B 中的任意矢量, 则: a1b1 a 2 b2 ab a1 a2 b1 b2 ab
• 例:
18
什么样的系综产生一个特定的 密度矩阵?
~ ~ . ~ 生成算子 ， i i i i 与普通密度算子系综的关系由 ~i pi i 来描述。
定义: (集合生成算子) 设集合
定理2.6: (在密度矩阵的系综中的酉自由) ~ ~ 两个集合 i 和 j 生成相同的密度矩阵,当且仅当:
超密编码
• Alice 和Bob各拥有量子纠缠对的一半. • Alice 可用超密编码送给Bob两个经典位, 而只使用一 个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态.
4
第一位经Alice变换后系统的状态(左) 与Bell态(右)的比较
00 11 I 00 : 2 00 11 Z 01: 2 10 01 X 10 : 2 10 01 iY 11: 2
10
密度算子性质的应用
• 可以不依赖状态矢量的语言. • 用密度算子可以对量子力学的假定重新陈 述.
11
假定1: 系统状态
与任何孤立物理系统相联系的是一个具 有内积的复矢量空间(即Hilbert空间), 称为系统 的状态空间. 系统由其密度算子完备描述, 此密度算子 为正定的且迹为1, 作用于系统的状态空间上. 如果一个量子系统以概率 pi 处于 i , 则系统的 密度算子为:
i
整体相因子e 可以略去
i
20
单比特的几何表示, Bloch球面
cos
2 0 e sin
i
2
1
0
和确定了三维单位球面上 的一个点。这个球面通常称 作Bloch球面。
1 1 I sin cos x 2 2 1 1 sin sin y cos z 2 2
p
i i
i
12
假定2: 状态演化
一个封闭量子系统的演化是由一 个酉变换来描述的。即系统在时刻t1的 状态与系统在时刻t2的状态是由只依 赖于时刻t1和t2的酉算子U 来描述的:
' UU
13
假定3: 量子测量
量子测量由一组测量算子的集合 M m 来描述。 这些是作用在被测系统的状态空间上的算子。 索引m 指的是实验中可能发生的测量结。
a
2
a b2 b
得证.
a1b1 a2b2 a1 a2 b1 b2
26
为什么要采用约化密度算子?
• 约化密度算子提供了对子系统测量 时的正确的测量统计. • 下面的例子可以帮助理解约化密度 算子.
27
例: 乘积态的约化密度算子
• 设一个量子系统处于乘积态:
AB
为系统B的
0 1
？？？
1 00 11 2
Nature 390, 575 (1997)
量子传态与约化密度算子
• 约化密度算子的一个重要应用: 分析量子传态. • 量子传态是从Alice到Bob传送量子信息的步骤, 其 中Alice与Bob共用一个EPR对, 且可通过经典信道 传送经典信息。
10 10 0 1 11 11 1 0
*
0 1
*
*
*
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 0
39
将Alice的系统求迹, 得到Bob系统的约化密度算子: 1 0 1 0 1 1 0 1 4 0 1 0 1 1 0 1 0
练习：如果是混合态那么表示Block矢量的点应位 于球面还是在球内？
22
1
约化密度算子 The reduced density operator
• 密度算子的一个最重要的应用是作为描述 复合系统的子系统的工具. • 这个描述是由约化密度算子提供的. • 约化密度算子在分析复合量子系统时不可 缺少.
如果测试前系统的状态为 概率为:
且测量后系统的状态为:
, 则测得结果m的
p( m) tr M m Mm
M m M m tr M m Mm
测量算子满足完备性方程:
M
m
m
Mm I
14
假定4: 复合系统
•一个复合物理系统的状态空间是组元物理 系统的状态空间的张量积. •进一步地, 拥有编号从1到n的系统，且第i号 系统被制备到状态 i , 则全系统的联合状态(joint state)是：
00 11 00 11 2 2 00 00 11 00 00 2
30
对第二个量子位进行迹运算, 得到第一个量子位的约化密度算子 ' tr2
tr2 00 00 tr2 11 00 tr2 00 11 tr2 11 11 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 11 2 0 0 1 1 2 I 2
~ u ~ , ij j i
j
其中, uij 是具有复数元素的酉阵, 具有索引i和j, 并且我们对于矢量集合 ~ ~ 小的那个附加另外的矢量0, 使得这两个集合具有同样数目 或
i
j
的元素.
19
纯态量子比特
对于任意迭加态
0 1
用角度来表示：
i e cos 0 e sin 1 2 2
a1b1 a 2 b2 ab a1b1
a1 a 2 a b1 b2 b a1 a 2 a b1 b2 b a 2 a b2 b a1 b1 a 2 a b2 b a1b1 .
a 2 a b2 b a1b1 .
1 2 n
15
密度算子的两个重要应用
• 描述状态未知的量子系统. • 描述一个复合量子系统的子系统.
16
密度算子的两个值得注意的问题
• (1) 密度矩阵的本征值和本征向量对量子态 系统是否的特殊意义? • (2) 什么样的系统给出一个特定的密度矩阵?
17
密度矩阵的本征值和本征向量对量子 态系综是否有特殊意义? 无!
34
量子传态能否超光速传送信息?
• 初看起来, 似乎量子传态能用来作超光速通 信, 但这根据相对论是不可能的. • 在1.3.7节中推测, 阻止超光速通信的是需要 Alice把测量结果传送给Bob. • 约化密度算子允许我们将此推测严格化.
35
在Alice测量前三个量子位的状态
1 2 [ 00 0 1 01 1 0 2 10 0 1 11 1 0 ].
24
偏迹的说明
trB a1 a2 b1 b2 a1 a2 tr b1 b2
上式右端的迹操作, 是对系统B的通常的迹操 作, 所以:
tr ( b1 b2 ) b2 b1
以上只在AB上的一个特殊子类上定义了偏迹 的操作, 通过要求偏迹还满足对于其输入为线 性的条件, 可完成整个定义.
量子信息学引论
Introduction to Quantum Information Science 第五讲
清华大学 2012.10.17
1
复习 内容回顾
量子力学假定 把物理概念与数学概念联系起来
状态空间 → Hilbert空间 时间演化 → 酉变换 测量 → 测量算子 复合系统 → 张量积空间
泡利矩阵
0 x 1 21 1 , 0
1
此图不能表示多量子位(multiqubit)
0 i y , i 0
1 0 z 0 1
量子位的几何表示, Bloch球面
例子
0
1 0 1 2 对应 , =0 2
此态为一混合态
31
tr((I/2)2)=1/2<1
Bell态及其子系统的状态
00 11
2
Bell 态为纯态，因其状态精确已知。
2 tr((I/2) )=1/2<1
Bell 态子系统为一混合态
联合系统的状态完全已知，为一纯态，而其子系
统却处于混合态，这是量子纠缠的一个重要特点。
32
量子隐形传态
其中 为系统A的密度算子, 密度算子. 则: A
trB tr
B
28
Bell态及其子系统的状态是否为纯态?
Bell态:
00 11 2
Bell态是纯态，因为我们可以知道系统精确地处在 这一状态。
29
Bell态的密度算子
00 11
2
11 11 11
36
Alice在计算基上测量后系统的状态
¼的概率得到 ¼的概率得到
¼的概率得到 ¼的概率得到
10 0 1 11 1 0
00 0 1 01 1 0
37
Alice测量时所用的测量算子
00 01 M m 10 11
23
约化密度算子的定义:
假设由系统A和B组成了复合系统，它的密度算子是 AB，则系统A的约化密度算子就定义为
A trB ( )
AB
trB是一算子映射，称为系统B上的偏迹(partial trace):
trB ( a1 a2 b1 b2 ) a1 a2 tr ( b1 b2 )
7
例子:测量结果丢失后系统状态
测量结果m（Mm）丢失后，我们仅知道系统 处在m的概率为p(m),这时的系统可以用下面 密度算子描述：
p m m
m
MmM tr M M m tr M m M m m
m m M m M m m
00 I B , 01 I B , 10 I B , 11 I B
38
Alice测量后, 系统的密度算子:
1 * * 00 00 0 1 0 1 4 * * 01 01 1 0 1 0
如何实验实现，参阅：Phys. Rev. Lett. 76, 4656 (1996)
5
密度算子
The density operator
• 量子力学的形式化语言：态矢量（State vector), 密度 算子（或密度矩阵: density matrix）。 • 此二方法在数学上等价，但密度算子对思考一些量 子力学中常见的现象更方便。 • 用量子态系综的概念引入密度算子 • 发展密度算子的一般性质。
B * * * * * * *
*
0
8
量子力学引论 II
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 2.3 2.4 状态空间 量子状态演化 量子测量 区分量子态 投影测量 POVM测量 相位 复合系统 量子力学: 总览 超密编码 密度算子
密度算子的一般性质
General properties of the density operator 一个算子是与某个系综相联系的密度算 子，当且仅当: 1）其迹为1。 2）算子为正定的。
6
量子态系综
Ensembles of quantum states
密度算子(密度矩阵)在描述状态不完全已知 的系统时很有用。设系统处于 i 态的概率 为pi ，则纯态的系综定义为:
p ,
i i
系统密度算子(密度矩阵):
pi i i
i
量子力学的假定都可以用密度算子的语言重 新描述。
25
复合系统外积的一个恒等式
b2 已知： a1 和 a 2 为系统 A 的状态空间中的矢量； b1 和
为系
统 B 的状态空间中的矢量. 求证: a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 . 证明: 设 ab 为张量积空间A B 中的任意矢量, 则: a1b1 a 2 b2 ab a1 a2 b1 b2 ab
• 例:
18
什么样的系综产生一个特定的 密度矩阵?
~ ~ . ~ 生成算子 ， i i i i 与普通密度算子系综的关系由 ~i pi i 来描述。
定义: (集合生成算子) 设集合
定理2.6: (在密度矩阵的系综中的酉自由) ~ ~ 两个集合 i 和 j 生成相同的密度矩阵,当且仅当:
超密编码
• Alice 和Bob各拥有量子纠缠对的一半. • Alice 可用超密编码送给Bob两个经典位, 而只使用一 个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态.
4
第一位经Alice变换后系统的状态(左) 与Bell态(右)的比较
00 11 I 00 : 2 00 11 Z 01: 2 10 01 X 10 : 2 10 01 iY 11: 2
10
密度算子性质的应用
• 可以不依赖状态矢量的语言. • 用密度算子可以对量子力学的假定重新陈 述.
11
假定1: 系统状态
与任何孤立物理系统相联系的是一个具 有内积的复矢量空间(即Hilbert空间), 称为系统 的状态空间. 系统由其密度算子完备描述, 此密度算子 为正定的且迹为1, 作用于系统的状态空间上. 如果一个量子系统以概率 pi 处于 i , 则系统的 密度算子为:
i
整体相因子e 可以略去
i
20
单比特的几何表示, Bloch球面
cos
2 0 e sin
i
2
1
0
和确定了三维单位球面上 的一个点。这个球面通常称 作Bloch球面。
1 1 I sin cos x 2 2 1 1 sin sin y cos z 2 2
p
i i
i
12
假定2: 状态演化
一个封闭量子系统的演化是由一 个酉变换来描述的。即系统在时刻t1的 状态与系统在时刻t2的状态是由只依 赖于时刻t1和t2的酉算子U 来描述的:
' UU
13
假定3: 量子测量
量子测量由一组测量算子的集合 M m 来描述。 这些是作用在被测系统的状态空间上的算子。 索引m 指的是实验中可能发生的测量结。
a
2
a b2 b
得证.
a1b1 a2b2 a1 a2 b1 b2
26
为什么要采用约化密度算子?
• 约化密度算子提供了对子系统测量 时的正确的测量统计. • 下面的例子可以帮助理解约化密度 算子.
27
例: 乘积态的约化密度算子
• 设一个量子系统处于乘积态:
AB
为系统B的
0 1
？？？
1 00 11 2
Nature 390, 575 (1997)
量子传态与约化密度算子
• 约化密度算子的一个重要应用: 分析量子传态. • 量子传态是从Alice到Bob传送量子信息的步骤, 其 中Alice与Bob共用一个EPR对, 且可通过经典信道 传送经典信息。
10 10 0 1 11 11 1 0
*
0 1
*
*
*
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 0
39
将Alice的系统求迹, 得到Bob系统的约化密度算子: 1 0 1 0 1 1 0 1 4 0 1 0 1 1 0 1 0
练习：如果是混合态那么表示Block矢量的点应位 于球面还是在球内？
22
1
约化密度算子 The reduced density operator
• 密度算子的一个最重要的应用是作为描述 复合系统的子系统的工具. • 这个描述是由约化密度算子提供的. • 约化密度算子在分析复合量子系统时不可 缺少.
如果测试前系统的状态为 概率为:
且测量后系统的状态为:
, 则测得结果m的
p( m) tr M m Mm
M m M m tr M m Mm
测量算子满足完备性方程:
M
m
m
Mm I
14
假定4: 复合系统
•一个复合物理系统的状态空间是组元物理 系统的状态空间的张量积. •进一步地, 拥有编号从1到n的系统，且第i号 系统被制备到状态 i , 则全系统的联合状态(joint state)是：
00 11 00 11 2 2 00 00 11 00 00 2
30
对第二个量子位进行迹运算, 得到第一个量子位的约化密度算子 ' tr2
tr2 00 00 tr2 11 00 tr2 00 11 tr2 11 11 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 11 2 0 0 1 1 2 I 2
~ u ~ , ij j i
j
其中, uij 是具有复数元素的酉阵, 具有索引i和j, 并且我们对于矢量集合 ~ ~ 小的那个附加另外的矢量0, 使得这两个集合具有同样数目 或
i
j
的元素.
19
纯态量子比特
对于任意迭加态
0 1
用角度来表示：
i e cos 0 e sin 1 2 2
a1b1 a 2 b2 ab a1b1
a1 a 2 a b1 b2 b a1 a 2 a b1 b2 b a 2 a b2 b a1 b1 a 2 a b2 b a1b1 .
a 2 a b2 b a1b1 .
1 2 n
15
密度算子的两个重要应用
• 描述状态未知的量子系统. • 描述一个复合量子系统的子系统.
16
密度算子的两个值得注意的问题
• (1) 密度矩阵的本征值和本征向量对量子态 系统是否的特殊意义? • (2) 什么样的系统给出一个特定的密度矩阵?
17
密度矩阵的本征值和本征向量对量子 态系综是否有特殊意义? 无!
34
量子传态能否超光速传送信息?
• 初看起来, 似乎量子传态能用来作超光速通 信, 但这根据相对论是不可能的. • 在1.3.7节中推测, 阻止超光速通信的是需要 Alice把测量结果传送给Bob. • 约化密度算子允许我们将此推测严格化.
35
在Alice测量前三个量子位的状态
1 2 [ 00 0 1 01 1 0 2 10 0 1 11 1 0 ].