高等数学中不等式的证明方法

f′ （ ξ ） a -a a lna π （0＜x＜ξ＜y＜ ）。 。 即 = g′ （ ξ ） cosx-cosy -sinξ 2 y x ξ ξ 1 故 a -a = （cosx-cosy ）a lna ＞ （cosx-cosy ）a lna ＞ （cosxsinξ cosy ）a lna 。
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周刊 2009年第25期 ○ 数学教学与研究 例 1 ： 若 0＜y＜x ， 及 p＞1 ， 求证 ：py （x-y ）＜x -y ＜px （x-y ）。 证明 ：令 f（t）=t ，显然 f（t）=t 在 ［y，x］上满足拉格朗日中值定
p-1 f（x）-f（y） x -y 理的条件 ，于是有 =f′（ξ）（0＜y＜ξ＜x），即 =pξ 。 x-y x-y p p p p p-1 p p p-1
分析 ： 看到有
p p 1 1 ， 考虑当 x= 时 ，x + （1-x ） =0 。 2 2 p p
证明 ： 设 f （x ）=x + （1-x ） ，x∈ ［0 ，1 ］， 则 f′ （x ）=px -p （1-x ） 。 令 f′ （x ）=0 ， 得 x= 又因为 f （
p-1 p-1
因为 0＜y＜ξ＜x ，p-1＞0 ， 所以 y ＜ξ ＜x 。 故 ：py （x-y ）＜x -y ＜px （x-y ）。 例 2 ： 设 a＞e Hale Waihona Puke Baidu0＜x＜y＜
Δx→0
Δx
数 f （z ） 在点 z 的导数 ， 记为 f′ （z ）。 在讲解时 ， 注意新旧知识的对 比 ， 这样 ， 既复习了旧知识 ， 又为顺利接受新知识打开了大门 。 （ 二 ） 激发学生的学习兴趣 ， 充分调动学生的学习积极性 。 把一些抽象的概念形象化 ， 举出实例来刺激学生的学习 兴趣 。 例如 ： 单连域 、 多连域的概念 ： 一个区域 B ， 如果在其中任 作一条简单闭曲线 ， 而曲线的内部总属于 B ， 就称为单连域 。 一 个区域如果不是单连域就称为多连域 。 为了帮助学生理解这 两个抽象的概念 ， 可以举一个这样的例子 ： 单连域好比一张完 整无缺的报纸 ， 而多连域则好比是这张报纸被剪了若干个洞 。 这样 ， 学生会很轻松地理解这两个概念 。 在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学 史 。 数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史 ， 从中可 以再现数学大师们的思考问题的方式 ， 看到他们是如何探索 真理的 ， 从而启发学生怎样去思考问题 。 （ 三 ） 培养学生自学的能力 。 《复 变 函 数 》作 为 《数 学 分 析 》在 复 数 域 的 延 拓 ，在 知 识 结 构 、理 论 体 系 、研 究 方 法 等 方 面 ，二 者 都 紧 密 相 关 。 学 生 经 过 《 数学分析 》 的完整学习 ， 方可具备相当扎实的函数论知识 ， 并
命题得证 。
x
x
y
ξ
1 ）= （p＞1 ），f （0 ）=1 ，f （1 ）=1 ， p-1 2 2 1 故 maxf （x ）=1 ，minf （x ）= 。 p-1 2 p p 1 所以 ≤x + （1-x ） ≤1 。 p-1 2 4. 利用函数凹凸性证明不等式
运用曲线的凹凸性证明不等式的基本思想方法是 ：（1 ） 构 造 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 判 定 函 数 f （x ） 在 指 定 区 间 上 的 凹 凸 性 ； （3 ） 根据曲线凹凸性的定义 ， 导出不等式 。 例 6 ： 证明 ：
t y x x π ， 求证 ：a -a ＞ （cosx-cosy ）a lna 。 2 p-1 p p p-1
p-1
p-1
p-1
证 明 ： 令 f （t ）=a ，g （t ）=cost ， 由 题 设 条 件 知 ，f （t ）、g （t ） 在 ［x ， f （x ）-f （y ） y ］（0＜x＜y ） 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 ， 于 是 有 ： = g （x ）-g （y ）
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1. 利用微分中值公式证明不等式
中值定理特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不 等式的证明中有着重要作用 ， 通过对不等式结构的分析 ， 构造 某特定区间上的函数 ， 满足定理的条件 ， 达到证明的目的 。 其 基 本 思 想 是 ：（1 ） 根 据 题 目 给 定 的 不 等 式 ， 选 取 一 个 适 当 的 辅 助 函 数 f （x ） 和 区 间 ［a ，b ］；（2 ） 当 函 数 f （x ） 在 区 间 ［a ，b ］ 上 满 足 中 值 定 理 的 条 件 ， 利 用 中 值 公 式 ；（3 ） 利 用 得 到 的 公 式 结 合 题 设条件 ， 对写出的公式进行适当的变化 ， 得到所证不等式 。 具备一定的自学能力 。 因此 ， 依据自主探索学习的基本理论 ， 结合目前的教学现状 ， 在复变函数教学中教师可适合安排一 定的教学内容让学生进行自主探索学习 ， 以便收到更好的教 学效果 ， 同时也便于不断提高学生自主探究 、 自我建构知识的 能力 。 例如 ，“ 复数 ” 这节的内容大部分学生在中学阶段都学 过 ，“ 复平面上的点集 ” 的内容与数学分析中平面点集的内容 几 乎 是 一 样 的 ，再 讲 这 些 内 容 ，既 浪 费 时 间 ，学 生 听 起 来 也 不 会感兴趣 。 如果让学生自学 ， 然后教师提出一些问题让学生去 讨 论 ，去 思 考 ，他 们 会 更 集 中 精 力 去 钻 研 ，从 而 收 到 更 好 的 学 习效果 ， 并不断地提高自学能力 。 在 课 堂 上 我 们 应 坚 持 “教 师 是 主 导 ，学 生 是 主 体 ”的 教 学 原 则 ，让 学 生 在 教 师 帮 助 下 逐 渐 消 化 、理 解 知 识 ，引 导 学 生 对 所学知识进行概括与总结 ， 培养学生驾驭知识的能力 ， 让学生 将知识不断地经过自己头脑的分析 、 综合变成自己可以运用 自如的知识体系 。 教师可以利用章节的小结 、 习题课等形式训 练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考 ，多角度多方向 去 观 察 ，尽 量 探 索 出 多 种 解 法 ，让 学 生 变 “被 动 学 习 ”为 “主 动 学 习 ”， 从 而 掌 握 学 习 的 主 动 性 ， 并 逐 步 培 养 学 生 一 定 的 自 学 能力和提出问题 、 分析问题 、 解决问题的综合能力 。 三 、 努力提高教学质量 复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程 ， 教师 需要具备扎实的专业知识背景 ， 在此基础上教学手段的多样 化 ， 教学内容的兴趣化 ， 以及教学器材的现代化都是提高教学 效果的手段 。 只有充分调动教师的聪明才智 、 调动广大学生的 积极性和创造性 ， 才能够取得更好的教学效果 。 教学中教师应注意把教书和育人融为一体 。 教师首先要 以 身 作 则 ，为 人 师 表 ，在 教 学 中 认 真 处 理 好 每 一 个 问 题 ，认 真 回答学生提出的每一个问题 ， 在把握好接受性的原则下 ， 对疑 难问题不回避 ， 以严谨治学的精神影响学生 ， 培养学生勤奋读 书 、 刻苦钻研 、 理论联系实际 、 求实严谨的学风 。 其次对学生要 严格要求 ， 对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做 法 ，要 及 时 指 出 ，正 确 引 导 ，把 学 生 的 注 意 力 和 精 力 引 导 到 学 习功课上来 。 只要能充分调动学生的学习积极性 ， 任何学习上 的困难都可以克服 ， 复变函数的教学质量就可以得到提高 。 参考文献 ： ［1 ］ 钟玉泉 . 复变函数 . 北京 . 高等教育出版社 .1984.3. ［2 ］ 姜 淑 珍 . 关 于 复 变 函 数 论 教 学 方 法 的 思 考 ［J ］. 长 春 师 范学院学报 ，2004 ，（2 ）. ［3 ］ 姜 涛 . 改 革 高 师 数 学 教 育 培 养 创 新 人 才 ［J ］. 数 学 教 育 学报 ，2000 ，（1 ）. ［4 ］ 杨 春 宏 . 高 师 数 学 专 业 课 程 体 系 分 析 与 探 索 ［J ］. 数 学 教育学报 ，2000 ，（2 ）.
（n ） （n ） （n ） （n ） （n ） （n ） （k ） （k ）
∈ ∈
x+y 2
n
n
1 。 2 1
2. 利用函数单调性证明不等式
函数不等式是判断函数之间的大小关系 ， 基于这种思想 ， 可以利用函数单调性证明不等式 。 其基本思想是 ：（1 ） 将不等 式 两 边 的 函 数 移 到 同 一 端 ， 并 作 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 利 用 函 数 f （x ） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性 ；（3 ） 根 据函数 f （x ） 的单调性 ， 得到所求不等式 。 例 3 ： 证明定理 ： 设 （1 ） 函数 φ （x ） 及 ψ （x ） 可微分 n 次 ； （2 ）φ （x0 ）=ψ （x0 ），（k=0 ，1 ，2 ，…，n-1 ）； （3 ） 当时 x＞x0 ，φ （x ）=ψ （x ）。 则当 x＞x0 时 ， 有不等式 φ （x ）＞ψ （x ）。 证 明 ： 设 F （x ） =φ （x ） -ψ （x ）， 则 由 于 φ
○ 数学教学与研究 2009年第25期
周刊
高等数学中不等式的证明方法
张 昊
215200 ）
（ 南京邮电大学 吴江职业技术学院 基础课部 ， 江苏 吴江 摘 要 ： 不等式的证明在高等数学通用教材中较多 ， 本文 就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路 。 关键词 ： 高等教学 不等式证明 基本方法 不 等 式 证 明 是 高 等 数 学 中 的 常 见 问 题 ，在 各 类 考 试 中 经 常出现 。 证明不等式没有固定的模式 ， 证法因题而异 ， 灵活多 变 ， 技巧性强 ， 因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问 题之一 。 但它也有一些基本的常用方法 。 我们要熟练掌握不等 式的证明技巧 ， 就必须了解这些基本方法 。
复数 z=x+iy圳 坐标平面上的点 p （x ，y ）。 这样学生会将复数 z 、R 中 的 有 序 实 数 对 （x ，y ）、 坐 标 平 面 上 的 点 p （x ，y ） 视 为 同 义 语 ，
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把复数集 、 平面点集 、 二维空间 R 的子集看成一回事 。 由 z 圮 （x ，y ）， 复 变 函 数 f （z ） 可 看 成 关 于 x 和 y 的 函 数 ， 其 极 限定义可与实二元函数的极限定义比较 ， 而实二元函数又是 在 多 元 微 分 学 中 讲 过 ，学 生 较 为 熟 悉 ，这 样 进 行 比 较 ，可 加 深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解 。 通过比较 ， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些 ， 似乎完全相似 ， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数 ， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否 。 两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在 。 2. 导数概念的类比 在微分学中 ， 对一元函数的导数是这样定义的 ： 设函数 y= f （x ） 在点 x0 的某一邻域内有定义 （ 包括 x0 点 ）， 当自变量 x 在 x0 处 有增量 Δx 时 ， 相应的 ， 函数有增量 ，Δy=f （x0+Δx ）-f （x0 ）， 当 Δx→
0 时 ， 比值的极限 lim
f （x0+Δx ）-f （x0 ） Δx
Δx→0
存在 ， 称 此 极 限 为 函 数 y=f
（x ） 在 x0 处的导数 ， 记为 f′ （x0 ）。 复变函数的导数定义为 ： 设函数 w=f （z ） 在区域 D 内有定义 ， 给自变量 z∈D 以增量 Δz=Δx+iΔy ， 相 应 的 ， 函 数 有 增 量 Δw=f （z+Δz ） -f （z ）， 如 果 当 Δz 以 任 何 方 式 趋 f （x0+Δx ）-f （x0 ） 存在 ， 称此极限为函 近于零时 ， 比值的极限 lim