轮换对称式

一.定义
在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,
x5+y5+xy, 都是对称式.
其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.
如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。

如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1
例题 求方程x+y=xy 的整数解。

分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy
∴ (x-1)(y-1)=1.
解之，得 x-1=1,y-1=1;
或 x-1=-1, y-1=-1.
∴ x=2 y=2
或 x=0 y=0
关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的
轮换对称式.简称轮换式.
例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),
2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式.
显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.
２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：
m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.
３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：
y x 11+222
()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+
a ２(
b －c)+b ２(
c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)
例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.
４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
等也都是对称式.
又如：
也都是轮换式。

三：例题精讲
例题１：已知：a+b+c=0, abc ≠0.
求代数式的值
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.
解：∵ ＝ ＝
∴＝
＝ － － － ＝ － ＝0. 2221
c b a -+222)(1b
a b a ---+ab 21-2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+ab
21bc 21ca 21abc b a c 2++xy y x
+z y x 111++z y x 111++z y x 111++例如：∵x+y, xy 都是对称式 ∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ，
等也都是对称式. 2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+∵xy+yz+zx 和 都是轮换式， ∴ ＋xy+yz+z ，
（ ）（xy+yz+z ）.
练习1:已知：S ＝（a+b+c ）.
求证：
＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).
例２ 若abc=1，求证:
证明：∵abc=1 ∴
= + = + = =1
于是命题得证。

评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧
例３ 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.
证明：
证明：解方程组
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以
所以 同理可得，
所以
评注：本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式
子化简，就可以得出相同规律.
例４设 ，证明 (1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零；
16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+-1111=++++++++c ca c b bc b a ab a 111++++++++c ca c b bc b a ab a c ac abc ac
++1+++++c ca c abc b bc b 1++c ca ca ca c ++111+++c ca c 11++++c ca c ca 1111=+++++c c b b a a ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2) (1) by ax z ax cz y cz by x x z y x a x x z y a 21 2++=+-+=则z y x x z y a a ++-+=+1z y x y z x b b ++-+=+1z y x z y x c c ++-+=+11111=++++=+++++z y x z y x c c b b a a c b a c
b a ++=++1111
(2) 对任何奇数n ，有
分析：要求a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零，即要证
(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现
(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。

证明：(1)由 得
从已知知a 、b 、c ≠0，所以abc ≠0，且a+b+c ≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
= (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b –abc
=(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c)
=(b+c) (a2+bc+ca+ab)
=(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b 、b+c 、c+a 中至
少有一个为零，即a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零。

证明(2) :由(1)得，不妨设a+b=0，即b= -a ，因为n 为奇数
∴
又
∴
评注：实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 是关于a 、b 、c 的一个轮换对
称式。

令a= -b ，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0，这就是说a+b 是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c 、a+c 也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式，因此有
(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例６ 若a+b+c=0，求 的值
分析：本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中
一个分式化简，就可以得出相同规律. n n n n n n c b a c b a ++=++1111c b a c b a ++=++111111110，a b c a b c ++-=++()()()即0bc ca ab a b c abc abc a b c ++++-=++()n n n n n n n c c a a c b a 1111111=+-+=++()
n n n n n n n c c a a c b a 111=+-+=++n n n n n n c b a c b a ++=++1111-+-+-=---222例5 求证：()()()()()()a b c b c a c a b a b b c a c +++++222222222a b c a bc b ac c ab
解：∵a+b+c=0，∴a ＝－b －c ，
例７. 已知x 、y 、z 满足关系式 求证：
证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得
① ② ③ 由①+②+③ 得
所以
即：
例８ 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x 分别取a 、b 、c 时的值。

因此，本题可转化为证明当x 分别取a 、b 、c 时，x(1-x)2的值不变。

由于x(1-x)2是关于x 的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。

证明：∵(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
又∵a+b+c=a2+b2+c2=2
∴4=2+2ab+2bc+2ca ，∴ab+bc+ca=1
∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc
= x3-2x2+x-abc
即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc
由此可见，当x 分别取a 、b 、c 时，x(1-x)2的值都是abc
222()a bc a bc a b c ∴+=++--=--+=--2()()a ac ab bc
a b a c 22同理：2()(),2()();b ac b a b c c ab c a c b +=--+=--222原式+()()()()()()a b c a b a c b a b c c a c b ∴=+------222()()()()()()
a b c b c a c a b a b b c c a ------=---()()()1()()()a b b c c a a b b c c a ---==---1=+++++y
x z x z y z y x 0222=+++++y x z x z y z y x x y x xz x
z xy z y x =+++++2y y x yz x z y z y xy =+++++2z y x z x z yz z y xz =+++++2
222()()()x y z xy xz xy yz xz yz y z z x x y y z y z z x z x x y x y x y z +++++++++++++++++=++222x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++02
22=+++++y x z x z y z y x
∴a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式
(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通过赋值来证明。

１、已知a+b+c=10，，，则abc的值是( )
A、24
B、30
C、36
D、42
2、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
的最大值是( )
A、27
B、18
C、15
D、12
３、已知abc≠0，a+b+c=0，则
的值为
４、设a、b、c都是正数，且
求证：a=b=c
５、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2005+b2005=c2005+d2005
６、已知a+b+c=abc，求证：
a(1-b2) (1-c2)+b(1-a2) (1-c2)+c(1-a2) (1-b2)=4abc
求证：ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c)
８、已知
求证：=1
2
1
1
1
1
1
b
1
a+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
b
a
c
a
c
b
c
3
a b c
b c a
++=
222
7.已知
a b c
x yz y zx z xy
==
---
1,22
a b
+
22238
a b c
++=333160
a b c
++=。