截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式

注意平方问题
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§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式 Iz=∫ A y2dA =∫ A (a+yC)2dA =∫ A a2dA + 2a ∫ A yCdA + ∫ ∫ ∫
A
A
O y
C
z
a yc zc
yC2dA
b y z
dA
zc yc
yCdA
对形心轴的面积矩=0
∑Ai zci
i=1 n i=1 n
zc = S y = A
∑Ai
i=1
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15.5
例2 求图示截面的形心的位置。 解： A1 150 50mm 2 A2 180 50mm 2
A3 250 50mm 2
50
150
C1
yC1 255mm
yC 3 25mm
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附录A
截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ A zdA
Sz=∫ A ydA 面积矩可为正、负或为零。
o
z y z
y
1
dA
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二、截面形心的位置
z o zc
C
yc = zc =
故
∫
A
ydA
A
Sz = A
y
z
120mm
zC 0
5
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§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义 Iy=∫ A z2dA 惯性矩恒为正 Iz=∫ A y2dA 二、惯性积的定义 ∫ A yzdA Iyz= 惯性积可正、可负或为零 若y为对称轴，则 Iyz= 0
y
o y z dA z z
例4
计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。 d z d z y dy

z z y
y
Iy Iz

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d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz （作业题）
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பைடு நூலகம்
第十六次课结束处
四、惯性半径的定义
iy =
√
故
Iy A
iz =
√
Iz A
I y = A iy 2 I z = A iz 2
2d A y 对形心轴的惯性矩 A C
故 I =∫ a2dA + I A zC z
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC
∫ A abdA + IyCzC11 Iyz=
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二、组合截面惯性矩的计算式 Iy=∫ A z2dA ∫ A1z2dA +… + ∫ Anz2dA =
y dA dA z z y
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三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。
主惯性矩：截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2 h/2
形心主轴： 过截面形心的主轴。
形心主惯性矩： 截面对形心主轴的 惯性矩。
z'
z
h/2
y
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例3
计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
A yC
同样地
b S y bh(d ) A zC 2
h/2 y d
dy
3
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三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
Sy = ∑Ai zci
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1 n
n
形心位置： yc
∑Ai yci Sz i=1 = n A = ∑Ai
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设 a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
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作业题
n
= ∑ Iyi
i=1
同理 Iz = ∑ Izi
i=1 n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
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n
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例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余 下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
Iz
1 3 5 bh d 4 12 32
z y
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yc
∫
A
zdA A
Sy = A
dA y
Sz = A yc Sy = A zc
形心轴： 过平面图形形心的轴 截面对形心轴的面积矩为零。
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例1
求如图矩形Sz和Sy
ah
z b/2 b/2 h/2 a y
解：S z A ydA a
h bh(a ) 2
ybdy
求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b
d
z
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解： I z y 2dA
A
bb /2 /2 bb /2 /2 hh /2 /2 y dy zz

h/2
h / 2
y 2 bdy
bh 3 12
hb 3 同样地 I y 12
hh /2 /2
I yz 0
y、z为形心主轴
Iy、Iz为形心主惯性矩
yy
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yC 2 140mm
c 50
50 250
zC 1 zC 2 zC 3 0
C2
A1 yC1 A2 yC 2 A3 yC 3 yC A1 A2 A3
C3
z
y
150 50 255 180 50 140 250 50 25 mm 150 50 180 50 250 50