八年级数学《三角形的证明》综合复习导学案

《三角形的证明》综合复习导学案
学习目标
1、梳理本章知识，纳入三角形知识体系，综合前面所学基本事实和定理，体会前后知识的联系。

2、复习等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的相关定理，尝试解决较为复杂的三角形证明或求解问题。

3、进一步了解互逆命题、互逆定理的概念。

学习重难点
重点：明确所学定理的条件和结论，结合习题归纳总结定理的用法，得出三角形证明
的一般思路。

难点：根据题目要求，由合情推理上升到演绎推理，能写出完整准确的推理证明过程。

学法指导
三角形的证明这一章主要学习了两种特殊图形：等腰三角形和直角三角形，其中
等腰三角形中的等边三角形也是非常重要的研究对象，本章的主要内容是以这些特殊
图形为依托，又介绍了线段垂直平分线和角平分线，利用这些图形的性质和判定定理
来解决问题，由于定理比较多，所以要正确运用定理解决问题，首先必须将课本上的
定理烂熟于心，并能熟练的根据图形写出定理的几何语言表达形式，这样才能由题目
中的条件想到相应的结论。

或由结论寻找相应的条件，综合分析图形，利用恰当的定
理求解或证明。

另外，在解题时还需要注意运用类比，归纳，转化等数学思想一题多解，触类旁通，优化解题思路和解题方法。

学习内容
一、知识梳理
（一）8条基本事实
1．两点确定一条直线.
2．两点之间线段最短.
3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
5.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两直线平行.
（简述为：同位角相等，两直线平行.）
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
（二）本章知识系统结构图
（三）相关知识点
二、举例说明如何用几何符号写出定理的条件和结论
以上三组定理都是互逆定理，在书写时条件与结论不能颠倒，要明确每一个定理的条件能引出什么样的结论，由结论需要什么样的条件，对应的定理是什么，我们知道如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。

命题一定有逆命题。

定理一定是真命题，它一定有逆命题，但它的逆命题不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个的逆定理，除了上面举出的互逆定理以外，你还能说出其他互逆定理吗？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、典例讲解（详见微课视频）
典例分析1
已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，求∠FBC的度数.
4.
5.
典例分析2
如图：在锐角三角形ABC中,两条高BD与CE交于点O,且OB=OC.求证：ΔABC 是等腰三角形.
变式练习一
如图：在锐角三角形ABC中，AB=AC,两条高BD与CE交于点O. 求证:OB=OC.
变式练习二
如图：在锐角三角形ABC中,两条高BD与CE交于点O,BE=CD,连接AO并延长，交BC于点M .求证：AM⊥BC .
四、跟踪练习
1.已知，如图，点P是∠AOB平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
(1)OC=OD,
(2)OP是CD的垂直平分线。

参考答案：
≅
2.已知AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，AB=4，求BC 的长度
解：∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵∠BAC=120°,∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B=∠C=1/2(180°-120°)=30° ∵AB=AC ，AD ⊥BC ∴BD=CD=1/2BC 在Rt △ABD 中，∠B=30° ∴AD=1/2AB=2
在RT △ABD 中，由勾股定理得 BD=
3.如图在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D. E (1)求证:AE=2CE
(2)连接CD ，请判断△BCD 的形状，并说明理由。

3
43
2242222=-=-AD AB ∴BC =
五、 巩固练习
1.在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，AB=3,则AC=__________.
2.已知等腰三角形底边和腰长分别是6和5，则这个三角形的面积为________.
3.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角为______度.
4.在△ABC 中，已知BD 是高，∠B ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝3，b ＝4，求BD 的长为_______.
5. 已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
6.如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD 的周长等于13厘米，则△ABC 的周长是_______ .
B
C
A D
E
7. 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ， DE =DF ， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= ________ ,BE= _______ .
8. △ABC 中, ∠C=90°, AD 平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是
_____________.
9. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，且BD = CD, DE ⊥AB, DF ⊥AC.垂足分别为E 、 F. 求证：EB=FC. 10.
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将
△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕是DE ， 求CD 的长.
B
C
D
E
A
B
C D
巩固练习参考答案：
1. 23
2. 12
3. 15︒或75︒
4. 47
3
5. （2）（4）
6. 18厘米
7. 60︒，BF
8. 3
9. 证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，
DE ⊥AB, DF ⊥AC ，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °
在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中，
∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF(HL).
10.解：由折叠知：DA ＝DB ，△ACD 为直角三角形． 在Rt △ACD 中，AC 2＋CD 2＝AD 2①，
设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x)cm ，
代入①式，得62＋x 2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x ，
所以x ＝47＝1.75， 即CD 的长为1.75 cm.
{
DE=DF ， BD=CD ， {
∴EB =FC。