北师大版七年级下册数学平行线的性质
七年级数学下册(北师大版)课件：23 平行线的性质
新知2 平行线的判定与性质的区别及应用
平行线的判定叙述的是两条直线满足什么条件时， 它们互相平行；而平行线的性质是已知两条直线平 行，那么它会有哪些性质.
在应用平行线的判定与性质解题时，关键是要看清 题目中的平行关系是在条件中还是在结论中，以便 选择适当的定理来解题.
【例2】如图2－3－9，已知BE∥DF，∠B＝∠D， 试说明：AD∥BC.
3. (3分)如图KT2－3－3，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为 E，∠1＝50°，则∠2的度数是( C )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4. (3分)如图KT2－3－4，直线AB∥CD，直线EF与 AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线与CD相交 于点N.若∠1＝63°，则∠2＝( D ) A.64° B. 63° C. 60° D. 54°
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
新知1 关于平行线的性质
平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条： (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 两直线平行，内错角相等； (3) 两直线平行，同旁内角互补.
【例1】如图2－3－. 求∠B和∠ACB的度数.
3. 按图填空，并注明理由. 已知：如图2－3－12，∠1＝∠2， ∠3＝∠E.试说明AD∥BE的理由. 解：因为∠1＝∠2 (已知)， 所以 EC ∥ DB ( 内错角相等，两直线平行 ). 所以∠E＝∠ 4 ( 两直线平行，内错角相等 ). 又因为∠E＝∠3 (已知)， 所以∠3＝∠ 4 ( 等量代换 ). 所以AD∥BE ( 内错角相等，两直线平行 ).
图KT2－3－8
解：因为EF平分∠MEN，NP平分∠END，
5. (3分)将直尺和直角三角板按如图KT2－3－5方式 摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是( C )
北师大版七年级数学下册平行线的性质课件
第二章 相交线与平行线 平行线的性质
学习目标
01
02 会用平行线的性质进行简单的计算与说理 （难点）
03 了解平行线的性质和判定的区分
思考回顾
平行线的判定
由“角”的数量关系（相等或互补）定 “线”位置关系（平行）
同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
b
2
∴∠1=∠2.（两直线平行，
同位角相等）
c
平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相
等。
几何语言:
a
∵a∥b,
3
∴∠2=∠3.（两直线平行， b
2
内错角相等）
平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角
互补 a
几何语言: ∵a∥b,
4
b
2
∴∠4+∠2=1800.（两直线
c
平行，同旁内角互补）
BACK
2、如图：AB,CD被EF所截，AB∥CD(填空)。
若∠1＝120o，则∠2= 1200
A
C
（两直线平行，内错角相等） E
2 F
3
∠3=180－∠1＝ 600
1
（两直B线A平CK行，同旁内角互补） B
D
3、如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直 尺的一边上，如果∠1= 50 °，那么∠2的度数 是40 °。
游戏导入
如图 :∠1=90 。 ,∠2=70 。 , 固定木条b 、c ，转动 木条a，满足什么条件时a ∥ b ？c
动手转一转
1
a,
a 2
b
逆向思考
两 直 线 平 行
北师版数学七年级下册 平行线的性质(共2课时40页)
第1课时 平行线的性质
北师大版七年级数学下册
平行线的判定
新课导入
结论
判定方法1 同位角相等，两直线平行. 判定方法2 内错角相等，两直线平行. 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行.
条件
两 直 线 平 行
结论
？
条件
结论
两条平行线 被第三条直 线所截
同位角？ 内错角？ 同旁内角？
课堂小结
图形
已知
结果
理由
c
a∥b
∠1=∠3
两直线平行， 同位角相等
1 2 43
a a∥b
∠2=∠4
两直线平行， 内错角相等
b a∥b ∠2+∠3=180°两 同直旁线内平角行互，补
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。
第 2 课时 平行线性质与判定的综 合应用
北师大版七年级数学下册
120°
？
4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的， 因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由 于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气 中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°， 求图中其他角的度数.
解：由题意得：
∠3 =∠1 = 45°，∠1+∠7 = 180°， ∴∠7 = 180°－∠1 = 135°. ∴∠8 =∠7 = 135°. 又∠4 =∠2 = 122°， ∠2 +∠5 = 180°， ∴∠5 = 180°－∠2 = 58°. ∴∠6=∠5=58°.
2. 如图，如果 AB∥CD∥EF ，那么∠BAC + ∠ACE + ∠CEF ＝（ C ）
A.180° B.270° C.360° D.540°
新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角知识点梳理汇总
新北师大版七年级数学下册第二章平行线
与角知识点梳理汇总
本文档将概述新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的
主要知识点，以帮助学生更好地理解和掌握相关概念。
1. 平行线的定义与性质
- 定义：平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
- 性质：
- 平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
- 平行线上的任意两个角互为对应角，对应角相等。
2. 平行线的判定方法
- 同位角相等判定法：两条直线被一条截线所切，同位角相等，则直线平行。
- 内错角相等判定法：两条直线被一条截线所切，内错角相等，则直线平行。
3. 角的概念
- 角：由两条射线共同端点所组成的形状。
- 顶点：角的共同端点。
- 边：角的两条射线。
- 内角：小于180度的角。
- 外角：大于180度小于360度的角。
4. 角的分类
- 零度角：两条重合的射线组成的角。
- 钝角：大于90度小于180度的角。
- 直角：等于90度的角。
- 锐角：小于90度的角。
以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的主要知识点梳理。
通过学习和掌握这些概念，可以更好地理解平行线与角的性质和判定方法。
希望这份梳理对学生们的学习有所帮助。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
北师大版数学七年级下册.1平行线的性质课件
平行线的性质与条件的对照学习
判定直线 平行
平行线 的性质
条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
结论
两直线平行
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
性质 同位角相等
两直线平行
内错角相等
条件
同旁内角互补
条件：角的关系 性质：线的关系
线的关系 角的关系
A. 50° C. 70°
B. 60° D. 80°
2．如图 (1)若AD∥BC,
A 1
2
D
87
则∠__1_=∠__5___,
∠__8_=∠____4__, ∠ABC+∠_B_A__D_=180°;
B
3
4
56
C
(2)若DC∥AB,则 ∠_3__=∠__7_,
∠_2__=∠__6_, ∠ABC+∠_B__C_D_=180°.
图中还有其他同位角吗？ 它们的大小有什么关系？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关 系？为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么 关系？为什么？
探究方法1：可以先测量这些角的度数,把结果 填入下表内.
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
思考：请同学们根据测量所得的结果猜想： 同位角具有怎样的数量关系?内错角 具有怎样的数量关系?同旁内角呢？
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质（1）
学习目标
1.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三 条性质. 2.能运用三条性质进行简单的推理和计算.
温故知新
回顾旧知
如图，当_∠_1_=∠4时，a∥b ( 同位角相等，两直线平行)
初中数学北师大版七年级下册《第2课时平行线的性质》课件
• （2）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°， • 则∠4＝__1_1_8_°_____．
• （3）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A， CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝___2_7_0_°__度．
• 3．如图，AB∥CD，AE，DF分别是∠BAD，∠CDA的角平分线，AE与DF平行吗？为何 ？
• •
则A．∠3D随0E°C堂的度B练．数6为习0°（
B
）． C．90°
D．120°
• （2） 如图，直线DE经过点A，DE∥BC，
• ∠B=60°，下列结论成立的是( B )．
• A．∠C=60°
B．∠DAB=60°
• C．∠EAC=60°
D．∠BAC=60°
• （3）如图，已知AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点E，F，EG
D
根据“内错角相等，两直线平行”，
E
∴EF∥CD．
又∵AB∥CD，
A
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
∴ EF∥AB．
C
1
2F
B
例3．如图：已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3的度数．
解：∵a∥b， 根据“两直线平行，内错角相等”， ∴ ∠2=∠1=107°．
a
21 3
b
典型例题 __∠_D_＝__∠_4_；__内__错__角_相__等__，__两__直_线__平__行__；_________________
∠_D_＋__∠_3_＝__1_8_0_°__；__同_旁__内__角__互__补_，__两__直__线__平_行_______.
A
21 B
北师大版数学七年级下册2.3 平行线的性质(第1课时)课件
探究新知 知识点 1 两直线平行，同位角相等
如图，直线a与直线b平行．
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中 还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ 相等：∠1=∠5, ∠2=∠6, ∠3=∠7, ∠4=∠8 .
所以DE∥BC. （ 同位角相等，两直线平行 （2） ∠C =40°.因为DE∥BC ，所以∠C
） ＝
∠AED.
A
( 两直线平行，同位角相等 )
D
因为∠AED=40°，所以∠C =40°.
B
E C
巩固练习
变式训练
如图所示，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A
等于 ( C )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 50°
探究新知 知识点 2 两直线平行，内错角相等
如图，直线a与直线b平行．
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ 有两对内错角： ∠3=∠6、 ∠4=∠5； 说明： 因为∠3=∠7， ∠7= ∠6, 所以∠3=∠6. 同理： ∠4=∠5.
探究新知
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
A．70° B．80° C．90° D．100°
2.（2020•宿迁）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°
，则∠2的度数为（ B ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
课堂检测
基础巩固题
1.如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝
56°，则∠2等于 ( C )
北师大版 数学 七年级 下册
北师大版七年级数学下册平行线的性质课件
学习目标 回顾思考 讲授新课 练一练 快乐游戏 合作探究 拓展训练 总结收获
看谁回答的又快又准！
【202X·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块 直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b 上，则∠1＋∠2的值为（ A ） A．90° B．85° C．80° D．60°
学习目标 回顾思考 讲授新课 练一练 快乐游戏 合作探究 拓展训练 总结收获
（2）如图2,∠1＋∠2＋∠3＝_3_6_0°__；
（3）如图3,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ 54_0_ __；
（4）如图4,试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠°4＋…＋∠n
= 180°×（n-1)；
A 1
2 C
图1
BA 1
E2
3 DC
B
A 1
E2 F 34
DC图2图3 NhomakorabeaB
A 1
E2
Nn DC
B
D
图4
学习目标 回顾思考 讲授新课 练一练 快乐游戏 合作探究 拓展训练
3.平行线的性质
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错
a3
角b
2
c
同
旁a 内
42
角b
c
学习目标 回顾思考 讲授新课 练一练
已知 a//b
结果
根据
两直线平行 ∠1=∠2 同位角相等
两直线平行 a//b ∠3=∠2 内错角相等
a//b
∠2+∠4 两直线平行 =180 ° 同旁内角互补
快乐游戏 合作探究 拓展训练 总结收获
讲授新课
典例精析 平行线性质与判定的综合运用 例1 根据如图所示回答下列问题： （1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据 是什么？
北师版初中数学七年级下册专题课件3 平行线的性质
1.请完成“问题导引”中的问题,并与小组其他成员交流 讨论.
∠1+∠2=90°.理由略. 2.一辆汽车以正北方向行驶,开了一段时间后向右转弯 30°行驶,之后为了沿原方向平行继续行驶,应如何转弯? (画出图形) 解:向左转弯30°.如图所示.
通常运用“两直线平行,同位角相等,内错角相等 ”的性质得出角相等的关系;运用“两直线平行,同旁 内角互补”的性质得出两角互补的关系.
教学课件
数学 七年级下册 北师大版
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质（第一课时）
1.能记住平行线的性质. 2.会运用平行线的性质解决一些问题.
右图所示为我们经常用来削铅笔的小刀,刀柄外形是 一个直角梯形(下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的, 转动刀片时会形成∠1,∠2.不知道你注意到了没 有,∠1+∠2的度数是一个定值,这个定值线的性质 第2课时
1.会应用平行线的性质和判定直线平行的条件解决问题. 2.进一步体会数学的严密性,提升自己的逻辑思维能力.
如图,玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行, 采用了这样一个小办法:将一束光线从空气射入玻璃中,光 线会发生折射现象,光线从玻璃射入空气也会发生折射现象. 如果l∥m,∠1=∠2,那么工人就能判定玻璃的两个面平行.你 明白这个办法的道理吗?
1.完成“问题导引”中的问题. 略.
2.如图,在三角形ABC中,∠A=∠B. (1)请你添加一个与直线AB相关的条件,由此可推得CE是 ∠ACD的平分线(只添加条件,不说理由); (2)请你添加一个与∠A有关的条件,由此可推得CE是∠ACD的 平分线(要写出理由). 解:(1)添加EC∥AB. (2)添加∠A=∠ACE,则CE是∠ACD的平分线.理 由:因为∠A=∠ACE(已知), 所以EC∥AB(内错角相等,两直线平行). 所以∠B=∠DCE(两直线平行,同位角相等). 又因为∠A=∠B(已知), 所以∠ACE=∠DCE(等量代换). 即CE是∠ACD的平分线(角平分线的定义).
北师大版七年级数学下册.1平行线的性质
知识点 2 两条直线平行，内错角相等
两条平行线被第三条直线截得的内错角会具 有怎样的数量关系？
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等.
简称为：两直线平行，内错角相等.
数学符号表示方法： 如图，∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角角相等)．
例3 如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那 么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？
导引：由DE∥BC，可得 ∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°； 由DF∥AB，可得∠3＝∠2， 从而得∠2，∠3，∠4的度数．
解：能．∠2＝∠3＝115°，∠4＝65°. 理由如下： ∵DE∥BC(已知)， ∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)， ∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°. 又∵DF∥AB(已知)， ∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∴∠3＝115°(等量代换)．
例2 如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，试说明AE平分 ∠CAD.
导引：要说明AE平分∠CAD，即说明 ∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC， 根据两直线平行，同位角相等和 内错角相等可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C， 这就将说明∠DAE＝∠CAE转化为说明∠B＝∠C了．
解： ∵ AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
简称为：两直线平行，同位角相等.
E
C
P
D
2
A
1
B
F
数学符号表示方法： 如图，∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
北师大版数学七年级下册第二章3平行线的性质(共77张PPT)
答案 B 如图,
3 平行线的性质
∵∠1=70°,∴∠3=180°-∠1=180°-70°=110°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=110°.故选B.
栏目索引
3 平行线的性质
栏目索引
2.(2018四川绵阳中考)如图2-3-2,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点 放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是 ( )
A.14°
B.15°
C.16°
图2-3-2 D.17°
3 平行线的性质
栏目索引
答案 C 如图,根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再 根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.
3 平行线的性质
栏目索引
3.(2017江苏宿迁中考)如图2-3-3,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2= 100°,∠3=85°,则∠4的度数是 ( )
A.65° C.55°
B.50° D.60°
图2-3-4
3 平行线的性质
栏目索引
答案 C 如图,∵直角顶点C在直线a上,∠1=35°,∴∠3=55°,∵直线a∥b, ∴∠2=∠3=55°.故选C.
3 平行线的性质
栏目索引
5.如图2-3-5,点B在∠ADE的边DA上,过点B作DE的平行线BC,如果∠D=49°,
3 平行线的性质
5.如图2-3-12,如果DE∥AB,那么∠A+
=180°或∠B+
根据是
;如果∠CED=∠FDE,那么
根据是
.
栏目索引
=180°,
∥
,
图2-3-12
答案 ∠AED;∠BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等,两直 线平行
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b
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
总结归纳
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
a
∴∠2=∠3
b
（两直线平行，内错角相等）
1 3
2
c
如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解： ∵a//b（已知）,
∴1= 2
∵AC∥DF( 已知 )
∴∠D=∠__C__P_E_ ( 两直线平行,同位角相等 ) ∴∠A=∠D ( 等量代换 )
F C
DP
E
A
B
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
课后作业
见《课堂点睛》本课时练习
1 4 2
c
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什
么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
线的关系
判定
角的关系
两直线平行
同位角相等 平行线的判定
内错角相等 平行线的性质
同旁内角互补
线的关系
性质
角的关系
典例精析 例1 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得
∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是 多少度？
A
C
又∵∠1+∠2=90°(已知),
3
1
∴∠1=∠2=45°.
2
∵ ∠3=45°(已知), ∴∠2=∠3.
B
D
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
当堂练习
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度？为什么？
解：因为梯形上.下底互相平行，
所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补. D
C
于是∠D=180 °－∠A
=180°－100°=80°,
A
B
∠C= 180 °－∠B=180°－115°=65°.
所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.
例2 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，
试说明:AB//CD？
解：由于∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2.
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内 错角、同旁内角各有什么关系呢?
讲授新课
平行线的性质 画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交， 标出如图的角. 任选一组同位角、内错角或同旁内角， 度量这些角，把结果填入下表：
角
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
a
度数
角
∠5 ∠6 ∠7 ∠8 b
度数
1 2 c
观察 各对同位角、内错角、同旁内角的度数之间 有什么关系？说出你的猜想：
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿相＿等＿， 内错角＿＿相＿等＿＿，同旁内角＿＿互＿补＿＿.
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个 角的度数，你的猜想还成立吗？
d
a
b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
总结归纳
一般地，平行线具有性质：
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度？为什么？
解：（1）∠2=110o ∵两直线行， 内错角相等；
（2）∠3=110o,∵两直线平行,同位 角相等； （3）∠4=70o,∵两直线平行,同旁 B 内角互补.
C
A
2E
1
43
D
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第 一次拐的角∠B是142o，第二次 拐的角∠C是多少度？ 为什么？
a
（两直线平行，同位角相等）. b
∵1+ 4=180°（补角定义）,
∴ 2+ 4=180°（等量代换）.
1 4 2
c
总结归纳
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
应用格式:
a
∵a∥b（已知）
b
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，内错角相等）
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
a
1
b
2
（两直线平行，同位角相等）
c
如图，已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解：∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).a
又∵∠1=∠3(对顶角相等),
Ｃ
Ｂ
解：∠C=142o , ∵两直线平行,内错角相等.
3.如图直线a∥b,直线b垂直于直线c，则直线a垂
直于直线c吗?
c
a
b
பைடு நூலகம்
解： a⊥b .∵两直线平行, 同位角相等
4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ D） （A）内错角相等 (B)同位角相等 （C）同旁内角互补 （D）以上都不对
5.∠1 和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内
第二章 相交线与平行线
2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
学习目标
1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行判断 角相等或互补；（重点） 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理及计算.
导入新课
回顾与思考 问题 平行线的判定方法是什么？
1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补
两直线平行
角,要使这两条直线平行,必须 ( C )
A. ∠1= ∠2
B. ∠1+∠2=90o
C. 2(∠1+∠2)=360o D .∠1是钝角, ∠2是锐角
6.如图,若AB∥DE ,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间
的数量关系，并说明理由.
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( 已知 )
∴∠A=_∠__C_P__E_ ( 两直线平行,同位角相等 )