微分方程(时域)与传递函数(复域)的相通性
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
自动控制原理答案王建辉
自动控制原理答案王建辉【篇一：王建辉版自动控制原理~课后简答题】动控制系统？自动控制系统通常由哪些基本环节组成？各环节起什么作用？1) 在无人直接参与下可使生产过程或其他过程按期望规律或预定程序进行的控制系统。
2) 6部分：控制对象：要进行控制的设备或过程；执行机构：直接作用于控制对象，使被控制量达到所要求的数值；检测装置：检测被控制量；给定环节：设定被控制量的给定值的装置；比较环节：检测的被控制量与给定量比较，确定两者之间的偏差量；中间环节：一般为放大环节，将偏差信号变换成适于控制执行机构执行的信号。
2.试比较开环控制系统与闭环控制系统的优缺点1) 工作原理：开环控制系统不能检测误差，也不能校正误差，控制精度和抑制干扰的性能都比较差，而且对系统参数的变动很敏感。
闭环控制系统可以根据检测误差，从而抗干扰性强。
2) 结构组成：开环系统没有检测设备，组成简单。
闭环系统由于添加了纠正偏差的环节，所以成本较高。
3) 稳定性：开环控制系统的稳定性比较容易解决。
闭环系统中反馈回路的引入增加了系统的复杂性。
3.什么是系统的暂态过程？对一般的控制系统，当给定量或扰动量突然增加到某一个值时，输出量的暂态过程如何？1) 系统从一个稳态过度到另一个稳态的需要经历的过渡过程。
2) 单调过程；衰减振荡过程；持续振荡过程；发散振荡过程。
第二章1.什么是系统的数学模型？在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些？1) 描述系统因果关系的数学表达式2) 微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。
2.简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。
1) 确定系统的输入量和输出量；2) 从系统的输入端开始，沿着信号传递方向，逐次依据组成系统各元部件的有关物理规律，列写元件或环节的微分方程；3) 消除中间变量，建立只有输入量和输出量及其各阶导数构成的微分方程。
3.什么是小偏差线性化？这种方法能够解决哪类问题？就是将一个非线性函数在工作点展开成泰勒级数，略去二次以上的高次项，得到线性化方程，用来替代原来的非线性函数。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
时域频域复频域之间的关系
时域频域复频域之间的关系
时域、频域和复频域是信号处理领域中的基本概念，它们之间有着密切的联系。
本文主要介绍这三种领域之间的关系。
一、时域
时域是指信号在时间上的变化，通常用时间函数表示。
例如，声音信号是一个在时间上连续变化的信号，可以用声压级随时间的函数来描述。
在时域中，我们可以观察到信号在时间轴上的波形、幅度、相位以及周期等特征。
二、频域
频域是指信号在频率上的分布，也就是信号在各个频率分量上的强度。
我们可以通过对时域信号进行傅里叶变换，将信号转换到频域中。
在频域中，我们可以观察到信号的频谱、频率分量、带宽等特征。
复频域是复数域上的频域，指复平面上的频率分布。
我们可以通过拉普拉斯变换将时域信号转换到复频域中，这样可以更方便地分析信号的稳定性、抗干扰性等特性。
在复频域中，我们可以用极坐标形式的复数表示频率分量的幅值和相位。
以上三种领域之间的转换可以表示为：
时域信号→ 傅里叶变换→ 频域信号
由此可见，时域、频域和复频域是互相转化的。
在实际应用中，我们可以通过观察信号在时域和频域上的特征，来分析信号的性质，进而对信号进行处理和优化。
例如，通过对频域上的滤波，可以去除信号中的噪声和干扰。
还可以通过在复频域上分析系统的传递函数，来评估系统的性能和稳定性。
自动控制理论信号流程图补充
P1 G1G2G3G4G5G6
1 1
(s)
G1G2G3G4G5G6
1 G2G3 H 2 G4G5 H 3 G3G4 H4 G1G2G3G4G5G6 H1 G2G3G4G5 H 2 H 3
Mason 公式（2）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例 2 求C(s)/R(s)
P3 G2G3G4G5
3 1
P4 G2G4G5
4 1
P5 G3G4G6
5 1
P6 G6 H2G2G4
6 1
(s) G1G2G3G4 G1G2G4 G2G3G4G5 G2G4G5 G3G4G6 G2G4G6 H 2 1 G2 H 2 G1G2G3G4 H1 G1G2G4 H1
信号流图与结构图的转换（1） 控制系统信号流图
（1）信号流图 结构图
控制系统结构图
信号流图与结构图的转换（2）
控制系统结构图
（2）结构图 信号流图
系统信号流图
§2.5.2 梅逊（Mason）增益公式
Mason公式:
— 特征式
1 n
G(s) Δ k1 PkΔk
1 La Lb Lc Ld Le L f
Mason 公式（6）
例 6 求传递函数 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
控制系统结构图
例6 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
1 [ G2 H G1G2 G1G3 ] G1G2G3 H
1 G2 H G1G2 G1G3 G1G2G3 H
P1 G1G2
P2 G1G3
• 环节：具有相同形式传递函数的元部件的 分类。
• 典型环节及其传递函数.doc • 不同的元部件可以有相同的传递函数； • 若输入输出变量选择不同，同一部件可以
2第二章 2控制系统的传递函数模型
(S Z
i 1 n j 1
m
i
)
(S P )
j
Zi (i=1,2,…,m) 是分子多项式的根，称为传递函数的零点
pj (j=1,2,…,n) 是分母多项式的根，称为传递函数的极点
K *=b0/a0
称为传递函数的传递系数（根轨迹增益）
传递函数的零极分布图
为了更直观、更形象地 p2 × p1× z1
4、理想微分环节
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt 传递函数 G(s)=Ts 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能 预示输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的微分运算，测速发电 机输出电压与输入角度间的传递函数即为 微分环节。
5、一阶微分环节（或称比例微分环节）
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数 G(s)=Ts+1 特点： 输出量既包含与输入量成正比的量， 又包含输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的比例微分运算等。
0 1 n 1 n
G( s)
例1、试求RC无源网络的传递函数
uo(s)/u (s)
i
解答：
RC网络的微分 方程表示为
Ui
R1
R2
i (t ) C 1
C2
Uo
d 2 uo ( t ) duo ( t ) R1 R2 C 1C 2 ( R1C 1 R1C 2 R2 C 2 ) 2 dt dt uo ( t ) ui ( t )
主要内容：
第一讲、 时域数学模型
第二讲、 复域数学模型 第三讲、 方框图与信号流图
本章要求：
一、了解控制系统数学模型的建立方法及数学 模型的表示形式。 二、掌握控制系统时域、复域数学模型的建立
自动控制理论知识点总结
1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。
3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。
常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。
（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。
时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。
Lch2
4
二、传递函数的定义
①
当t=0- 时，输出量、输入量 及其各阶导数项均为零。
对于线性定常系统，在零初始条件下，输出的L变换与输入的L变换之比. n 阶线性定常系统： dn d n −1 dm d m −1 a0 n c(t ) + a1 n −1 c(t ) + ... + an c(t ) = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ... + bm r (t ) dt dt dt dt ( a 0 s n + a1 s n −1 + ... + a n ) C ( s ) = ( b 0 s m + b1 s m −1 + ... + b m ) R ( s )
由拉氏变换的微分定理，得：
连同初始条件一起代入原微分方程，得：
du o (t ) L[ ] = sU o ( s ) − u o (0) dt d 2uo (t ) ɺ L[ ] = s 2U o ( s ) − suo (0) − uo (0) 2 dt
s 2U o ( s ) − 0.1s − 0.1 + sU o ( s ) − 0.1 + U o ( s ) = U i ( s )
P38例2-10 弹簧-质量-阻尼机器机械位移系统。 试列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。 解：设质量m相对于初始状态的位移为：x(t) 则速度、加速度分别，dx(t)/dt，d2x/dt2 由牛顿运动定律有：
F(t) m x(t) f K
d 2 x(t ) m = F (t ) − F1 (t ) − F2 (t ) 2 dt
再看一例：P36例2-8
第二章+传递函数
第二章 传递函数
5、数学模型的概括性 • 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。 数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
– 动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可忽
略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，系 统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型 。 控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学 模型。
第二章 传递函数
3、控制系统中常见的三类数学模型 输入输出描述，或外部描述 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程式、传递函数、频率特性和差分方 程 。
第二章 传递函数
例1： ：
质量——弹簧 弹簧——阻尼系统 质量 弹簧 阻尼系统
y(t) k c m f(t)
图2-1
m y ( t ) + C y ( t ) + Ky ( t ) = f ( t ) . . y (0 ) = y 0 y (0 ) = y 0
..
.
第二章 传递函数
例2： ：
L、C、R 组成的电路如图，列出以 1为 、 、 组成的电路如图，列出以u
二、微分方程的列பைடு நூலகம்步骤
1．分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间 ．分析系统的工作原理，找出输入、 变量的关系
第二章 传递函数
2．从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节） ．从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节） 的运动方程 力学——牛顿定律 牛顿定律 力学 电学——基尔霍夫定律 基尔霍夫定律 电学 3．将各运动方程构成微分方程，消去中间变量， ．将各运动方程构成微分方程，消去中间变量， 并化成标准形式（ 并化成标准形式（输出量和输入量的各导数项 按降阶排列） 按降阶排列）
1传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型其与微分方程一样
退出
几个基本公式：
F (s)
c(t) 对控制信号r(t) 的闭环传函记 为 ( s ) ,即
C (s) G(s) ( s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
若H(s)=1,
R( s )
( s)
-
G1 ( s )
-
G2 (s)
C (s)
( s)
G( s) 1 G( s)
R1 E2 ( s) R0 E3 ( s) U ( s) R1 R0
退出
（2）
由模电知，U (s) U (s) 得 R1 E2 ( s) R0 E3 ( s) R1 E1 ( s) R1 R0 R1 R0
R1 E1 (s) R1 E2 (s) R0 E3 (s)
第二级滤波器的输入信号是
根据传递函数的相乘性，有
1 Eo( s ) C2 s 1 G2(s ) R2 C2 s 1 Eab(s ) R 1 1 C2 s
eab
输出信号为，其传递函数为
G(s) G1(s)G2(s)
1 1 R1C1s 1 R2C2 s 1 1 R1 R2C1C2 s 2 (R1C1 R2C2 )s 1
退出
（2
1 //( R 1 ) 2 Eab(s) C1s C2 s G1(s) Ei(s) R 1 //( R 1 ) 1 2 C1s C2 s R2C2 s 1 R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
第二级的传递函数没有变，因此总的传递函数为
退出
1 基本概念
数学模型：
数学模型是描述系统动态特性的数学表达式；数学模型可以有多种形式。在经典理 论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论 中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。 建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是十分重要的。合理包括两条： （1）反映元件及系统的特性要正确； （2）写出的数学式子要简明； 控制系统数学模型的要求可采用解析法和实验法。解析法是根据系统和元件所遵循 的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动 机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学 模型要合理。实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某 种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种 方法也成为系统辨识。 线性系统最重要的特性是可用叠加原理。对非线性系统当非线性不严重或变量变化 范围不大时，可利用小偏差线性化的方法使数学模型线性化。
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
2.2 复数域数学模型
m1
m2
G(s)
K s
( js 1) ( k 2s2 2 k k s 1)
j 1
k 1
n1
n2
(Tis 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
i 1
l 1
22
2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响
传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统 自由运动的模态。
G(s) C(s) 6(s 3) , R(s) (s 1)(s 2)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
若uc(0)=0
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
或
G(s) Uc(s) 1 1
Ur (s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
4
1、定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节 、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。
25
1. 比例环节（放大环节） 微分方程：C(t) Kr(t) 传递函数：G(s) K(增益、放大系数）
方框图： R(s) K C(s)
特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、 放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以 认为是比例环节。Leabharlann 26+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
电位器
G(s) U(s) K
§3-3 传递函数
（2）令
L [G1 ( s )U a ( s ) G2 ( s ) M c ( s )]
因此，这种方法有很大的局限性。显然， 仅用微分方程这一数学模型来进行系统分析设计 ，显得十分不便。
§3-3 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来 的概念。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复 数域的数学模型－传递函数，是常用的一种数学模型。 用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间 接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以 根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性 能，找出改善系统品质的方法。 传递函数是经典控制理论的基础，是一个非常重要的基 本概念。 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 ☆ 主要内容 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 一、传递函数 二、典型环节及其传递函数
三、常用的典型元部件的传递函数
一、传递函数 1.定义 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 三要素: • 线性定常系统 • 零初始条件 • 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
L[c( t )] C ( s ) G( s) L[ r ( t )] R( s )
d s dt
（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
设Hale Waihona Puke r (t ) (t )
C (s) G(s) C (s) R( s )
R( s ) 1
2.3 控制系统的复数域数学模型 型
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理课后题
第一章自动控制系统的基本概念1.什么是自动控制系统？自动控制系统通常由哪些基本环节组成？各环节起什么作用？答：自动控制系统是在没有人的直接干预下，利用物理装置对生产设备和（或）工艺过程进行合理的控制，使被控制的物理量保持恒定，或者按照一定的规律变化的系统。
自动控制系统通常由给定环节、比较环节、校正环节、放大环节、执行机构、被控对象和检测装置等环节组成。
给定环节是设定被控制量的给定值的装置。
比较环节将所检测的被控制量与给定量进行比较，确定两者之间的偏差量。
校正环节将偏差信号转换成适于控制执行机构工作的信号。
放大环节将偏差信号变换为适于执行机构工作的物理量。
执行机构直接作用于控制对象，使被控制量达到所要求的数值。
被控对象是控制系统的被控制量或输出量，规律变化，以满足生产工艺的要求。
检测装置用来检测被控制量，并将其转换为与给定量相同的物理量。
2.试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。
答：开环控制系统结构简单、稳定性好，但不能自动补偿扰动量对输出量的影响。
当系统扰动量产生的偏差可以预先进行补偿或影响不大时，采用开环控制是有利的。
当扰动量无法预计或控制系统的精度达不到预期要求时，则应采用闭环控制。
闭环控制系统具有反馈环节，它能依靠反馈环节进行自动调节，以克服扰动对系统的影响。
闭环控制极大地提高了系统的精度。
但是闭环使系统的稳定性变差，需要重视并加以解决。
3.什么是系统的暂态过程?对一般的控制系统，当给定量或扰动量突然增加到某一个值时，输出的暂态过程如何？答：暂态过程是系统从一个稳态过渡到新的稳态所经历的过程。
当给定量或扰动量突然增加到某一个值时，输出的暂态过程可能出现以下情况：(1)单调过程。
(2)衰减震荡过程。
(3)持续震荡过程。
(4)发散震荡过程。
第二章自动控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些?用来描述系统因果关系的数学表达式，称为系统的数学模型。
“新形势”背景下康奈尔笔记法在自动控制原理课程建立数学模型教学中的探究
“新形势”背景下康奈尔笔记法在自动控制原理课程建立数学模型教学中的探究作者：裴玖玲王宪磊闫同斌张洪洲胡灿来源：《现代职业教育》2024年第03期［摘要］针对自动控制原理课程中系统数学模型教学中存在的记忆性知识点多、应用条件复杂等问题，给出一种基于康奈尔笔记法的建立系统数学模型教学理念与记录应用等实践教学方法。
依据康奈尔笔记法对各种数学模型的建立方法进行了5Ｒ归纳，总结5种数学模型的定义、建立过程和方法，各模型之间的转换方法，以及系统函数这个最重要数学模型的特征和几种求解方法，便于理解与记忆。
通过实例分析与课堂实际教学效果验证了所提方法的有效性与可行性。
［关键词］康奈尔笔记法；自动控制原理；数学模型；微分方程；结构图；信号流图［中图分类号］ G642 ［文献标志码］ A ［文章編号］ 2096-0603（2024）03-0０57-04一、引言自动控制原理课程是塔里木大学（以下简称我校）电气工程及其自动化、自动化、农业电气化等工科专业的核心专业基础课，为了改变传统课堂沉闷、学生学习积极性低下问题，在该课程的教学中融入“新工科”[1]教育理念，对培养学生兴趣，提高学生动手能力、创新意识、解决复杂工程问题的能力有极其重要的意义。
课程教学组老师在教学过程中针对课程教学痛点，对该课程进行教学改革和教学创新，通过教学改革实践，培养学生的创新思维，提高学生的创新能力。
课程建设注重结合专业应用型人才培养目标，课程教学目标支撑各专业人才培养目标，根据专业人才需求，结合工程案例，不断改进课程内容，以学生为中心，不断改变教学方法，不断提高学生的课程实践技能，使学生的课程理论水平和实践能力得到进一步提升。
随着打造我校“自动控制原理一流课程”的建设，把广泛应于医学、计算机、英语等专业教学并获得成功的康奈尔笔记法引入自动控制原理课堂教学中[2]，教学效果与以往相比发生了本质上的改变。
康奈尔笔记法由康奈尔大学的Walter Pauk博士提出，以Keywords（关键词）、Notes （笔记）及Summary（概括）为主要特征，包含Record（记录）、Reduce（简化）、 Recite （背诵）、 Reflect （补充）、Review（复习）5个阶段，又称5R笔记术[3]，非常适用于自动控制原理课程抽象性、分析对象的复杂性和多样性、综合性的教学。
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分子(输入)：M ( s ) b0 s
m
2
将传递函数中变量 s 用算符 d/dt(分母用 dc(t)/dt,分子用 dr(t)/dt) 将微分方程中算符 d/dt(左边 dc(t)/dt,右边 dr(t)/dt)用复数 s 置换 置换得到微分方程
dn d n1 d c ( t ) a c(t ) an1 c(t ) anc(t ) 0 1 n n 1 dt dt dt
1
e1 , te1 , t 2e1 , e4 , en
③ 1, 2 j （为一对共轭复根） ，其他根为两两不同的实 根：
e( j ) , e( j ) , e3 , en
微分方程的解=其次微分方程的通解+非齐次微分方程的任一 特解 8 （非齐次微分方程的任一特解由微分方程左边、右边共同决 定）
得到传递函数
3 齐次微分方程： a0
4 齐次微分方程的特征方程： a0 n a1 n1 an1 an 0 5 齐次微分方程的特征方程的根： 1, 2 ,, n 6 齐次微分方程的通解：由其特征方程的根 1, 2 ,, n 所决定 齐次微分方程所描述的运动模态： 7 ① 所有的特征根 1, 2 ,, n 为两两不同的实根： e , e ,, e
1 2 n
传递函数分母等于零： a0 sn a1sn1 an1s an 0 传递函数的极点（使传递函数分母等于零的根） ： s1, s2 ,, sn 系统的自由运动：由传递函数的极点 s1, s2 ,, sn 所决定
系统自由运动的模态： （同左）
② 1 2 3 （ 为 实 根 ） ，其他根为两两不同的实根：
微分方程（时域数学模型）与传递函数（复域数学模型）的相通性 微分方程（时域数学模型）
1
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
方程左边(输出):a0
传递函数（复域数学模型）
C(s) b0 sm b1s m1 bm1s bm M (s) G( s ) R(s) a0 s n a1s n1 an1s an N (s)
分母(输出)：N ( s ) a0 s
n
a1s n1 an1s an b1s m1 bm1s bm
dn d n 1 d c ( t ) a c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) 1 n n 1 dt dt dt m m 1 d d d 方程右边(输入):b0 r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) m dt dt dt
系统的响应=零初始条件响应（强迫运动）=自由运动+非自由 运动 （非自由运动由传递函数的分母、分子共同决定） （系统的响应=零初始条件响应 （强迫运动） +零输入响应 （非 强迫运动） ）
2