《空间向量与立体几何》教材分析与建议.doc
最新人教A版高中数学空间向量与立体几何教学指导意见解读及教学体会
阅读与思考
• 本章在3.1 节“空间向量及其运算” 之后安排了一个“阅读与思考“向 量概念的推广与应用”，介绍了三 维以上的高维向量，并通过例子说 明高维向量的应用。它可供学有余 力的学生学习。
本章知识结构
(四)、课时分配（12课时）
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 1课时 1课时 1课时
(三)、内容与要求
• 本章共分两节： • 3．1 空间向量及其运算 • 3．2 立体几何中的向量方法
• 3.1空间向量及其运算 • 空间向量及其加减法运算 • 空间向量数乘运算（直线的方向向量,共 面向量定理） • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的正交分解及其坐标表示（空 间向量基本定理） • 空间向量运算的坐标表示
原大纲目标表述 新课标目标表述 4. 理解直线的方向向量、 5. 理解直线的方向向量与平 平面的法向量、向量在平 面的法向量. 面内的射影. 6. 能用向量语言表述线线、 5. 掌握直线和直线、直线 线面、面面的垂直、平行关 和平面、平面和平面所成 系 . 的角、距离的概念 ( 对于 7. 能用向量方法证明有关线、 异面直线的距离 , 只要求 面位置关系的一些定理(包括 会利用给出公垂线计算距 三垂线定理). 离 ) ；掌握直线和平面垂 8. 能用向量方法解决线线、 直的性质定理；掌握两个 线面、面面的夹角的计算问 平面平行的判定定理和性 题，体会向量方法在研究几 质定理；掌握两个平面垂 何问题中的作用 . 直的判定定理和性质定理.
2、注意数与形的关联。
向量——数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系， 特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：
设直线l、m的方向向量为a、b，平面、 的 法向量为u、v，则
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计：1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。
强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。
2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质．3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。
4.教学内容增减：删除（或在选修课内体现的）：（1）异面直线所成的角的计算。
（2）三垂线定理及其逆定理。
（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）．增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端．立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力．一、考纲要求：（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、考查热点：1.能画出简单空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形。
空间向量与立体几何教案
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
《立体几何》教材分析.doc
《立体几何》教材分析.doc《立体儿何》教材分析立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。
所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。
宜观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，是探索和认识空间图形及性质的主要方法。
一、木章教育目标通过本章学习，学生从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。
了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
进而培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力。
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单几何体的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
3.通过观察用两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4.完成实习作业，能画出一些简单实物的视图与直观图。
5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式(不要求记忆公式)。
6.了解公理1、公理2、公理3、公理4及其推论1、推论2、推论3。
了解定理：空I'可中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
7.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
(3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(4)一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
8.通过直观感知、操作确认、思辩论证，归纳并证明出以下性质定理：(1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。
空间向量与立体几何教学设计的探讨
空间向量与立体几何教学设计的探讨引言立体几何是数学中的一个重要分支，它研究了在三维空间中的图形和几何关系。
空间向量是立体几何中的一个重要概念，它可以用来描述点、线和面在空间中的位置和方向。
本文将探讨如何在教学设计中有效地结合空间向量和立体几何，以提高学生的学习效果和兴趣。
教学设计原则为了达到良好的教学效果，我们应该遵循以下原则：1. 简化复杂概念：立体几何中存在许多抽象的概念和理论。
我们应该通过引入空间向量的概念，将这些抽象的概念与实际的几何问题联系起来，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
2. 强调实践应用：立体几何的应用非常广泛，包括建筑设计、工程测量等。
我们可以通过实际案例和问题，让学生运用空间向量的知识解决实际问题，增强他们的实践能力和动手能力。
3. 多媒体辅助教学：利用多媒体技术，如动画、模拟实验等，可以生动形象地展示立体几何的概念和原理。
同时，可以利用计算机软件辅助进行空间向量的计算和可视化，提高学生的学习效果。
4. 注重培养思维能力：立体几何涉及到许多推理和证明，我们应该培养学生的逻辑思维和证明能力。
通过引导学生进行推理和证明，激发他们的思维潜力，提高他们的数学素养。
教学设计实践在实际的教学设计中，我们可以采取以下策略：1. 创设情境：通过故事、图片等情境创设，引发学生对立体几何的兴趣和好奇心。
例如，可以讲述一位建筑师如何利用空间向量设计一座高楼大厦，激发学生的学习兴趣。
2. 探索发现：引导学生通过观察和实验，自主发现立体几何中的规律和性质。
例如，可以设计一些实验，让学生通过观察和测量，发现点、线和面的几何关系。
3. 问题解决：设计一些具有挑战性的问题，让学生运用空间向量的知识解决。
例如，给定一些几何图形和向量，要求学生计算图形之间的距离、夹角等。
4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论和展示，分享他们的思考和解决方法。
通过互动和交流，可以促进学生之间的学习和合作。
结论结合空间向量和立体几何的教学设计可以提高学生的学习效果和兴趣。
教学设计2：《空间向量与立体几何》复习与小结
空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）题型探析1、用已知向量表示未知向量例1. 如图所示，在平行六面体1111D C B A —ABCD 中，设c AD ,b AB ,a AA 1===，M 、N 、P 分别是1AA 、BC 、11D C 的中点，试用a 、b 、c 表示以下各向量：（1）AP ；（2）N A 1；（3）1NC MP +。
分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。
解析：（1）∵P 是11D C 的中点， ∴P D D A AA AP 1111++=b 21c a AB 21c a C D 21AD a 11++=++=++=（2）∵N 是BC 的中点，∴c 21b a AD 21b a BC 21b a BN AB A A N A 11++-=++-=++-=++= （3）∵M 是1AA 的中点，∴c b 21a 21)b 21c a (a 21AP A A 21AP MA MP 1++=+++-=+=+= 又a c 21AA AD 21AA BC 21CC NC NC 1111+=+=+=+= ∴c 23b 21a 23c 21a c b 21a 21NC MP 1++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+。
点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．2、共线、共面向量问题例2. 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外一点O ，在下列条件下，点P 是否一定与A 、B 、C 共面？（1）OC 52OB 51OA 52OP ++=；（2）OC OB 2OA 2OP --= 分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。
空间向量与立体几何教材分析
9的认识8、1~4题。
教材第50~52页的内容及练习十一的第的表象。
的过程,初步建立8、91.引导学生经历认识8、9 。
,会读、写8和92.会正确地数出数量是8、9的物体的个数以内数的顺序,会比较9以内数的大小。
3.掌握8、9 掌握8、9的组成和分解。
4. 5.对学生进行“热爱自然,保护环境”的教育。
9、的组成。
会正确地读、写8和9,掌握8圆和五角星等。
主题图,计数器,直尺图,点子图,口算。
1.2+2= 7-5= 4+2= 5-3=7-1=7-4=3+4=6-2=2.复习数的组成。
0。
数到从07,再从7数到3.○”“<”或“”。
=4.在>里填上“○○○○○○4601 6 25 57 33 71.揭示课题。
、我们就来认识今天你们还想学其他的数吗各数我们已经知道了0~7,?,89 的认识、板书:89 。
9和8认识,数数2.(1)出示主题图,先让学生尽情地看,想说什么就和同学说什么。
(2)带着问题看图,图上画的是谁和谁,他们在干什么?数一数,图中都有哪些人和物,可以用几来表示。
(3)集体交流。
图中有9个人,可以用9来表示。
(有1个老师,8个学生)图中有8棵树,可以用8来表示。
(左边有4棵,右边有4棵)图中有8朵花,可以用8来表示。
图中有9盆花,可以用9来表示。
宣传板上写着8个大字,可以用8来表示。
……像这样8棵树、8朵花都可以用8来表示,出示8。
像这样9个人、9盆花都可以用9来表示,出示9。
请同学们数一数第一幅图中有几个点子,第二幅图中呢?(4)请同学们摆出8个○。
请同学们摆出9个自己喜欢的图片。
3.学习8、9以内数的顺序。
1颗。
颗珠子,然后拨上指名学生在计数器上先拨上(1)7的后在78颗珠子,8颗,又拨上1颗,现在有提问:通过拨珠子你想到了什么?(原来有7)……1比7多面,8 同桌互说。
,现在你能说说又知道了什么吗?再拨上1颗珠子。
8多1在8后面,9比9,9引导学生说出:8添上1是9) 再出示到(先出示到8,(2)出示放大的尺子,让学生观察。
高中数学_《空间向量与立体几何》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
第三章《空间向量与立体几何》测试讲评一、讲评目的1、通过讲评，使学生明确自己出现的问题，并进一步改正试卷中的问题；2、加深对所学知识的掌握和理解，进而提高自己的能力。
二、讲评的重点、难点1、重点（1）测试中出现的错误题目；（2）在分析问题的过程中强调有关的知识。
2、难点如何在解题中快速的找到解决问题的方法和思路，并能规范地解答所给问题。
三、课前准备1、批阅试卷，完成对成绩、存在问题的分析。
2、多媒体、展台。
四、讲评过程（一）基本情况介绍1、测试内容及试卷来源本次测试的内容为高中数学选修2-1第三章《空间向量在立体几何中的应用》。
主要是通过该试卷来检测一下学生对空间向量在立体几何中应用的掌握程度，以及运用知识解决问题的能力。
试卷是由老师根据平时的教学情况自己组成的，试卷的结构、题量与高考的形式相同。
试题难度适中，主要侧重于对基本知识、基本方法和学生运算能力的考查。
设计意图：让学生明确考试的有关背景，对所考内容有所了解，同时对本章内容的掌握程度、主要题型都有所了解。
2、相关数据（1）选择题正答率（2）成绩统计各分数段人数设计意图：让学生明确自己在考试中所处的位次及自己的成绩情况，鼓励学生树立学习的自信心。
（3）考试中暴露的问题①对所学知识、常用方法掌握不熟练，有遗忘现象;②运算速度、准确度仍存在较大的缺陷;③答卷中的规范性问题，乱写、乱画的现象仍存在。
设计意图：让学生了解自己在考试中暴露出的问题，明确自己的问题所在。
（二）试卷讲评设计意图：本次的讲评采用相同类型的问题集中讲解的方法，可使学生对相关中出现的错误有整体的了解，从总体上把握该类问题的知识及解法，便于学生对知识的掌握。
本次测试的试题从总体上分为三个部分：（1）空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。
包括第1、2、4、11、13、15题。
（2）数量积及其应用。
包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。
（3）空间向量在立体几何中的应用。
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
空间向量与立体几何教材分析
空间向量与立体几何
教学指导意见解读
空间向量章首语
一、内容与要求
• 本章共分两节： • 3．1 空间向量及其运算 • 3．2 立体几何中的向量方法
二、地位与作用
• 1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推 广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续。
• 2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的 视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本 章则侧重于定量研究)。
五、教学要求
1. 注重联系
本章从数量表示和几何意义两方面， 把对向量及其运算的认识从二维情形提 升到三维情形。这是“由此及彼，由浅 入深” 的认识发展过程。
2．体现思想
• 本章以立体几何问题为载体，体现向量的 工具作用和向量方法的基本步骤和原理， 再次渗透符号化、模型化、运算化和程序 化的数学思想。主要要思想方法是：
课时分配（12课时）
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 复习小结 3．2 立体几何中的向量方法 复习小结
1课时 1课时 1课时 1课时 1课时 1课时 5课时 1课时
• 3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的 作用。
三、主要内容
• 3.1空间向量及其运算 • 空间向量及其加减法运算 • 空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面
向量定理） • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的正交分解及其坐标表示（空间
向量基本定理） • 空间向量运算的坐标表示
三、主要内容
• 3.2 立体几何中的向量方法 • 平面的法向量 • 空间线面关系的判定 • 空间角的计算 • 立体几何中的向量方法（三部曲） • 1. 向量表示 • 2. 向量运算 • 3. 回归几何
《空间向量与立体几何》教材分析与建议
空间向量与立体几何》的教材分析以及教学建议一、内容安排本章是选修2-1 的第3 章，包括空间向量的基本概念和运算，及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容。
通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养学生的空间想象能力。
空间向量为处理例题几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和角度问题的非常有效的根据。
本章以平面向量的学习委基础，通过类比的方法，引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。
二、主要特点1、强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。
空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素灯，都是通过与平面向量的类比完成的。
在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。
另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。
2、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。
根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决例题图形的问题。
3、用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。
使用了大量的“探究”、思考”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。
例如，在对空间向量的各种运算和相应的平面向量的运算的异同比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等，都用“探究” 、“思考”等方式提出问题，帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。
空间向量与立体几何-潘真利
类似地，求直线与平面所成的角，可以转化为求直线的
方向向量与平面的法向量的夹角，求平面与平面的夹角，可 以转化为求这两个平面的法向量的夹角或其补角，并给出其 一般计算公式。
3.关注空间向量与立体几何知识间的联系
空间向量体系的建立需要借助立体几何的基本知识 ，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决。因 此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系。
在空间向量的数量积运算后，新教材安排了证明直 线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何 问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线 垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体 几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用 空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角 等度量问题。
五、本章教学反思
（一）投影向量
1.向量a向向量b的投影 2.向量a向直线l投影． 3.向量a向平面 β 的投影
在投影向量的教学中，我们应注意加强对投影向量的方 向的讨论：〈a，b〉为锐角、直角、钝角时，投影向量的方 向与向量b的方向的关系，最后我们得到结论:当表示向量b 的有向线段所在的直线确定时，向量a在向量b上的投影向量 唯一确定。弄清楚这一点以后，向量a向直线l投影得到的投 影向量就唯一确定了，而与直线l的方向向量的选取无关。 （这与平面向量中投影向量的概念也是一致的）。弄清楚这 些知识，对下面利用投影向量求距离问题至关重要。
一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个
向量空间的一般规律，空间向量基本定理反映了空间向 量的一般规律。
从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个
2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行学习任务1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．(重点)2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．3．娴熟驾驭用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点) 核心素养1．通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培育直观想象和逻辑推理素养．2．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学运算的核心素养．3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养．空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取确定点O 作为基点，那么空间中随意一点P 就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．做一做：在空间直角坐标系Oxyz 中，点A (1,2,3)的位置向量是 OA →＝(1,2,3) .[解析] 位置向量OA →＝(1,2,3). 空间中直线的向量表示式直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的随意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，①把AB →＝a 代入①式得OP →＝OA →＋t AB → ，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．思索1：依据空间直线的向量表达式OP →＝OA →＋tAB →，线段AB 的中点M 的向量表达式是什么？提示：OM →＝OA →＋12AB →＝12(OA →＋OB →)． 做一做：推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量．( √ )(2)若向量v 是直线l 的方向向量，则λv (λ≠0)也是直线l 的方向向量．( √ )(3)直线l 的方向向量都平行，且方向相同．( × )空间中平面的向量表示式1.平面ABC 的向量表示式空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋ xAB →＋yAC → .③我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式．2．平面的法向量如图，若直线l ⊥α，取直线l 的 方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．思索2：假如n 为平面α的一个法向量，A ，B 为平面α内的两点，则n 与AB →有什么关系？提示：n ⊥AB →，即n ·AB →＝0.做一做：推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α的全部法向量都平行，且同向．( × )(2)若n 是平面α的一个法向量，则λn (λ∈R )也是平面α的一个法向量．( × )(3)向量i ＝(1,0,0)是坐标平面Oyz 的一个法向量．( √ )提示：(1)法向量也可能方向相反．(2)当λ＝0时，λn ＝0，不能作为平面的法向量．(3)x 轴垂直于坐标平面Oyz .空间中直线、平面平行的向量表达式提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．做一做：1.若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是_l∥β__.[解析]由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是_α∥β__.[解析]由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.。
高中数学必修立体几何教材分析和教学建议
高中数学必修立体几何教材分析和教学建议 Last revised by LE LE in 2021高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计：1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。
强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。
2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质．3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。
4.教学内容增减：删除（或在选修课内体现的）：（1）异面直线所成的角的计算。
（2）三垂线定理及其逆定理。
（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）．增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端．立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力．一、考纲要求：（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、考查热点：1.能画出简单空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何章整体解读〗
第一章空间向量与立体几何在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法．通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．一、本章内容安排本章属于《课程标准（2021年版）》中“几何与代数”主线的内容．学生将在必修（第二册）“平面向量”和“立体几何初步”的基础上学习空间向量及其运算、空间向量基本定理，并利用空间向量解决立体几何问题，对于用空间向量解决立体几何问题，教科书“先分散、后集中”，即在学习空间向量及其运算、空间向量基本定理时“随学随用、学以致用”，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识．最后再利用空间向量描述空间直线，平面间的平行，垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法．本章共分为四部分：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用．“空间向量及其运算”是本章的基础，主要包括空间向量的基本概念和基本运算．由于空间向量的概念和运算与平面向量的概念和运算具有一致性，因此，教科书注意引导学生与平面向量及其运算作类比．让学生经历向量由平面向空间推广的过程．在展开空间向量及其运算内容时，教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例“空间向量基本定理”揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”．这为几何问题代数化奠定了基础．为了突出空间向量基本定理的基础地位，教科书将这一内容单设一节，不仅学习空间向量基本定现，还应用向量方法解决立体几何中的一些问题．这种安排不仅可以突出空间向量基本定理在本章内容中承上启下的作用，而且可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法—“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础．“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示．其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础，对于空间直角坐标系的编排，基于使本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同．由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程．“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．为了拓展学生的知识面，本章还安排了“阅读与思考向量概念的推广与应用”，把二维、三维向量推广为高维向量，并通过例子说明高维向量的应用．学有余力的学生可以学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质推广到，维向量空间，并解决一些简单的实际问题．根据以上分析，本章知识结构如下：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量方法是本章的重点．用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高，是教学的难点．对于立体几何中的向量方法，要让学生在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的一三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法，从而突破难点．二、本章编写思考1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．。
高中数学《立体几何》教材分析及教学建议
3、教学中要充分的利用好长方体和正方体这两种重要 的几何模型来研究空间线面位置关系。
长方体模型中几乎包含了线面平行和垂直的所有关系，而且长 方体模型也时学生最熟悉的几何模型。 有些比较难的几何问题，如果能借助于一个长方体，就会更加 容易解决问题。
模型化（后续还有坐标化）
模型化
cos BAF cos BCD cos 45
注意关键量词：存在、任意。（量词的学习提前很有必要）
例如：直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。（表达记忆）
a
图形语言：（理解建模）
符号语言：（规法书写）
m
P
n
若m , n , m n P, a m, a n, 则a .
（2）更加注重平行于垂直的相互转化，例如垂直于同一平面的两 直线平行，作为定理结论，可直接使用。
（3）在位置关系的研究中，先给出概念，再观察长方体，而之前 是先观察长方体，再给出概念。
二、小单元补充说明
二、小单元补充说明
单元一：认识空间图形 单元二：点线面之间的位置关系
单元三：平行与垂直
单元一：认识空间图形
高考为什么连续两年证明四点共面？ 学生证明平行垂直关系比较容易，为什么证明四点共面反而觉 得更不容易？ 学生比较清楚每个判定定理性质定理的作用，但可能不清楚每个基 本事实的作用。
单元三：平行与垂直
教材删去了三垂线定理，但不代表三垂线定理不重要，教材上要 求学生会利用向量来证明三垂线定理，但是它的几何证明同样重要， 三垂线定理的证明就是证明空间垂直关系的核心，所以我们复习中要 重视，只是不能直接利用三垂线定理的结论来解决问题。
三、教学建议及思考
人教版高中数学《空间向量与立体几何》单元教材教学分析
单元目标
1、能够理解，空间向量的概念，运算背景和作用。
2、能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力。
3、能够掌握空间向量基本定理体会其作用，并能简单应用。
4、能够运用空间向量解决一些简单的实际问题体会用向量解决一类问题的思路
课时安排
第一课时：空间向量的念
第二课时：空间向量的运算及其性质
第三课时：空间向量基本定理、空间直角坐标系
第四课时：空间向量及其运算的坐标表示
……
说明
平面向量与空间向量都属于向量平面向量是二维向量空间向量是三维向量两者有密切的联系，空间向量是平面向量的推广，两者初维数不同外在概念运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性，平面向量基本定理，空间向量基本定理，在形式上也具有一致性，利用空间向量解决立体几何问题时利用平面向量解决平面几何问题的发展。
重点、难点与关键
重点：空间向量及其运算空间向量基本定理空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量
难点及关键：用向量方法解决立体几何中的问题需要综合运用向量的知识和其他数学知识，通过建立立体图形空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想像数学运算逻辑推理等数学学科核心素养要求较高。
教学方法和手段的设计
第一步，建立立体图籍空间向量的联系，第二步，通过向量运算，研究，点线面之间的位置关系，第三步，把向量运算的结果翻译成相应的几何结论。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
以思考“如何用向量表示空间中的一个点”，引导学生思考，空间中点的向量表示。
以思考“我们知道空间中给定一个点a和一个方向就能为一条直线，如何用向量表示直线”引导学生思考，空间中直线的向量表示。
空间向量与立体几何教学分析ppt 人教课标版
二、本章内容解读
4、理解数学本质的视角 向量来源于力、位移、速度等现实原 型，向量及其运算构成的数学系统又为群、 线性空间、线性赋范空间等抽象数学系统 提供了原型。向量的运算使得向量的集合 具有特定的数学结构。例如,引入向量的加 法后, 构成群结构。引入数与向量的乘法后, 构成线性空间结构。引入向量的数量积运 算后, 构成线性赋范空间结构。正是由于这 种数学结构,才使得运用向量的运算刻画几 何对象及其位置关系以及几何度量问题成 为可能。
解决这类问题，除了明确各种角的概念， 还要在空间图形中找到三种角和相应的向 量夹角对应的几何位置，通过可视性的比 较，把握它们的关系。
二、本章内容解读
（一）知识体系的梳理
第一阶段：对立体几何体结构特征的认识，学习几何 体的三视图和直观图，学习一些简单的空间几何体 的表面积和体积计算． 第二阶段：以长方体为载体，按位置关系划分，学习 空间点、线、面的位置关系，学习直线与平面、平 面与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理． 第三阶段：引入空间向量，以综合几何和向量坐标几 何的结合的方式，比较严格的推理论证线面的平行、 垂直和度量等问题．
（一）知识体系的梳理
二、本章内容解读
空间向量及其运算→空间向量分解定理→空间向量坐标运算
空间向量在立体几何中的应用
平行、垂直关系的证明
空间几何量的计算
二、本章内容解读
（二）本章重点研究的核心问题 一是研究空间向量及其基本运算； 二是研究如何运用空间向量解决有关直线、 平面位置关系的问题。
二、本章内容解读
一、学生学习表现及成因探析
3、立体几何中的三种角与向量间的夹角之间 的关系不清晰 立体几何中的三种角（线线角、线面角、 二面角）是刻画线、面位置关系（即相互 间倾斜程度）的重要的量化工具。它们可 以借助于直线方向向量、平面法向量来计 算。但是，用向量求出的角并不一定就是 我们需要的线线角、线面角或二面角，这 一方面是由于三种角的定义与向量夹角的 不同造成的，另一方面直线的方向向量、 平面的法向量是不唯一的，选取时方向的 不同选择会使向量夹角对应的几何位置发 生改变，同时也会影响向量夹角的大小。
“空间向量与立体几何”的若干教学建议
2021年第2期、笞 1中学数学教学参考（下旬>“空间向量与立体几何”的^干教学_1义徐涛（山东省淄博第六中学）摘要：在高考命题中，立体几何解答题是一道必考题，主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数 学运算能力，而空间向量作为立体几何的重要解题工具，起到了关键的作用。
关键词：空间向量；立体几何；夹角文章编号：1002-2171(2021)2-0062-03“空间向量与立体几何”是人教A版《数学》（选 修2-1)中的内容，也是《数学2》（必修）中“空间直角 坐标系”和《数学4》（必修）中“平面向量”的深化与 扩充。
空间向量为立体几何的计算与论证开辟了广阔的途径。
立体几何解答题主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，空间向量作 为立体几何的重要解题工具，起到了关键作用。
因此，从高考的角度来看，“空间向量与立体几何”这一 章具有十分重要的战略地位，教师在教学中要加强重视。
下面笔者结合教学经验对“空间向量与立体几何”提出几点教学建议。
目）中，给出40 s内男（女）生完成垫球数所对应的分值。
男生40 s内最高分10分，完成40个垫球；女生 40s内最高分10分，完成35个垫球。
因此，本题在 没有区分性别的情况下将数据范围设计为5〜25,数 据范围符合真实情况。
4基于评价的问题设计反思《课标（2017年版）》明确指出：“数学源于对现实世界的抽象，是自然科学的重要基础.并且在社会科学中发挥着重要作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。
伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用 领域得到很大拓展。
数学直接为社会创造价值，推动1注重联系，体会本质本章是“平面向量”的延续与推广，教材从数量的 表示和几何意义两个方面，把向量的概念和有关运算 从二维提升到三维，体现了“由此及彼，由浅人深”的认知发展规律。
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《空间向量与立体几何》的教材分析以及教学建议
内容安排
本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容。
通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养学生的空间想象能力。
空间向量为处理例题几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和角度问题的非常有效的根4居。
本章以平面向量的学习委基础，通过类比的方法，引导学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，然后通过典型例题引导学生学习用向量方法处理空间几何问题的基本思想方法。
二主要特点
1、强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。
空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素灯，都是通过与平面向量的类比完成的。
在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。
另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。
2、突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。
根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（距离和夹角等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决例题图形的问题。
3、用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。
使用了大量的“探究”、
“思考”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。
例如，在对空间向量的各种运算和相应的平面向量的运算的异同比较与证明、空间向量的正交分解定理的推导及向空间向量基本定理的推广、如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示、如何根据具体问题的需要选择恰当的方法等，都用“探究，，、“思考”等方式提出问题，帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。
%1.背景分析
1、平面向量的知识背景
线性运算与数量积
应用：证明向量（直线）平行、垂直，求距离、角等
2、立体几何背景
线面、面面等平行（垂直）的判定定理，但必修2中没有证明（较难）
空间中的距离（点点距、点线距、点面距等）、空间中的角（异面直线所称的角、线面教、二面角）在必修2中只介绍了有关概念，以及很简
单的求解题。
（可能是教材从整体上考虑，利用向量的优势，降低难度，同时也也使学生的空间想象能力得不到很好的锻炼。
）
四、地位和作用
用空间向量处理某些几何问题，可以为学生提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。
向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性, 具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。
《普通高中数学课程标准》对例题几何的定位主要作了三方面的调整：强调把＞握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。
英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也学用另外一对词更好，即'洞察，与c严格，，两者在真正的数学研究中起着本质的作用「
内容展开方式：必修2中《立体几何初步》的安排是横向的：空间线线关系、空间线面关系、空间面面关系；选修2-1中《空间向量与立体几何》的安排是纵向的：直线的方向向量与平面的法向量、线面关系的判定、空间角的计算。
本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（线线、线面、面面的平行、垂直）的判定，空间角（异面直
线所称的角、线面教、二面角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量扌巴立体几何的有关概念、性质和性质复述一遍。
四、本章的基本思想
本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想。
根据问题的特点，以适当的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题。
教材还通过例题，引导学生对解决例题几何问题的三种方法（向量方法、解析法、综合法）进行了比较，分析各自的优势，因题而异作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力。
1、重点
空间向量的运算（线性运算、数量积）
几何形式、坐标形式
应用空间向量证明空间线、面的位置关系
应用空间向量求空间线、面距离、求角
2、难点
共面向量定理、空间向量基本定理
（1）共线向量定理、共面向量定理
用于证明空间直线、平面平行
(2 )空间向量基本定理
用于引进向量的坐标表示
(3 )空间向量的数量积
用于研究距离、角的计算
(4 )直线的方向向量与平面的法向量
研究线、面所成的角
五、教学建议
1、重视运用类比的方法进行空间向量的教学
空间向量概念虽多，但它是平面向量在空间的推广与拓宽，所涉及内容多数与平面向量相似。
因此。
在教法上，宜多用类比法，在引导学生复习平面向量的相关知识的基础上，通过类比，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
找出空间向量与平面向量的联系与区别，由于任何两个空间向量经平移可以共起点，则可以将两个空间向量的加法转化为平面向量的加法。
勇士，空间首位相接的两个向量也可采用三角形法则。
在3个以上空间向量相加时，与平面向量不同，这些向量可能不共面，但仍可以通过平移逐个相加。
又如向量基本定理，对于平面向量，它的基底是不共线的三个非零向量。
在学习过程中，必须注意维数增加所带来的影响。
例：1)平面向量共线定理
类比：空间向量共线？空间向量共面？
2)平面向量线性运算
类比：平面向量线性运算？
3）平面向量基本定理
类比：空间向量基本定理：
问题一：由二维类比到三维，对于空间任意一个向量，还可以用两个不共线的向量线性表示吗？
问题二：如果将平面向量基本定理推广到空间，你认为该怎样叙述这个命题？
问题三：类比平面向量基本定理的证明方法，你能证明你的结论成立吗？
2、重视探究过程
线线、线面、面面平行、垂直的条件（用方向向量和法向量表示）线面垂直的判定定理的证明思路的探索
3、引导学生归纳以向量方法解决立体几何问题的规律
4、《普通高中数学课程标准》对《空间向量与立体几何》内容的要求（约12课时）：
（1）空间向量及其运算
%1经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
%1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
%1掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
%1掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判
断向量的共线与垂直。
(2 )空间向量的应用
%1理解直线的方向向量与平面的法向量。
%1能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
%1能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(参见例1、例2、例3)。
%1能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
5、通过一定的训练，使学生达到以下意识和习惯：
(1 )凡能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解决；
(2 )在解题过程中必须写出规范的格式和必要的步骤，例如建立空间直角坐标系的表述、有关向量的坐标表示等。