2013年天津高考数学理科试卷(带详解)

2013年天津高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理 科 数 学

第Ⅰ卷

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.

1．已知{}|||2A x x =∈„R ，{}|1B x x =∈„R ，则A B =I ( )

A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2-

D .[]2,1-

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算.

【难易程度】容易 【参考答案】D

【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算.

由已知得{22}A x x =∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R I 剟 2．设变量x , y 满足约束条件

0,

230,306,x x y y y +----⎧⎪

⎨⎪⎩

…„„则目标函数2z y x =-的

最小值为 ( ) A. 7- B.4- C. 1 D. 2

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目

标函数，求可行域的最值.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】作出可行域，平移直线x

y2

=，当直线过可

行域内的点)3,5(A时，Z有最小值,

min 3257

Z=-⨯=-.

第2题图jxq56

3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为（）

第3题图jxq57

A. 64

B. 73

C. 512

D. 585

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，跳出循环，输出73S =.

4．已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18

; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

③直线x + y + 1 = 0与圆2

212

x

y +=

相切.

其中真命题的序号是: （ ）

A. ①②③

B. ①②

C. ①③

D. ②③

【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假.

【难易程度】容易 【参考答案】C

【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则

3

3

414ππ,3283

R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭g 故

体积缩小到原来的18

，命题正确；(步骤1) 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）

对于命题③，圆2

21

2

x

y +=

的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离

222

d =

=，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正

确.(步骤3) 5．已知双曲线

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线

22(0)

px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双

曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = （ ） A. 1

B. 32

C. 2

D. 3

【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何

性质.

【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】由已知得2c a

=，所以

22

2

4a b a

+=，解得3b a

=渐近线方程为3y x

=.（步骤1）

而抛物线的方程为2p x =-，于是33,,,2222p

p A B ⎛⎫⎛⎫--

- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

，

从而AOB △的面积为13=322

p

g g 2p =.（步骤2） 6．在△

ABC 中,

π

,2,3,

4

AB BC ABC =∠==则

sin BAC

∠ =

（ ）

A.

10 B.

10 C.

310 D.

5

【测量目标】正弦定理，余弦定理.

【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 由余弦定理可得

于是由正弦定理可得

sin sin BC AC

BAC ABC

=

∠∠，于是

2

3310

2sin 5

BAC ⨯

∠=

= （步骤2）

7． 函数0.5

()2|log |1x

f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.

【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数.