第四章 数字特征与特征函数

(1 p) p(1 p p)
(1 p) p qp
• 例：设随机变量X服从正态分布，求X的方差。
•
解：由方差定义可知
D(X )
(x a)2
1
e dx
(
xa)2 2 2
2
令t x a , 得 D( X ) 2
t
2
e
t2 2
dt
2
又t
2
e
t2 2
dt
t2
(te 2
)
t 2
9
4 10
8
2 10
7
1 10
8.9
以概率作为权重的加权平均数就称为数学期望。
• 设X为一离散型随机变量，它的概率分布为 P(X= )= pixi， i=1,2,…
如果级数 xi pi绝对收敛，( 即 xi pi )，
i1
i1
则称 xi pi为随机变量 X的数学期望。记为 i1
E（X）或者EX，E( X ) xi pi i 1
1
e dx
(
x a )2
2 2
2
1
xe
(
xa)2
2 2
dx
2
令t x a
E(X )
1
t2
( t a)e 2 dt
2
a
t2
e 2 dt a
2
随机变量函数的数学期望
• 设Y是随机变量X的函数
Y=g(X) (g是单值连续函数)
当X是离散型随机变量时，若
g(xi ) pi绝对收敛，则
车贝雪夫不等式
• 设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X)，
则对任意 0,有
P(
X
E（X）
)
D( X
2
)
• 证明： P( X E( X ) )
xEX
f (x)dx
xEX
[x E( X )]2
2
f (x)dx
1
2
[x
E(X
)]2
f
( x)dx
1 D(X )
2
车贝雪夫不等式的另外一种形式
连续型随机变量：
i 1
D( X ) (x E(X ))2 f (x)dx
• 例：设随机变量X服从参数为p的（0-1）分 布，试求X的方差D(X) 。
• 解：E( X ) xi pi 0 q 1 p p i 1 D( X ) E(x E( X ))2
(1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
xf (x)dx
绝对收敛（即 x f (x)dx ）
则称它为X的数学期望（或均值）。即
E(X ) xf (x)dx
• 例:设随机变量X服从正态分布 N (a,，2 )
试求E(X)。 • 解：X的分布密度为：f (x)
1
( xa)2
e 2 2
2
E( X ) xf (x)dx x
• 例: 设随机变量服从参数为 p 的（0-1）分布， 即P(X=1)=p , P(X=0)=1-p=q ，试求的X数学 期望。
• 解：X数学期望为
E( X ) xi pi 0 q 1 p p i 1
下面给出二项分布和泊松分布的数学期望
二项分布：E( X ) n kPn (k) n kCnk pk (1 p)nk
Cov(X ,Y ) E(X EX )(Y EY )
E(XY YEX XEY EXEY ) E(XY ) EXEY EYEX EXEY
E(XY) EXEY
因为X，Y相互独立，所以
Cov(X ,Y ) E(XY) EXEY EXEY EXEY 0
从而：D( X Y ) DX DY
• 设X，Y是两个相互独立随机变量
E(XY) E(X ) E(Y)
• 推广到一般情形
E( X1 X 2 L X n ) E( X1) E( X 2 )L E( X n )
• 证明性质3 ，设X，Y是任意两个随机变量，则
E(X Y ) E（X） E（Y）
设二元随机变量（X，Y）的联合密度为f (x, y),
e2
dt
2
所以 D( X ) 2
方差的性质
• 设c是常数，则D(c)=0 。 • 设X是随机变量，c是常数，则
D(cX)=c2D(X) • 设X，Y是两个随机变量，则
D(X Y) D(X ) D(Y) 2Cov(X ,Y)
其中Cov(X,Y) E(X E（X）)(Y E（Y）)称为X,Y的协方差
• 定义 • 方差的性质 • 车贝雪夫不等式 • 标准化随机变量
方差的定义
• 设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2存在,则 称它为X的方差，记为D(X)或DX，即
D(X)= E[X-E(X)]2
• 方差不会出现负值。
• 随机变量X的均方差： D(X )
离散型随机变量：D( X ) (xi E( X ))2 pi
则 X X1 X 2 X10
Xi
E（X i）
0
( 9 )20 10
1
1
( 9 )20 10
Pi
0
( 9 )20 10
1
1 ( 9 )20 10
0.878
E（X） E( X1 X 2 L
X10 ) E（X1） E（X 2） L
E（X
）
10
0.87810 8.78
众数和中位数
k 0
k 0
n
np
C k 1 n1
p
k
1
(1
p)(n1)(k 1)
k 1
np[ p (1 p)]n1 np
泊松分布E：(X )
kP (k)
k 0
k
k
e
k0 k !
e
k 1
k 1
(k 1)!
e s百度文库 ee
s0 S !
连续型随机变量的数学期望
• 设X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量， 若积分
• §4－1 数学期望 • §4－2 方差 • §4－3 离势系数、矩、偏态系数及峰度系数 • §4－4 多元随机变量的数字特征 • §4－5 特征函数
§4－1 数学期望
• 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 随机变量函数的数学期望 • 数学期望的性质 • 众数和中位数
离散型随机变量的数学期望
设二元随机变量（X，Y）的联合密度为f (x, y),
边际密度分别为f X (x)和f（Y y）。由于X，Y相互独立，
f（x，y） f（X x）f（Y y）
E( XY) xyf (x, y)dxdy xyfX (x) fY ( y)dxdy
xf X (x)dx yfY ( y)dy
• 例：对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间 [a,b]上，试求球的体积的数学期望。
• 解：设用X表示测量得的球直径，它是一个随机变
量，其密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0,
其它
以Y表示球的体积，则Y X 3，故
6
E(Y ) x3 f (x)dx b x3 1 dx
6
若X，Y相互独立，则D( X Y ) D（X） D（Y）
• D（X） E（X 2） (E（X）)2 • D（X） E( X a)2 (a为任意实数）
上式称为方差的极小性质
• 设X，Y是两个随机变量，则
D(X Y ) DX DY 2Cov(X ,Y )
• 证明：
D( X Y ) E{[( X Y ) E( X Y )]}2
边际密度分别为f X (x)和f（Y y）。
E( X Y ) (x y) f (x, y)dxdy
xf (x, y)dxdy yf (x, y)dxdy
xf X (x)dx yfY ( y)dy E（X） E（Y）
• 证明性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，
则 E(XY ) E（X） E（Y）
第四章
数字特征与特征函数
前面介绍了随机变量与分布函数。分布函数能完善地描 述随机变量的统计特性，它给出了随机变量的取值范围和取 值概率。但是对一个具体的随机变量，要确定它的分布函数 往往是很困难的。在实际问题中，有时并不要求全面地知道 随机变量的统计规律，而只要了解几个特征值就够了，因而 无需求出它的分布。
P(
X
E（X）
)
1－
D( X
2
)
车贝雪夫不等式无论在理论上还是实用上都是
很有价值的。它给出了在未知X分布的情况下，对
概率 P( X E（X） )或P( X E（X） )的一种估
计，但是这种估计往往是粗略的。
例如，对X于~ N(a, 2) ,用车贝雪夫不等式估算，有
E( X a)2 2(EX a)2 (EX a)2
E( X a)2 (EX a)2
因为 (EX a)2 0 所以 DX E(X a)2
• 例：设随机变量X服从参数为p的（0-1）分布, 试利用方差的性质求D(X) 。
• 解： E( X 2 ) 12 p 02 q p
• 随机变量X的众数以E0(X)表示。 • 离散型随机变量，众数是使概率P(X=xi)等于最
大的xi值. • 连大续的型x值随，机因变而量可，由众方数程是使ddx 密f (x度) 函0解数出f(。x)等于最 • 随机变量的中位数以Ee(X)表示
• 随机变量的中位数满足 F (x) 1 2
§4－2 方 差
E( X EX ) (Y EY )2
E[( X EX )2 2( X EX )(Y EY ) (Y EY )2 ]
E( X EX )2 E(Y EY )2 2E[( X EX )(Y EY )]
记：Cov( X ,Y ) E( X EX )(Y EY )
则：D( X Y ) DX DY 2Cov( X ,Y )
• 有甲、乙两个射手，各进行10次射击，结果如下 表。试问哪位射手成绩更好些？
环数 10 9 8 7
甲
5212
乙
3421
• 计算他们命中的平均环数 。
甲：105 9 2 81 7 2 10 5 9 2 8 1 7 2 9
10
10 10 10 10
10 3
乙：
9
4 10
8
2
7 1
10
3 10
• 下面证明 DX EX 2 (EX )2
DX E( X EX )2 E[ X 2 2XEX (EX )2 ]
EX 2 2(EX )2 (EX )2
EX 2 (EX )2
• 下面证明方差极小性质
DX E( X EX )2 E( X a) (EX a)2
E[( X a)2 2( X a)( EX a) (EX a)2 ]
i 1
E(Y ) Eg(X ) g(xi ) pi
i 1
其中pi p( X xi )(i 1,2, )是X的概率分布。
• 设Y是随机变量X的函数
Y=g(X) (g是单值连续函数)
当X是连续型随机变量时，若
g(x) f (x)dx绝对收敛，则
E(Y ) g(x) f (x)dx
其中，f (x)是X密度函数。
上式右端的积分须绝对收敛。
数学期望的性质
• 设c是常数，则E(c)=c • 设X是随机变量，c是常数，则E(cX)=cE(X) • 设X，Y是任意两个随机变量，则
E( X Y ) E（X） E（Y）
• 推广到一般情形
E(c1X1 c2 X 2 L cn X n ) c1E( X1) c2E( X 2 ) L cnE( X n )
E（X） E（Y）
• 例：一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途 有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X)。(设每个旅客在各个车站下车是等可 能的)。
• 解：设10个车站依次为1，…，10，Xi表示在第i站停车次数。
1, X i 0,
第i站有旅客下车， 第i站没有旅客下车。
例如：工厂生产了一批灯泡 ，每个灯泡的使用寿命是不 一样的，是个随机变量。我们感兴趣的是这批灯泡的平均寿 命。除了平均寿命以外，还要了解这批灯泡中各灯泡的使用 寿命与平均寿命的离差情况，偏离程度大，说明产品质量不 稳定，偏离程度小，说明产品质量稳定。
此外，对于某些分布，如二项分布、正态分布等，只要 知道了它们的一些特征值，其分布也就完全确定了。
a 6 ba
(a b)(a2 b2 )
24
• 上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情形。设（X，Y）的联合 密 度 为 f (x,y) ， 且 Z=g(X,Y) （ g 是 连 续 函 数），则
E(Z) Eg(X ,Y ) g(x, y) f (x, y)dxdy
又已知 E(X ) p
所以 D(X ) E(X 2) (EX )2
p p2 p(1 p) qp
例：设X ~ B(n, p), 试求D（X）
解：由于X
X1
X2
X
，
n
且都其服中从X参1，数X为2 p的X（n0相，1）互分独布立 。，
因此，D（X） D（X1） D（X2）L
D（X
）
n
又 D（X i） pq i 1,2, n 从而 D（X） npq