二进制表示与运算

非十进制数转换成十进制数
其方法以上已经介绍过了，即把非十进数按位权 展开并求和。
例如： (32CF.4B)16 ＝(
)10
(32CF.4B)16
＝3×163＋2×162＋12×161＋15×160＋4×16-1＋
11×16-2
＝12288＋512＋192＋15＋0.25＋0.04296875
＝(13007.29296875)10
6
二进制数转换为十进制数
• 整数部分： (knkn-1…k2k1)2=(kn×2n-1+kn-1×2n-2+…+k2×21+k1)10
• 小数部分： (. k1 k2 …kn-1kn)2=(k1×2-1+k2×2-2+…+kn-1×2-(n-1)+kn × 2-n)10
例： (11001)2
24+23+1=(25)10
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
32
逻辑代数的基本运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三种基本运算
-----与、或、非
1 “与”逻辑
AB
E
Y
ABY
断断 灭 断通 灭 通断 灭 通通 亮
11
二进制数与八进制的转换
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
(0.101)2 (101.11)2
2-1+2-3=(0.625)10 22+1+2-1+2-2=(5.75)10
7
十进制整数转换为二进制数
• 转换规则：除2取余 (x)10 =(knkn-1…k2k1)2=(kn×2n-1+kn-1×2n-2+…+k2×21+k1)10 k1=x除2取余数，k2=(x-k1)/2除2取余，……直至商数小于2
所以 (11110111101.01)2＝(7BD.4)16
15
二进制数与十六进制数的转换
➢将十六进制数的每一位用相应的四位二进 制数写出。
【例】 (23.F)16＝(
)2
解
2 3.F
0010 0011 . 1111
所以 (23.F)16＝(100011.1111)2
16
非十进制到十进制数的转换
27
数的机内表示— 定点小数
• 定点小数： 数符
数值
小数点
• 数符：0——正， 1——负
例：+0.001101
0001 1010
-0.1010
1 10 1 0 0 0 0
• 若机器字长为n，则定点小数的数值表示范围为：
2-(n-1)<=|x|<=1-2-(n-1) • 有关机器码及其运算的介绍均以定点小数为例
➢ 253.48=2*102+5*101+3*100+4*10-1+8*10-2 ➢ 显然，任一数字的位置是由10的次幂而决定的
，这个10就是十进制的基数。十进制的特征：
数字的个数等于基数 最大的数字比基数小1 每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个
数所在的位置决定的
3
为什么数字计算机上要采用二进制
18
数制转换小结
1.非十进制数转换成十进制数 方法：把非十进数按位权展开并求和。
2.十进制数转换为非十进制数
（1）十进制整数转换为非十进制整数
方法：除以基数，直至商 为０，取其余数，倒排。
19
（2）十进制小数转换为非十进制小数
方法：乘以基数，直至小数部 分为0，取其整数，顺排。 3.非十进制之8间互4 相2转换1
21
练习
➢十进制转换为十六进制：85.58 ➢十六进制转换为十进制：7C.C7 ➢八进制转换为十六进制：56.65 ➢十六进制转换为八进制：5B.B5
22
数的定点与浮点表示
➢一个十进制数123.456可以表示为 123.456 = 0.123456 * 103
➢数0.000456可以表示为： 0.000456 = 0.456 * 10-3
k1=x乘2取进位，k2=(2×x-k1)乘2取进位，……直至余数为0
例： (0.125)10=(0.001)2
0.125×2＝0.25
进位为0
0.25×2＝0.5
进位为0
0.5×2＝1
进位为1，余数为0，计算结束
练习： (0.625)10= (0.101)2
(23.25)10= (10111.01)2
➢类似地，对于二进制数10011.101也可以 这样表示为： 10011.101 = 2101 * 0.10011101
23
数的定点与浮点表示
➢一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S
➢其中j是二进制整数位数；S是二进制小数 ，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾 数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明 了小数点的位置。
23 22 21 20
1111
（1）二进制数与八进制数间互换 一位八进制数相当于三位二进制数
（2）二进制数与十六进制数间互换 一位十六进制数相当于四位二进制数
20
练习
➢十进制转换为二进制：83.25，56.38 ➢二进制转换为十进制：11010011.001011 ➢八进制转换为二进制：265.73 ➢二进制转换为八进制：11010011.1101 ➢十六进制转换为二进制：3FD.6C ➢二进制转换为十六进制：11011110.11 ➢十进制转换为八进制：593.92 ➢八进制转换为十进制：67.76
-110.11= -0.11011×211
0 11 1 11011
• 设阶码共m位，尾数共n-1位，则浮点数的表示范围为： 2-(2m-1)×2-1<=|x|<=2(2m-1)×[1-2-(n-1)]
30
符号的表示方法
➢ 在计算机中，二进制数码1和0是用电子元件的 两种不同状态来表示的，对于一个数的符号， 也用电子元件的两种不同状态来表示。一般约 定正数的符号用0表示，负数和符号用1表示。
24
数的定点与浮点表示
➢一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S
➢对任何一个数，若阶码j是固定不变的，则 把这种表示法称为定点表示，这样的数称 为定点数。反之，如果j可以取不同值，则 把这种表示称为数的浮点表示，这样的数 称为浮点数。
25
数的定点与浮点表示
➢一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S
➢如果对任何数j=0，则该定点数只能表示小 数。这种表示法是一种常用的方法，以后 我们讨论问题时，除非特别说明，否则都 采用这种表示方法。
26
数的定点与浮点表示
➢如果计算机中的数采用定点表示，则计算 机中数的小数点是固定的，这种计算机叫 定点计算机；如果计算机中的数采用浮点 表示，这时机器中数的小数是可以变化的 ，这种计算机叫浮点计算机。
➢计算机是电子设备，它容易实现的稳定状 态有两种，如电路的通或断、电位的高或 低。两种稳定状态工作可靠，抗干扰能力 强，分别对应着数值１和０，这就是计算 机中使用二进制数的理由。
➢１和０的不同编码组合可以表示一个数、 一个字符或一条操作指令。
4
二进制
➢二进制数
１）用０和１两个数符表示两个不同的数。 ２）逢二进一，即高一位数是低一位数的２倍 因此，二进制数10101.101的十进制值可用以 下方法求出： (10101.101)2 ＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3 ＝16+0+4+0+1+0.5+0+0.125 ＝(21.625)10
二进制表示与运算
2020/6/23
二进制表示与运算
• 二进制与十进制、八进制和十六进制的转换 • 数的表示（定点小数、定点整数、浮点数） • 机器码（原码、反码、补码） • 定点数的运算
2
十进制
➢ 由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9等十个不同 的符号来表示数值的一种表示方法，采用逢10 进1的计算方式。例如
5
二进制
• 二进制：逢二进位的数制系统
• 基数：0 1
例：( 110)2
1×22＋1×21＋0×20＝(6)10
• 奇偶数的判断以尾数为准
• 易于运算
• 用于表达二进制数所需的物理状态最少
例：0～999范围内的数，十进制表示需3×10＝30个稳定状态； 二进制表示需10×2＝20个稳定状态（210＝1024）
17
二、八、十六进制对照表
表1.1 二、八进制数字对照表
二进制数 八进制数
000
0
001
1
010
2
011
3
100
4
101
5
110
6
111
7
表1.2 二、十六进制数字对照表
二进制数 十六进制数 二进制数 十六进制数
0000 0 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F
10
二进制数与八进制的转换
• 一位八进制数相当于三位二进制数，即 有如下的对应关系：
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
(27)10=(11011)2
例： （20）10＝（10100）2
（67）10＝（1000011）2
（128）10＝（10000000）2
8
十进制小数转换为二进制数
• 转换规则：乘2取进位
(x)10 =(. k1 k2 …kn-1kn)2=(k1×2-1+k2×2-2+…+kn-1×2n-1+kn × 2-n)10
【例】 (10001101.1101)2＝(
)8
12
八进制与二进制数的转换
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
• 转换的方法是：这是上述转换的逆过程 。将八进制数的每一位用相应的三位二 进制数写出即可。
【例】 (325.46)8＝(
A、B条件都具备时，事件Y才发生。
33
逻辑代数的描述方法
ABY
A
断断 灭
0
断通 灭 0
通断 灭 1
通通 亮 1
BY
00 10 00 11
真值表
用0表示开关断开、1表示开关闭合 用0表示灯灭、1表示灯亮
14
二进制数与十六进制数的转换
➢转换的方法是：由小数点开始向左把二进 制整数按每四位一划分，同理，由小数点 开始向右把二进制小数按每四位一划分， 不足四位用0补齐，然后写出其相应的十 六进制数。
【例】 (11110111101.01)2＝(
)16
解
0111 1011 1101 . 0100
7 Ｂ D.4
9
八进制与十六进制
➢在计算机中应用二进制有一系列的优点， 但写起来位数太多，读起来也比较麻烦， 为了读写方便，往往采用八进制和十六进 制作为二进制的过渡方式。
➢ 八进制：用0，1，2，3，4，5，6，7 八个数 符。采用“逢八进一”的计数方法。
➢ 十六进制：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，A，B，C，D，E，F十六个数符。采用“逢 十六进一”的计数方法。
)2
解 3 2 5.4 6
011 010 101 . 100 110
13
二进制数与十六进制数的转换
➢一位十六进制数相当于四位二进制数，即 有如下对应关系：
十六进制 二进制数 十六进制 二进制数
01234567 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
8 9ABCDEF 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
➢ 在作乘法或除法时，把数的符号位按位相加后 就得到结果的符号位，其规则为：
正数乘正数，符号按位相加得：0+0=0 正数乘负数，符号按位相加得：0+1=1 负数乘负数，符号按位相加得：1+1=0
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逻辑代数
在数字电路中，我们要研究的是电路 的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电 路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。
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数的机内表示— 定点整数
• 无符号整数： 数值位
• 字长为n时，无符号整数的表达范围为 0～2n-1
• 有符号整数： 数符
数值
• 字长为n时，有符号整数的表达范围为 |x|<=2n－1-1
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数的机内表示— 浮点数
• 浮点数： 阶符 阶码 数符 尾数
• 将数x表示为 s×2j的形式，其中s为x的小数形式（尾数）