证明等差等比数列

解： （1）曲线 C : y =
1 x
l : y − yn = −
1 ( x − xn ) xn + 2
1 yn +1 = x n +1 1 yn +1 − yn = − ( xn+1 − xn ) x + 2 n 1 yn = xn
xn xn +1 = xn + 2
（2） bn =
1 1 1 + xn = + 2 ，代入到递推公式中可得： 1 xn − 2 3 bn − 3 1 1 1 + 2 + 2 = +2+2 1 1 1 bn − bn +1 − bn − 3 3 3
1 1 2bn +1 + 3 3 = 1 + 4 2b + 1 2b + 1 =b − 1 + 4 b − 1 b − 1 n n +1 n +1 n n +1 1 1 1 3 3 3 3 3 bn − bn +1 − bn − 3 3 3 2 1 1 4 4 4bn bn +1 + ( bn + bn +1 ) + = bn +1 − + 4bn bn +1 − ( bn + bn +1 ) + 3 9 3 3 9 2 4 ( bn + bn +1 ) = bn +1 − ( bn + bn +1 ) 3 3 2bn +
1 2 3 ．设 bn = an + n ， n − n + 1(n N *)（*） 2 2
证明：数列 bn 是等比数列，并求出 an 的通项公式 思路：本题所给等式 Sn , an 混合在一起，可考虑将其转变为只含 an 或只含 Sn 的等式，题目 中 bn = an + n 倾向于项的关系，故考虑消掉 Sn ，再进行求解
( a + 2 )( 2n + 1) 2n−1 − 2
3
1 an + n, n为奇数 例 6： （2015 山东日照 3 月考）已知数列 an 中，a1 = 1, an +1 = 3 ， 求证： an − 3n, n为偶数
数列 a2 n −

3 是等比数列 2 3 ，可发现要寻找的是 an 偶数项的联系，所以将已知分段递 2

1 an − 3
为等差数列 解：设 bn =
1 1 + 3 代入 an −1an − 6an −1 + 9 = 0 可得： ，则 an = an − 3 bn
1 1 1 + 3 + 3 − 6 + 3 + 9 = 0 bn −1 bn bn −1
1 − 1 体现了两个数列 an , bn 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的 an
对应（第 n 项对应第 n 项） ；二是经过代换，得到 bn 的递推公式，而所证 bn 是等比数列， 那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单， 所以尽管代入之后等式复杂， 但坚定地 化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法， 只需循规蹈矩按步骤去做即可。 例 2：数列{ an }的前 n 项和为 S n ， S n + an = −

1 3 3 6 + + +9− − 18 + 9 = 0 bn −1bn bn −1 bn bn −1

1 3 3 1 − + = 0 bn − bn −1 = bn −1bn bn −1 bn 3
1 bn 为等差数列，即 为等差数列 an − 3
例 4： 已知曲线 C : xy = 1 ， 过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 kn = −
1 的直线交曲线 C xn + 2
于另一点 An +1 ( xn +1 , yn +1 ) （ xn xn +1 且 xn 0 ，点列 An 的横坐标构成数列 xn ，其中
x1 =
11 . 7
（1）求 xn 与 xn +1 的关系式； （2）令 bn =
1 1 + ，求证：数列 bn 是等比数列； xn − 2 3
bn +1 = −2bn
bn 是公比为 −2 的等比数列
小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出 bn 的形式，所以考虑用代入法直接 求解 例 5：已知数列 an 满足 a1 = a, an +1 =
( 4n + 6 ) an + 4n + 10
2n + 1
a + 2 ( n N ) ，判断数列 2n + 1
而 b1 =
a1 + 2 a + 2 = 3 3
① a = −2 时， b1 = 0 ， bn 不是等比数列
② a −2 时， bn 是等比数列，即
an + 2 为等比数列 2n + 1

an + 2 a1 + 2 n −1 = 2 2n + 1 3
an =
小炼有话说： （1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进 行变形，如例 1 中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变 换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用 （2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点： 一是代换 bn =
2
n
an +1 = q （等比） an
( q 0) （等比）
n
（3）前 n 项和： Sn = An + Bn （等差） ， Sn = kq − k （等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即 n N ，均有：
思路一： 构造法， 按照所给的形式对已知递推公式进行构造， 观察发现所证的数列存在
样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数： an +1 =
3an 1 2a + 1 = n 2 an + 1 an +1 3an
即
1 2 1 1 2 1 1 1 = + −1 = + − 1 = − 1 ，在考虑构造“ −1 ” ： an +1 3 3an an +1 3 3an 3 an
解： Sn + an = −
1 2 3 n − n +1 ① 2 2 1 3 2 Sn −1 + an −1 = − ( n − 1) − ( n − 1) + 1 ( n 2, n N ) 2 2
②
① − ②可得： 2an − an −1 = −n − 1 2an = an −1 − n − 1
2n + 1
( 2n + 3)( 2n + 1) bn +1 − 4n − 2 = 2 ( 2n + 3)( 2n + 1) bn − 8n − 12 + 4n + 10 ( 2n + 3)( 2n + 1) bn +1 = 2 ( 2n + 3)( 2n + 1) bn
bn +1 = 2bn
（2） Sn , an 混合在一起的等式可求出 a1 ，令 n = 1 即可（因为 S1 = a1 ） （3）这里体现出 bn = an + n 的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公 差（公比） ，构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过 bn = an + n 也可将 an 的通 项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在 这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通 项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助 数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸 瓜将通项一并求出来 例 3：已知数列 an 满足： a1 = 6, an −1an − 6an −1 + 9 = 0, n N 且 n 2 ，求证：
n −1
1 bn = b1 2
1 = 2
n
1 an = bn − n = − n 2
n
小炼有话说： （1）遇到 Sn , an 混合在一起的等式，通常转化为纯 an （项的递推公式）或者 纯 Sn （前 n 项和的递推公式） ，变形的方法如下： ① 消去 Sn ： 向下再写一个关于 Sn −1 的式子 （如例 2） ， 然后两式相减 （注意 n 取值范围变化） ② 消去 an ：只需 an = Sn − Sn −1 代换即可（ n 2, n N ）
1 1 − 1 ，则 an = an bn + 1
3 1 1 3 bn + 1 = = 递推公式变为： bn +1 + 1 2 1 + 1 bn +1 + 1 bn + 3 bn + 1
1 bn + 3 = 3bn +1 + 3 bn +1 = bn 3
1 1 bn 是公比为 的等比数列。即数列 − 1 为等比数列 3 an
2 ( an + n ) = an −1 + ( n − 1) an + n =
bn 是公比为
1 1 an −1 + ( n − 1) 即 bn = bn −1 2 2
1 的等比数列 b1 = a1 + 1 令 n = 1 代入（*）可得： 2 1 3 1 1 S1 + a1 = − − + 1 = −1 a1 = − b1 = 2 2 2 2

2an +1 = an + an + 2 （等差）
二、典型例题： 例 1：已知数列 an 的首项 a1 =
2 an +1 = an an + 2 （等比）
3 3an , an +1 = ,n N ． 5 2 an + 1
求证：数列
1 − 1 为等比数列 an
1 这 an
思路：所证数列为 a2 n −
推关系转变为 a2 n 与 a2( n −1) 之间的关系，再进行构造证明即可
1 an + n, n为奇数 证明：由 an +1 = 3 可得： an − 3n, n为偶数
1 a2 n = a2 n −1 + ( 2n − 1) a2 n −1 = a2 n − 2 − 3 ( 2n − 2 ) 3 1 a2 n = a2 n − 2 − 3 ( 2n − 2 ) + 2n − 1 3 1 1 a2 n = a2 n − 2 − 2n + 2 + 2n − 1 = a 2 n − 2 + 1 3 3
等差等比数列的证明
在数列的解答题中， 有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列， 既考察了学生证 明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式） ： an +1 − an = d （等差） ， （2）通项公式： an = kn + m （等差） ， an = k q

n
是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出 an 解：设 bn =
பைடு நூலகம்
an + 2 an = ( 2n + 1) bn − 2 2n + 1
代入到 an +1 =
( 4n + 6 ) an + 4n + 10 可得：
2n + 1
( 2n + 3) bn+1 − 2 =
( 4n + 6 ) ( 2n + 1) bn − 2 + 4n + 10
即数列
1 1 − 1 是公比为 的等比数列 3 an
思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用 bn 表示： bn =
1 − 1 ，则只需证明 bn 是 an
等比数列即可，那么需要关于 bn 的条件（首项，递推公式） ，所以用 bn 将 an 表示出来，并 代换到 an 的递推公式中，进而可从 bn 的递推公式出发，进行证明 解：令 bn =