数据包络分析(DEA)方法

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二、 数据包络分析(DEA)方法

数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名运筹学家Charnes, Cooper 和Rhodes 于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decision making unit ，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价[

。DEA 方法一出现，就以

其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中[2],

[3]。在介绍DEA 方法的原理之前，先介绍几个基本概念:

1. 决策单元

一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。因此，可以认为，每个DMU(第i 个DMU 常记作DMU i )都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。

在许多情况下，我们对多个同类型的DMU 更感兴趣。所谓同类型的DMU ，是指具有以下三个特征的DMU 集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。 2. 生产可能集

设某个DMU 在一项经济(生产)活动中有m 项投入，写成向量形式为1(,,)T m x x x =；产出有s 项，写成向量形式为1(,,)T s y y y =。于是我们可以用(,)x y 来表示这个DMU 的整个生产活动。

定义1. 称集合{(,)|T x y y x =产出能用投入生产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集。 在使用DEA 方法时，一般假设生产可能集T 满足下面四条公理: 公理1(平凡公理): (,),1,2,

,j j x y T j n ∈=。

公理2(凸性公理): 集合T 为凸集。 如果 (,),1,2,,j j x y T j n ∈=, 且存在 0j λ≥ 满足 11n

j j λ==∑

则 11(,)n

n

j j j j j j x y T λλ==∈∑∑。

公理3(无效性公理)：若()ˆˆ,,,x y T x

x y y ∈≥≤,则ˆˆ(,)x y T ∈。 ， 公理4 (锥性公理): 集合T 为锥。如果(),x y T ∈那么 (,)kx ky T ∈对任意的0k >。 若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T 有如下的唯一表示形式

()11

,|,

,0,1,2,

,n n

j j j j

j j j T x y x x y y j n λλ

λ==⎧

⎫

=≤≥≥=⎨⎬⎩

⎭

∑∑。 3. 技术有效与规模收益

(1) 技术有效：对于任意的(,)x y T ∈，若不存在'y y >，且'(,)x y T ∈，则称(,)x y T ∈为技术有效的生产活动。

(2) 规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值/y x

k y x

=

称为规模效益。若1k >，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；若1k <，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若1k =，说明规模收益不变，且称为规模有效。

（一） DEA 方法原理与CCR 模型

DEA 方法的基本原理是：设有n 个决策单元(1,2,,)j DMU j n =，它们的投入，产出向量分别为：12(,,

,)0,T j j j mj X x x x =>，12(,,

,)0,

1,

,T j j j sj Y y y y j n =>=。由于在生产过程中各种投入和产出的地位

与作用各不相同，因此，要对DMU 进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的权向量分别为12(,,

,)T m v v v v =和12(,,

,)T s u u u u =，从而就可以获得如下的定义。

定义2. 称11

,(1,2,

)s

T r rj

j r j T m

j

i ij

i u y

u Y j n v X v x

θ===

=

=∑∑为第j 个决策单元j DMU 的效率评价指数。

根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得1j θ≤。如果想了解某个决策单元，假设为({1,2,

,})o DMU o n ∈在这n 个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当u 和v 尽可能地变化时，o

θ的最大值究竟为多少 为了测得o θ的值，Charnes 等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母缩写)模型：

1

111

1,1,2,,,0,0,,.

s

r ro

r o

m

i io

i s

r

rj

r m

i ij

i r i u y

Maximize

v x

u y

subject to

j n v x

u v r i θ=====≤=≥≥∀∑∑∑∑ (1)