量子力学总复习

v v − h Et ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
i
（2）E具有确定值
判断束缚态与自由态 1、由粒子受到的势场决定 、 ±∞处 哪个大： 束缚态； 在±∞处，V与E 哪个大：V>E束缚态；V<E自由态 2、波函数 ±∞处 束缚态； 在±∞处，ψ→0束缚态； 在±∞处，ψ不趋于0自由态； ±∞处 不趋于0自由态； 9、不确定度关系的物理意义。 不确定度关系的物理意义。
——各项的物理意义 各项的物理意义
7百度文库薛定谔方程
∂ψ h2 2 v i 两种类型： 两种类型：（1）含时：h = − ∇ ψ + V (r , t )ψ 含时： ∂t 2m
h2 2 v − ∇ ψ + V (r )ψ = Eψ 定态： （2）定态： 2m
判断定态与非定态、 8、判断定态与非定态、判断束缚态与非束缚态 定态： 定态：（1）
七、自旋与全同粒子 1、自旋的两个基本假定 （ 1 ）s z = ±
h 2
（ 2）
µs = −
v
e v s mc
考虑自旋后， 2、考虑自旋后，描述电子运动状态的波函数由下表示
v h ψ (r , ) v 2 ψ (r , sz ) = v ψ (r , − h ) 2
n n
λ
λ
n
基本概念： 基本概念： 一、波函数 为什么要用波函数描述微观粒子的运动状态？ 1、为什么要用波函数描述微观粒子的运动状态？ 如何完全描述体系的运动状态？ 2、ψ如何完全描述体系的运动状态？ 几率波和经典波， 3、几率波和经典波，经典粒子和量子力学中的微观 粒子的异同？ 粒子的异同？ 波函数的统计解释？ 4、波函数的统计解释？ 波函数的标准条件：有限、单值、 5、波函数的标准条件：有限、单值、连续
薛定谔方程： 薛定谔方程：
六、微扰 定态微扰： 定态微扰： (1)、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰 (1)、在未加入微扰时，能级非简并， 后能级发生移动，上升或下降； 后能级发生移动，上升或下降； (2)、在未加入微扰时，能级简并， (2)、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级发生分裂（部分或全部分裂）。 能级简并部分或全部消除
波函数的两个特性：常数因子不定性、位相因子不定性; 波函数的两个特性：常数因子不定性、位相因子不定性;
6、几率流密度矢量
v ih j= [ψ∇ψ * −ψ *∇ψ ] 2m
v ∂ρ +∇⋅ j = 0 ∂t
（概率守恒的微分表示式） 概率守恒的微分表示式）
∂ρ 概率守恒的积分表示式） dτ = − ∫ jn dS （概率守恒的积分表示式） ∫ ∂t S
ˆ 的关系： 5、力学量F与算符 F 的关系： 6、力学量算符之间的对易关系
ˆ ˆ 必然存在一组构成完成系的本征函数。 （1） [ F , G ] = 0 ⇒必然存在一组构成完成系的本征函数。
6、力学量算符之间的对易关系
ˆ ˆ 必然存在一组构成完成系的本征函数。 （1） [ F , G ] = 0 ⇒必然存在一组构成完成系的本征函数。
(3)、常用公式的Dirac符号表示 (3)、常用公式的Dirac符号表示 Dirac 波函数归一化条件： 波函数归一化条件： 平均值公式： 平均值公式： 本征方程： 本征方程：
〈φ | φ 〉 = 1
ˆ A = 〈ϕ | A | ϕ 〉
ˆ F | ϕ〉 = λ | ϕ〉
ih d | ϕ〉 ˆ = H | ϕ〉 dt
量子力学的基本假定
微观体系的状态用一个波函数完全描述。 微观体系的状态用一个波函数完全描述。 体系的状态波函数满足薛定谔方程。 体系的状态波函数满足薛定谔方程。 力学量与力学量算符关系的假设： 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密 算符表示，它们的本征函数组成完全系， 算符表示，它们的本征函数组成完全系，当体系 处于波函数 ψ 时，可用某力学量算符的本征函数 展开( )， 展开( ψ = ∑ c ϕ + ∫ c ϕ d λ )，测量力学量所 得数值，必是算符的本征值之一。 得数值，必是算符的本征值之一。 全同性原理。 全同性原理。 另外，在非相对论量子力学中， 另外，在非相对论量子力学中，自旋也是作为一假 定引进的。 定引进的。
在无自旋-轨道相互作用情况，或该作用很弱， 在无自旋-轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略 时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式： 体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式： v v v v v v v v ψ (r1 , s1 ;L ; rN , sN ) = φ (r1 ,L , rN ) χ ( s1 ,L , sN )
v v ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ 5、 r , p, l , l± , l , si , σ i
的对易关系运算
的可能取值、平均值、几率； 6、已知ψ，求F 的可能取值、平均值、几率； 7、微扰论基础
ˆ 的本征函数。 8、给定一波函数，判断是否是 F 的本征函数。 给定一波函数，
9、微扰理论要分清是简并还是非简并，灵活运用公式。 微扰理论要分清是简并还是非简并，灵活运用公式。 11、正确写出全同粒子体系的波函数。 11、正确写出全同粒子体系的波函数。
ˆ ˆ ˆ [ F , G ] = ik
k2 (∆F ) ⋅ (∆G ) ≥ 4
2 2
(1)不确定度关系是波粒二象性的必然反映 (1)不确定度关系是波粒二象性的必然反映 (2)不确定度关系是用经典力学方法描述微观粒子的限制 (2)不确定度关系是用经典力学方法描述微观粒子的限制 (3)不是所有的力学量可以同时有确定值。 (3)不是所有的力学量可以同时有确定值。 不是所有的力学量可以同时有确定值
ˆ ˆ 在 S 2 , S z 表象中
h 0 1 ˆ sx = 2 1 0
h 0 −i ˆy = s 2i 0
h 1 0 ˆ sz = 2 0 −1
3h 2 1 0 ˆ s = 0 1 4
2
3、全同粒子的特点：（1）固有性质完全相同； 全同粒子的特点： 固有性质完全相同； 不可区分性。 （2）不可区分性。 4、全同性原理： 全同性原理： 全同粒子所组成的体系中， 全同粒子所组成的体系中，二全同粒 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 5、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 对称： 对称：玻色子 ， 遵循玻色统计规律 反对称： 反对称： 费米子， 费米子，遵循费米统计规律
对两个电子体系， 对两个电子体系，
φ A χ S A ψ = S A φ χ
χ s(1) = χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z )
2 − 2 −
χ s( 2 ) = χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z )
2 2
1 χ = [ χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z ) + χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z )] − − 2 2 2 2 2 1 ( 4) χA = [ χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z ) − χ 1 ( S1z ) χ 1 ( S 2 z )] − − 2 2 2 2 2
6、如何用单粒子ψ表示全同粒子体系波函数
ψ 玻色子： 玻色子：
S n1LnN
=
∏n !
i i
N!
∑ P[ϕ
P
k1
(q1 )Lϕ k N (qN )]
ϕk (q1 )
1
ϕk (q2 ) L ϕk (qN )
1 1
ψ 费米子： 费米子：
A k1k2 Lk N
1 ϕk2 (q1 ) ϕk2 (q2 ) L ϕk2 (qN ) (q1 , q2 ,L , qN ) = L L L N! L ϕkN (q1 ) ϕkN (q2 ) L ϕkN (qN )
e2 1 能量本征值： 能量本征值：En = − 2 2 = − 2a n 2 2h n
µ e4 1
ψ 相应本征函数： 相应本征函数： nlm (r ,θ , ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
n = 1,2,3, K ; l = 0,1,2, K , n − 1; m = 0,±1,K ,±l
h2 a 玻尔半径： 玻尔半径： = 2 µe ˆ H ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = E nψ nlm ( r , θ , ϕ ) lv 2ψ ( r , θ , ϕ ) = l (l + 1) h 2ψ ( r , θ , ϕ ) ˆ nlm nlm
lˆ ψ ( r , θ , ϕ ) = m h ψ ( r , θ , ϕ ) nlm z nlm
2
——角分布几率 ——角分布几率
无关， 轴是旋转对称的。 角分布与ϕ无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。
(1)、 (1)、旧量子论与量子力学中关于描述氢原子核外电 子分布问题的区别和联系。 子分布问题的区别和联系。 (2)、氢原子的玻尔半径a ，从量子力学几率分布的观 (2)、氢原子的玻尔半径 的物理意义， 点解释a的物理意义 点解释 的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比 较。
( 3) s
基本类型： 基本类型： 1、简述/简答/填空 简述/简答/ 解薛定谔方程，写出通解，利用标准条件。 2、解薛定谔方程，写出通解，利用标准条件。 求归一化常数、 3、已知波函数ψ，求归一化常数、几率密度ρ, ρmax, 4、分析三大体系的本征值、本征函数、简并度。 分析三大体系的本征值、本征函数、简并度。
ˆ [ˆ ˆ （ 2 ） F , G ] = ik
k2 ˆ ˆ (∆F ) ⋅ (∆G ) ≥ 4
2 2
ˆ (∆F ) 2 = F 2 − F 2
两力学量同时有确定值的条件： 两力学量同时有确定值的条件： 对易； （1）对易； 体系恰好处在其共同本征态上。 （2）体系恰好处在其共同本征态上。
ˆ 7、一维 H x ~ ψ n ( x)
线性厄密算符的特点： 4、线性厄密算符的特点： 本征值必为实数（证明）； （1）本征值必为实数（证明）； 本征函数组成正交归一完全系（证明）； （2）本征函数组成正交归一完全系（证明）；
ˆ ˆ 有共同本征函数系， 证明） （3）有共同本征函数系，则 [ F , G ] = 0 ； （证明）
（4）有关厄密算符的证明 （5）氢原子简并度为n2，考虑自旋后简并度为2n2，考虑 考虑自旋后简并度为2 自旋－轨道耦合后，简并度？ 自旋－轨道耦合后，简并度？
2、氢原子核外电子的几率分布
2 ρ nl ( r ) = Rnl (r )r 2
ρ nl(r)称为径向位置几率分布或径向分布函数。 称为径向位置几率分布或径向分布函数。 称为径向位置几率分布或径向分布函数
使ρ nl(r)取最大值的半径称为最可几半径 。 取最大值的半径称为最可几半径
ρlm (θ ) = Ylm (θ , ϕ )
二、量子效应 零点能： 1、零点能： 能量量子化： 2、能量量子化： 3、隧穿效应 三、力学量 量子力学中力学量的特点： 多值性、 1、量子力学中力学量的特点： 多值性、制约性 2、量子力学中力学量如何用算符表示
ˆ v ˆ F ( r ,−ih∇)
力学量算符满足的条件： 3、力学量算符满足的条件：线性厄密算符
En
二维 三维
ˆ ˆ H x + H y ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )
E = E nx + E ny
E = E nx + E ny + E nz
ˆ ˆ ˆ H x + H y + H z ~ ψ nx ( x)ψ ny ( y )ψ nz ( z )
四、氢原子 <0时 1、氢原子体系中当E<0时