SOR迭代法
sor迭代法手算例题
sor迭代法手算例题SOR迭代法是求解线性方程组的一种经典方式，其基本思想是通过不断迭代来逼近方程组的解。
这种方法在大规模问题上具有很好的效率，因此得到了广泛的应用。
本文将介绍SOR迭代法的基本原理，并以一个手算例题来展示其具体步骤和计算结果。
一、SOR迭代法的基本原理在介绍SOR迭代法的原理之前，我们先来看一下迭代法本身的思想。
假设有一个线性方程组：$$Ax=b$$其中，A是一个$n\times n$的系数矩阵，b是一个$n\times 1$的常数向量，x是一个$n\times 1$的未知向量。
迭代法的基本思想是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+C$$其中，$x^{(k)}$表示第k次迭代的近似解，$T$是一个$n\times n$的矩阵，$C$是一个$n\times 1$的常数向量。
迭代法的步骤是从一个初始点$x^{(0)}$开始，不断应用上述公式来寻找更好的解$x^{(k+1)}$。
当接近真解时，迭代的过程会不断收敛，即$x^{(k+1)}$会不断逼近真解$x$。
那么，如何确定矩阵$T$和向量$C$呢？最简单的方法是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=(I-\omega A)x^{(k)}+\omega b$$其中，I是$n\times n$的单位矩阵，$\omega$是一个常数，称作松弛因子。
当$\omega=1$时，这就是最基本的迭代法——雅克比迭代法。
但是，雅克比迭代法的收敛速度比较慢，因此需要调整$\omega$的值，从而得到更好的迭代效果。
SOR迭代法就是一种改良的迭代方法，其基本思想是通过加速松弛因子的变化来改善雅克比迭代法的效率。
具体来说，SOR迭代法的公式为：$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$$其中，$i=1,2,\cdots,n$。
(完整版)6.4超松弛迭代法
0.75 x2( ( k 1)
6 0.25x3(k
)
7.5
x (k 1) 3
0.25x2(k1)
6
②取ω=1.25 ，即SOR迭代法：
xx21((kk11))
0.25x1(k) 0.9375x2(k) 7.5 0.9375x1(k1) 0.25x2(k) 0.3125x3(k)
-5.0183105
3.1333027
4.0402646
-5.0966863
4
3.0549316
3.9542236
-5.0114410
2.9570512
4.0074838
-4.9734897
5
3.0343323
3.9713898
-5.0071526
3.0037211
4.0029250
-5.0057135
6
3.0214577
3.9821186
-5.0044703
2.9963276
4.0009262
-4.9982822
7 3.0134110
3.9888241
-5.0027940
3.0000498
4.0002586
-5.0003486
迭代法若要精确到七位小数， Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代； 而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代。
因子ω。
返回引用
opt
(1
2
1 [(BJ )]2 )
（4）
这时，有ρ(Bopt
)=
ω
opt
-
1。
SOR法分类与现状
通常，
(1)当ω>1 时，称为超松弛算法； (2)当ω<1 时，称为亚松弛算法。
sor方法
sor方法
SOR方法是一种迭代数值解法，主要被用于求解线性系统Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右端向量。
SOR方法的全称为"Successive Over-Relaxation Method"，意为迭代超松弛法。
在使用SOR方法求解线性方程组时，首先需要将系数矩阵A分解为L、D和U 三个部分，其中L是A的严格下三角矩阵，D是A的对角线矩阵，U是A的严格上三角矩阵。
同时，SOR方法还需要一个松弛因子w。
SOR方法的迭代公式为：
x(k+1) = (1-w)x(k) + w(D-wL)^(-1)(b-Ux(k))
其中x(k)表示第k次迭代求得的解向量，x(k+1)表示x(k)的下一次迭代，^(−1)表示逆矩阵。
可以发现，SOR方法是基于Gauss-Seidel方法的改进，它在每一次迭代中添加了一个松弛因子w，从而使得解向量的迭代更快、更稳定。
在实际应用中，我们需要选择一个合适的松弛因子w，以使得SOR方法能够收敛并且收敛速度较快。
一般来说，选择一个小于1的w能够保证SOR方法的收敛性，而选择一个大于1的w能够加快SOR方法的收敛速度。
需要注意的是，SOR方法只能够求解特定条件下的线性方程组，如系数矩阵为对称正定矩阵、对角占优矩阵等。
当系数矩阵不满足这些条件时，SOR方法可能出现发散的情况。
总的来说，SOR方法是一种简单而有效的数值解法，被广泛应用于工程计算等领域。
在使用时，需要根据具体问题选择合适的松弛因子w，并且注意其收敛性和收敛速度。
第一次迭代解法之SOR
种相容范数都有 ρ(A)≤||A||
（6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相
容的矩阵范数，使
|| A ||≤ ρ(A) ＋ε
（6.3）
式（6.2）和（6.3）表明，矩阵A的谱半径是它所有相 容范数的下确界。
定义6.4 设有n×n矩阵序列 A(k) (ai(jk) ), k 1, 2, 方阵A＝（aij）, 如果
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA1 1
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§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法
设有线性方程组
Ax=b
(1)
A∈Rn×n, b∈Rn .
对A 进行分裂， A=A1+A2 , 其中 A1 可逆，
则 (A1+A2)x=b A1x = - A2x+b x = - A1-1 A2 x + A1-1 b
再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x|| 1 A
x
b
得到解的相对误差为
x A
A1
b
x
b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14
2 30 4 0
14
20
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得
超松弛迭代法中松弛因子ω的选取方法
超松弛迭代法中松弛因子ω的选取方法一、超松弛迭代算法基本概念超松弛迭代法简称为SOR(Successive Over -- Relaxation)法，是求解线性代数方程组的一种迭代加速方法，它是在高斯--塞德尔迭代法的基础上进行加速的，将前一步的结果x k i )(与高斯--塞德尔迭代方法的迭代值x k i )1(+适当的加权平均，期望获得更好的近似值x k i )1(+。
其迭代公式如下：x k i )1(+=（1--ω）x k i )(+a iiw （b i --x a k j i j ij )1(11+-=∑--x a j n i j ij (k)∑=） i =1,2,…,n;k =0,1,2,…(1.1)SOR 法中ω的取值对迭代公式的收敛速度影响很大，它的好坏直接影响到加速的快慢。
为了保证迭代过程的收敛，必须要求0<ω<2，超松弛法取1<ω<2。
但是在1和2之间仍然有很多的取值，究竟如何取值没有同意的规定。
经过多次的实验、分析与研究提出了ω选取的几种方法。
二、松弛因子ω的选取方法1、逐步实验法将ω的取值区间（1,2）进行M 等分，ω分别取1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M ，通过公式1.1依次对同一精度要求求出迭代次数k 的值，在求的同时比较出最少的迭代次数k ，并将此次ω的值保留，这样就得到了1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M 中最优的ω值，算法步骤如下：第一步：给定M 的值第二步：对于，ω分别取1+1/M ，1+2/M ，……，1+（M--1）/M 按照公式 x k i )1(+=（1--ω）x k i )(+a iiw （b i ---x a k j i j ij )1(11+-=∑---x a j n i j ij (k)∑=） i =1,2,…,n;k =0,1,2,…根据给定的精度要求迭代，求出迭代次数k 的值。
逐次超松弛迭代法
(3．7)
图6.1
12
我们在 (x, y) 平面上作两组平行直线
x x0 ih, y y0 jh i, j 0,1,2,
(3.8)
(x0 , y0 ) 是平面 (x, y) 上的任意一点，通常取 (x0 , y0 ) 为坐标原点， h( 0) 称为步长．这样，整
个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，所讨论的区域 G+P 可被有限个正
x1(k )
1 (4 5
x (k 1) 2
x (k 1) 3
x4(k 1) )
x2(k )
1 10
(12
x1(k
)
x (k 1) 3
x (k 1) 4
)
x3(k )
1 (8 5
x1(k )
x2(k )
x4(k 1) )
x4(k )
1 (34 10
x1(k )
x2(k )
x3(k ) )
k 1,2,
输出 近似解 x1, x2 ,xn 或迭代次数超过 m 的信息．
step 1 对 k 1,, n 做 step2—4．
step 2 对 i 1,2,, n
step 3 step 4
i 1
n
(bi aij x j aij xoj
xi (1 )x0i
j 1
j i 1
若 x x0 TOL ，则输出 (x1,, xn ) ；停机．
图表6.2
5
从表6．2得到
x6x
5.5 61 04
算法6．3 应用SOR方法解方程组 Axb
输人 方程组的阶数 n ； A 的元素 aij (i, j 1,, n) ；b 的分量 bi (i 1,, n) ；初始向量 x0 的分量
数学实验“线性方程组的j迭代,gs迭代,sor迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)【最新精
西京学院数学软件实验任务书实验四实验报告一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。
二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组12123123521064182514x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩的根，提高matlab 编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：1、雅可比迭代法（J-迭代法）：线性方程组b X A =*，可以转变为：迭代公式(0)(1)()k 0,1,2,....k k J XXB X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。
以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式有b XU L MXk k ++=+)()1()(，既有i ni j k i iji j k iij k iij b X aXa X a +--=∑∑+=-=+1)(11)()1(，于是，解b X A =*的雅可比迭代法的计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+)(1),....,(111)()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k iTn X a X a b a X X X X X 2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+++)(1),....,(111)1()1()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k iTn X a X a b a X X X X X 其余部分与雅克比迭代类似。
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
SOR迭代法
ω
0.6 0.8 1 1.1 1.15 1.25 1.3 1.5 1.8
迭代次数 16 10 8 7 8 11 15 15 15
近似解与 5 5 5 5 5 5 5 4 1 准确解重 复合位数
使 SOR 法收敛最快的松弛因子通常称为最 优 松
弛因子。目前，只有少数特殊类型的矩阵，才有确定 的最优松弛因子的理论公式，但实际使用时也有一定 困难。通常的办法，是选不同的 进行试算，以确定
SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
aij x(jk )
3.1
若记
i1
n
r(k)
i
(bi
a x(k 1) ij j
aij
x
(k j
)
),
j 1
j i
i 1,2,L ,n
则 3.1 式可写为
x( k 1) i
x(k) i
1 aii
r(k)
i
3.2
由此可以看出， Gauss Seidel 迭代法的第 k 1
步 ，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ， 然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩 阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩 阵来说，这一条件是充分的。
数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）
数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。
数值分析第二次大作业SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进
《数值分析》第二次大作业题目：SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进内容：1.SOR最优松弛因子选取方法2.SOR迭代法的改进（SSOR迭代法）3.SSOR迭代法的Matlab程序4.举例比较jacobi，Gauss-Seidel，SOR及SSOR 迭代法的收敛速度姓名：合肥工业大学学号：2011班级：信息与计算科学11-1班参考资料：1.《确定SOR最优松弛因子的一个实用算法》李春光等《计算力学学报》2.《数值分析与实验》，薛毅,北京工业大学出版社.3.《数值分析中的迭代法解线性方程组》，马云,科学出版社4.《非线性互补问题的改进超松弛迭代算法》，段班祥等,江西师范大学出版社5.《迭代法解线性方程组的收敛性比较》，郑亚敏,江西科学出版社.一、SOR最优松弛因子选取方法SOR迭代法迭代公式：x(k+1)i=(1-ω)xi+(k) bi-∑aijxjaii⎝j=1ω⎛ i-1(k+1)-j=i+1∑axijn(k)j⎫⎪ (i=1,2,..n.), ⎪⎭1.二分比较法将松弛因子1/2，ω的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为ω去中间值3/2，按照SOR 迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定ω的值；否则将（1,2）四等分，每个区间长度为1/4,ω取各分点值，继续迭代，一般地，将1区间（1,2）二分M次，每次二分步长为，ω一次取取各分点值，2M按照SOR迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定的ω的值，这样总能找到一个不超过指定发散常数ω值。
2.逐步搜索法将1+ω的取值区间（1,2）进行M等分，ω分别取ω的值。
12M-1,1+,...,1+，通过迭代公式依次对同意精度要求求出迭代MMM次数k的值，并从中选出最优松弛因子3.黄金分割法依据黄金分割比的思想，通过计算机主动选取最优松弛因子的近似值，步骤如下a.对（1，2）区间进行第一次0.618的分割，区间边界a1=1,b1=2，在区间(a1,b1)分割出黄金点p1=a1+0.618(b1-a1)，进行SOR迭代法的迭代，求出迭代次数k的值，如果没有超过规定的发散常数，迭代结束，否则做步骤b。
sor迭代法matlab
sor迭代法matlabSOR迭代法（Successive Over-Relaxation）是一种用于求解线性方程组的迭代算法，在MATLAB中有广泛的应用。
它广泛应用于科学计算、工程技术等领域，被用于求解各种复杂的数学模型和物理问题。
我们需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程都是关于未知数的一次多项式。
线性方程组的求解是求解未知数的一组值，使得所有方程都成立。
解线性方程组的传统方法有高斯消元法和LU分解法等，但这些方法的计算量较大，尤其是对于大规模的线性方程组，计算效率较低。
而SOR迭代法通过将线性方程组转化为递推形式，通过不断迭代逼近解，从而提高了计算效率。
SOR迭代法的基本思想是通过使用逐点松弛因子来迭代求解线性方程组。
逐点松弛因子是指在每次迭代中，对于每个未知数，根据当前已知的其他未知数的值进行修正。
这种逐点松弛的策略可以加快迭代收敛速度。
在MATLAB中，实现SOR迭代法的过程如下：1. 首先，给定一个初始解向量x0，并初始化迭代次数k和松弛因子ω。
2. 对于每个未知数xi，使用如下公式进行迭代更新：xi(k+1) = (1-ω)xi(k) + (ω/aii)(bi - Σ(aijxj(k)), j≠i)其中，aii表示系数矩阵A中第i行第i列的元素，bi表示等式右侧的常数项。
3. 重复步骤2，直到满足收敛条件为止。
一般来说，可以设置一个收敛判据，比如设定一个误差阈值，当两次迭代之间的误差小于该阈值时，迭代停止。
4. 返回最终的解向量x(k)。
需要注意的是，SOR迭代法的收敛性与松弛因子ω的选择有关。
一般来说，如果松弛因子取值在(0,1)之间，则迭代过程是收敛的。
当松弛因子取值为1时，SOR迭代法等价于高斯-赛德尔迭代法。
在实际应用中，选择合适的松弛因子是非常重要的。
如果选择的松弛因子过小，收敛速度会很慢；而如果选择的松弛因子过大，迭代可能会发散。
sor迭代法
sor迭代法Sor迭代法是一种求解线性方程组的算法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。
在本文中，我们将深入探讨Sor迭代法的原理、优缺点以及应用。
一、原理1.1 Sor迭代法的基本思想Sor迭代法是通过对Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行改进得到的。
其基本思想是在Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代中引入一个松弛因子，使得每次更新后的值更接近于真实解。
1.2 Sor迭代公式Sor迭代公式如下：$x^{(k+1)}_i=(1-\omega)x^{(k)}_i+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j\right)$其中，$x^{(k+1)}_i$表示第$k+1$次迭代中第$i$个未知数的值；$x^{(k)}_i$表示第$k$次迭代中第$i$个未知数的值；$\omega$为松弛因子；$a_{ii}$为系数矩阵中第$i$行第$i$列元素；$\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j$表示第$k+1$次迭代中除第$i$个未知数外的其他未知数的值的和；$b_i$为方程组中第$i$个方程的常数项。
1.3 松弛因子松弛因子$\omega$是Sor迭代法中一个重要的参数，它控制了每次迭代后更新值与真实解之间的距离。
一般情况下，松弛因子取值在0和2之间。
当$\omega=1$时，Sor迭代法退化成Gauss-Seidel迭代法；当$\omega=0$时，Sor迭代法退化成Jacobi迭代法。
二、优缺点2.1 优点（1）收敛速度快：相比于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，Sor迭代法具有更快的收敛速度。
（2）适用范围广：Sor迭代法适用于大多数线性方程组求解问题，并且不需要对系数矩阵做任何特殊处理。
2.2 缺点（1）松弛因子需要调整：松弛因子是影响Sor迭代法收敛速度和精度的关键参数，因此需要通过试验或经验来确定最优值。
SOR迭代(算法分析和数值算例)
SOR 迭代基本思想Gauss-Seidel 迭代(1)1()(1)()()k k x D L U xD L +--=-+-的结果作为中间值，记为(1)k x+ 。
SOR 方法是将(1)k x+ 与上次计算的结果()k x 做加权平均作为最后结果。
迭代格式为：1(1)(1)()()111[](1),1,2i nk k k k ii ij jij j ij j i iix b a x a x x i na ωω-++==+=--+-=∑∑或者1(1)()(1)()11[],1,2i nk k k k iii ij jij j j j iiix x b a x a x i na ω-++===+--=∑∑算法： 1．0,,,A b x t e ω输入迭代初值松弛参数，为迭代次数初始值为0,为记录误差2． 当1,2in= 时，11:[]ni i i i j j j iix x b a x a ω==+-∑，结果仍然存储在ix 中。
迭代次数:1t t =+ 3．计算误差*e x x=-（真解已知）4．如果6510e -<⨯，则已达到精确度要求，否则继续第2步数值结果041010141,4,001430A b x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭迭代初值，用Gauss 消去法求的其真解为*12112x ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭依次取1,1.03,1.1ω=，数值结果见下表总结从实验结果可以看出，当取松弛参数为1.03时只需五步就能达到所需精度。
附录（M文件）function [t,x]=successiive_over_Rellaxatiion(A,b,x0,w,rx)n=length(A);x=x0; %% x0为迭代初值e=norm(rx-x0,inf); %% rx为真解,e为误差t=0; %% t为迭代次数while e>5*10^(-6)for i=1:ntemp=0;for j=1:ntemp=temp+A(i,j)*x(j,1);endx(i,1)=x(i,1)+w*(b(i,1)-temp)/A(i,i);ende=norm(rx-x,inf);t=t+1;xend。
实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系
数值实验一实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系。
实验内容：10.50010.50.501A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，画出SOR迭代谱半径和ϖ之间的曲线，并据此分析ϖ的收敛范围及ϖ取何值时，迭代法收敛速递最快。
实验原理：逐次超松弛迭代法（SOR法）是Gauss-Seidel法的一种加速方法，SOR法的公式为：其中，方程组收敛的充要条件是：ρ（Lω）<1引进超松弛迭代法的思想在于希望能选择松弛因子使得迭代方程式收敛速度较快，即需选择因子使得对称正定阵迭代收敛必要条件为0<ϖ<2，而本实验中矩阵并非对称正定阵，故将此范围扩大至-1<ϖ<3，求解分析过程如下：以下为MATLAB程序：P=zeros(1,4001); %构造用来储存谱半径的行向量A=[1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1];%建立矩阵AD=diag(diag(A)); %求对角矩阵DU=-triu(A,1);%求上三角矩阵UL=-tril(A,-1);%求下三角矩阵Ln=0;for w=-1:0.001:3;n=n+1;B=(inv(D-w*L))*((1-w)*D+w*U);P(1,n)=max(abs(eig(B)));endw=-1:0.001:3;plot(w,P);xlabel('\omega');ylabel('\rho(L_\omega)'); %画出谱半径随松弛因子变化图title('谱半径与松弛因子的变化关系图');k=find(P==min(P)); %寻找最小谱半径wmin=w(k); %最小谱半径对应之因子ϖdisp(min(P)); %输出最小谱半径数值disp(wmin); %输出对应因子ϖ值实验图形：实验结论：由上图分析可知当0<ϖ<1.5时，谱半径ρ（Lω）<1，此时方程组迭代收敛经计算可知当ϖ=0.3381时，谱半径ρ（Lω）=0.9410，此时迭代速度最快。
matlabsor迭代法求解方程
一、概述Matlab是一种常用的数学软件，其sor迭代法是解决线性方程组的常用方法之一。
本文将介绍Matlab中利用sor迭代法求解方程的方法以及其应用。
二、sor迭代法简介1. sor迭代法是一种求解线性方程组的数值方法，其基本思想是利用矩阵的分解和迭代逼近的方式求解方程组。
2. sor迭代法是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的一种改进，能够加快收敛速度。
3. 对于给定的线性方程组Ax=b，sor迭代法的迭代公式为：x(k+1) = (1-w)x(k) + (w/D)(b-Lx(k+1)-Ux(k))其中，w为松弛因子，D为对角矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
4. sor迭代法的收敛条件是矩阵A严格对角占优。
三、Matlab中sor迭代法的实现1. 在Matlab中，可以利用sor函数实现sor迭代法求解方程。
2. sor函数的调用格式为：[x,flag,relres,iter,resvec] =sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A为系数矩阵，b为右端向量，w为松弛因子，tol为容许误差，maxit为最大迭代次数。
3. sor函数返回求解的近似解x，求解的标志flag，残差relres，迭代次数iter和残差向量resvec。
四、sor迭代法的应用示例1. 示例一：求解5x5线性方程组给定线性方程组Ax=b，其中：A = [4 -1 0 0 0; -1 4 -1 0 0; 0 -1 4 -1 0; 0 0 -1 4 -1; 0 0 0 -1 4] b = [10; 10; 10; 10; 10]利用Matlab的sor函数求解该线性方程组，设置松弛因子w=1.2，容许误差tol=1e-6，最大迭代次数maxit=100。
调用sor函数，得到近似解x，收敛标志flag，残差relres，迭代次数iter和残差向量resvec。
2. 示例二：求解100x100线性方程组给定100x100线性方程组Ax=b，利用sor迭代法求解并比较其结果与精确解的误差。
用SOR迭代法
一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问二、2222(,)2,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+，写成矩阵形式Au=f 。
其中 三、基本原理程序步骤：所有的步骤基本一致 1． 设置u ，n ，并给u ，n 赋初值； 2． While 语句循环，到的6步 3． Up 我第K 次迭代的值； 4． 分别进行计算，sum=0; 例如:Jacobi :sun= sum+A(i,j)*Ub; SOR 和Gauss_Seidel= sum+A(i,j)*u; 各自进行相应的下不运算。
5． 计算|Up-u|<ep 的绝对值，判断是否停机 6． 如果小于规定误差，迭代终止； 7． 输出结果u 和迭代次数k8． 在块的迭代中调用了追赶法的求解子程序zg ，在SOR 设计了A 得自动生成子程序creat_matix.1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,2,,1,2,...,i j f i j N==1122NN A I I A A I IA -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭四、编写求解线性方程组Au=f的算法程序，用下列方法编程计算，并比较计算速度。
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aij x(jk )
3.1
若记
i1
n
r(k)
i
(bi
a x(k 1) ij j
aij
x
(k j
)
),
j 1
j i
i 1,2,L ,n
则 3.1 式可写为
x( k 1) i
x(k) i
1 aii
r(k)
i
3.2
由此可以看出， Gauss Seidel 迭代法的第 k 1
步 ，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加
SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ， 然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩 阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩 阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法 对于0 2 是收敛的。
其 Gauss Seidel 迭 代 格 式 可写为 (aii 0) ：
x(k1) i
x(k) i
1 aii
bi
a x(k1) i1 1
L
a x(k1) i,i1, i1
aii xi(k)
L
ain xn(k)
x(k) i
1 aii
bi
i1
a x(k1) ij j
j 1
n j i
第三节 SOR迭代法
一、 SOR 迭代格式
二 SOR 迭代法的收敛性
一、 SOR 迭代格式
SOR 是 Succesive Over R elaxation ( 逐次超松弛 ) 的缩写。SOR 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的有效 方法之一。它可以看作是 Gauss Seidel 迭 代 法 的加 速，Gauss Seidel 迭代法是 SOR 迭代的一种特殊形式。
aij
x(k) j
j i
有
xik1
x(k) i
xik
aii
bi
i1 j 1
a x(k1) ij j
n
aij
x
(k j
)
j i 1
即有
xik1
(1 )xi(k)
aii
bi
i1
a x(k1) ij j
j 1
n
aij x(jk )
j i 1
,
i 1,2,L ,n
3.4
一个修正量
1 aii
r(k)
i
。现在，为了获得更快的收敛
效果，在修正项的前面乘以一个参数 ，便得到
逐次超松弛迭代格式
x(k 1) i
x(k) i
aii
ri(k ) ,i
1, 2,
,n
3.3
称 为松弛因子，称 0 1 的 迭 代 过 程 3.3
为低松弛方法，对于一些方程组，用Gauss Seidel 迭代 法得不到收敛解或不收敛，但用低松弛方法却是收敛
记
B D L1[1 D U ]
F D L1 b
则有
X k1 B X k F
其中，称 B 为 SOR 迭代矩阵。
3.6 3.7
由定理1及定理2直接得知：
（1） SOR 迭代法收敛的充要条件是 B 1 。
（2） SOR 迭代法收敛的充分条件是 B 1 。 SOR 迭代法收敛与否或收敛快慢都与松弛因
aii xi aii xi (bi ai1x1 ai2 x2 L ai,i1xi1
aii xi a x i,i1 i1 L ain xn )
xi
xi
1 aii
(bi
ai1x1
ai2 x2
L
a x i,i1 i1
aii xi a x i,i1 i1 L ain xn )
an1
L
an,n1
0
二 SOR 迭代法的收敛性
由 3.5 式有
DX k1 1 DX k b LX k1 UX k
即
DX k1 LX k1 1 DX k UX k b
于是有
(D L) X k1 [1 D U ]X k b X k1 (D L)1[1 D U ]X k (D L)1b
i B det B 1,2 L ,n B n 1
另一方面 由关系式：
B D L1[1 D U ]
有
detB det D L1 det 1 D U
即
det B
det 1 D U det D L
1 n
因此有 1 n 1 ，或者 1 1 过程 3.3 为超 松 弛 方法, 此法
可以加速 Gauss Seidel 迭 代 方 法 的收敛。 1 的迭
代过程 3.3 就是 Gauss Seidel 迭代公式。
由迭代格式（3.3）
xik1
x(k) i
1 aii
bi
i1
a x(k1) ij j
j 1
n
子 有关 。 关于 的范围，有如下定理。
定理6
SOR 迭代法收敛的必要条件是松弛 因子 应满足条件 0 2 。
证明 因 SOR 法收敛，故 B 1 。记 B 的
特征值 为 1,2 L ,n 。因为n阶矩阵的n个 特征值之积等于其行列式之值，即
而 从而
det B 1,2 L ,n
这一定理说明， 对于对称正定矩阵 ，只要 0 2 ， SOR 迭代法总是收敛的。
用 SOR 法计算方程组时，选取合适的松弛因
子很重要，松弛因子选取得好，可能使得收敛速
度大大加快，下面举例来说明松弛因子的选取对
收敛速度的影响。
设给定方程组
0.78000
0.02000
0.12000
0.14000
0.0200 0.86000 0.04000 0.06000
0.12000 0.04000 0.72000 0.08000
0.14000 x1 0.85653
0.0600
x2
0.42076
0.08000 x3 0.23948
将方程组 AX b 写成
ai1x1 ai2 x2 L a x i,i1 i1 aii xi L ain xn bi ,
则有
(i 1, 2,L , n)
aii xi bi ai1x1 ai2 x2 L a x i,i1 i1
a x i,i1 i1 L ain xn