河南省洛阳市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷及答案
河南省洛阳市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(WORD版,含解析)
解答题
1. （10分）已知直线1:10l x my ++=和2:(3)2(137)0l m x y m --+-=.
(1)若12l l ⊥，求实数m 的值；(2)若12//l l ，求两直线之间的距离d.
2. 已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =--++，其中01a a >≠且.
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的值域.
3. 如图，PAD ∆与正方形ABCD 共用一边AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中PA=PD ，
AB=2，点E 是棱PA 的中点.
(1)求证：PC//平面BDE;
(2)若直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，求点A 到平面BDE 的距离.
4已知函数22()(,,)ax f x a b c Z bx c
-=∈+是奇函数. (1)若(1)1,(2)40f f =->，求f(x)；
(2)若1()1b f x =>且，对任意的x>1都成立，求a 的最小值.
5.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD//BC,AD=8,BC=6,AB=2，E,F分别在BC,AD上，EF//AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC.
(1)若BE=3，求几何体BEC-AFD的体积；
(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时二面角A-CD-E的正切值.
6.已知点A(6,2),B(3,2)，动点M满足MA=2MB
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，
若C(1,2k+2)，求CPQ
面积的最大值，并求出此时直线l的方程.。
2014-2015学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(A卷)(理科)(含完整答案和解析)
2014-2015学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（A 卷）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知命题p ：∀x ∈R ，2 x 2−2＞1，则命题￢p 为（ ）A.∀x ∈R ，2 x 2−2≤1B.∃x 0∈R ，2 x 02−2≤1C.∃x 0∈R ，2 x 02−2＜1D.∀x ∈R ，2 x 2−2＜12.若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A.1a−b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 23.已知x ，y 满足约束条件{y ≥0x ≥−2x +y ≥1，则z =（x +3）2+y 2的最小值为（ ）A.8B.10C.12D.164.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=3，S 5=30，则a 7+a 8+a 9=（ ）A.27B.36C.42D.635.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=10，则弦AB 的长为（ ）A.16B.14C.12D.106.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B=√3ac ，则角B 的值为（ ）A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π37.已知O 为坐标原点，A （-1，1），B 为圆x 2+y 2=9上的一个动点，则线段AB 的中垂线与线段OB 的交点E 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线8.下列说法正确的是（ ）A.“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件B.“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的否命题为真C.若x ，y ∈R ，则“x =y ”是“xy ≤（x+y 2）2”的充要条件D.已知命题p ，q ，若（￢p ）∨q 为假命题，则p ∧（￢q ）为真命题9.正四棱锥S-ABCD 中，SA=AB=2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）A.√36B.√66C.√33D.√63 10.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N ，已知点M 在y 轴上，且满足F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为（ ）A.√2B.√3C.2√3D.211.某足够大的长方体箱子内放置一球O ，已知球O 与长方体一个顶点出发的三个平面都相切，且球面上一点M 到三个平面的距离分别为3，2，1，则此半球的半径为（ ）A.3+2√2B.3-√2C.3+√2或3-√2D.3+2√2或3-2√212.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为√32，直线l ：y =-2，任取椭圆上一点P （异于短轴端点M ，N ）直线MP ，NP 分别交直线l 于点T ，S ，则|ST|的最小值是（ ）A.2√3B.4√2C.4√3D.8√2二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知a ⃗ =（m +1，0，2m ），b ⃗ =（6，0，2），a ⃗ ∥b ⃗ ，则m 的值为 ______ ．14.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos B+bcos （B+C ）=0，则△ABC 一定是 ______ 三角形．15.已知直线l 1：4x -3y +12=0和直线l 2：x =-1，则抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ______ ．16.已知数列满足a 1+a 2+a 3=6，a n +1=-1a n +1，则a 16+a 17+a 18= ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0及命题q ：∃x 0∈R ，x 02-x 0+a =0，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．18.已知点O （0，0），M （1，0），双曲线C ：x 2a -y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上有一点P ，满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3．（1）求渐近线方程；（2）若双曲线C 过点（2，3），求双曲线方程．19.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos C ，bcos B ，ccos A 依次成等差数列．（1）求角B ；（2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 面积的最大值．20.已知等比数列{a n }中，公比q ＞1，a 1+a 4=9，a 2a 3=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n +1log 2a n +1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得2n +1+S n ＞60n +2成立的正整数n 的最小值．21.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中点，F是BC 上的一点，AF交CD于点E，且CE=DE，将△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为120°．（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；（2）求二面角F-AC-E的余弦值．22.已知椭圆M：x2m2+y2n2=1，过点P（1，2）的直线l与x，y轴正半轴围成的三角形面积最小时，l恰好经过曲线M的两个顶点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l交曲线M于点C，D（异于A，B）两点，求四边形ABCD面积最大时，直线l的方程．。
河南省洛阳市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析(初中数学试卷)
2015-2016 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷一、本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知全集U={1 , 2, 3, 4}，集合A={1, 2} , B={2, 3}，则？u( A ^B)=( ) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．在直角坐标系中,下列直线中倾斜角为钝角的是( )A . y=3x - 1B . x+2=0 C. + =1 D . 2x - y+仁03•线段x-2y+1=0 (- 1 w x w 3)的垂直平分线方程为( )A．x+2y- 3=0 B．2x+y- 3=0 C．2x+y- 1=0 D．2x- y- 1=04. 函数y=lnx与y= - 2x+6的图象有交点P (x o, y o),若x°€( k, k+1),则整数k的值为 ()A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知a、b € R，且满足0v a v 1 v b,则下列大小关系正确的是( )A . a b v b a v logdD B. b a v log^v a b C. logeb v b a v a b D. log a b va b v b a6. 半径R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )3 3 3 3A . n RB . n R C. n R D . n R7. 给出下面四个命题(其中m, n, l为空间中不同的三条直线，a, B为空间中不同的两个平面)：①m // n, n // a? m //a②a丄B, aQ节m , l丄m? I丄B;③I丄m, I 丄n, m? a, n? a? l 丄a④m Q n=A，m/ a，m/ B，n/ a，n/ B? a/ B.其中错误的命题个数为( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个&若不等式a x|>x2-对任意x€ [ - 1, 1]都成立，则实数a的取值范围是( )A . (, 1 )U( 1, +s) B. ( 0,)U( 1 , +s) C. (, 1)U( 1 , 2) D . (0,)U ( 1 ，2)9. 在四棱锥P- ABCD 中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形(如图)，在棱PB , PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A 出发依次沿四边形AM , MN , ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S-ABCD的体积为V (x),贝V函数V (x)的图象是( )A. B. C. D.10. 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, +R)上单调递增，若实数a满足f (lga) +f (lg) w 2f (1),则a的取值范围是( )A. (-^, 10]B. [ , 10]C. (0, 10]D. [ , 1]11. 在直角坐标系内，已知 A (3, 3)是0 C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x - y+1=0和x+y - 7=0,若O C上存在点P,使/ MPN=90 °其中M、N的坐标分别为(-m,0)(m,0),则m的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 712. 若关于m、n 的二元方程组有两组不同的实数解，则实数k 的取值范围是( )A. (0, )B. (, +R)C. (, ] D .(,]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在空间直角坐标系中,已知点A( 1 ,0,2 ),B( 1 , - 3,1),若点M在y轴上，且|MA | =| MB | , 则M 的坐标是2-14. 若函数y= - x+ax-2在区间(0, 3］上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为____ .15•已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为____ .16. 一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点(含顶点).①当点N是棱B1C1的中点时，MN //平面ACC1A1;②MN丄A1C ；3③三棱锥N - A1BC的体积为V N-ABC=a ;④点M是该多面体外接球的球心.其中正确的是B三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知直线11：x+my+1=0 和b：( m- 3) x - 2y+ (13 - 7m) =0.(1 )若h丄J求实数m的值；(2)若I, I2,求11与12之间的距离d .18. 已知函数f (x) =log a (- x- 1) +log a (x+3),其中a>0 且a z 1.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x )的值域.19. 如图，△ PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD丄平面ABCD，其中PA=PD , AB=2，点E是棱PA的中点.(1)求证：PC//平面BDE ;(2)若直线PA与平面ABCD所成角为60°求点A到平面BDE的距离.20. 已知函数f (x) = ( a、b、c€ Z)是奇函数.(1 )若 f (1) =1 , f (2)- 4> 0，求 f (x);(2)若b=1,且f ( x)> 1对任意的x €( 1, +s)都成立，求a的最小值.21. 如图，四边形ABCD 中，AB 丄AD , AD // BC, AD=8 , BC=6 , AB=2 , E, F 分别在BC , AD 上, EF // AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF丄平面EFDC .(1 )若BE=3，求几何体BEC - AFD的体积；(2 )求三棱锥 A - CDF的体积的最大值，并求此时二面角 A - CD - E的正切值.22. 已知点A (6, 2), B (3, 2),动点M 满足|MA|=2|MB|.(1)求点M的轨迹方程；(2)设M的轨迹与y轴的交点为P,过P作斜率为k的直线I与M的轨迹交于另若C( 1, 2k+2)，求厶CPQ面积的最大值，并求出此时直线I的方程.2015-2016 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知全集U={1 , 2, 3, 4}，集合A={1, 2} , B={2, 3}，则?U (A QB)=( ) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：：•集合A={1 , 2} , B={2, 3} ,••• A AB={2},由全集U={1，2，3，4}，• ?U(A Q B) ={1，3，4}．故选：A．2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是( )A . y=3x - 1B . x+2=0 C. + =1 D . 2x - y+仁0【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可.【解答】解：对于A : k=3，是锐角，对于B :是直角，对于C: k=-,是钝角，对于D : k=2，是锐角，故选：C.3. 线段x-2y+1=0 (- 1 < x w 3)的垂直平分线方程为( )A. x+2y- 3=0B. 2x+y- 3=0C. 2x+y- 1=0D. 2x- y- 1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】求出线段的中点坐标,求出线段的垂直平分线的斜率,然后求出垂直平分线方程.【解答】解: x= - 1 时, y=0 , x=3 时, y=2 ,•(- 1, 0),(3, 2)的中点为( 1, 1),线段x- 2y+1=0 的斜率是: k==,线段x- 2y+1=0 (- 1 w x w 3)的垂直平分线的斜率是：- 2,故所求直线方程是: y- 1=- 2(x- 1),即: 2x+y- 3=0,故选: B.4. 函数y=lnx与y= - 2x+6的图象有交点P (x o, y o),若x°€( k, k+1),则整数k的值为 ()A. 1B. 2C. 3D. 4 【考点】函数的图象.【分析】可判断函数f(x) =lnx- 6+2x 连续，从而由零点的判定定理求解. 【解答】解:设f( x) =lnx+2x- 6，因为函数f (x) =lnx - 6+2x连续，且 f (2) =ln2 - 6+4=ln2 - 2 v 0,f (3) =ln3 - 6+6=ln3 >0;故函数y=lnx - 6+2x的零点在(2, 3)之间, 故x o €( 2, 3);••• x°€( k, k+1),••• k=2，故选 B ．5. 已知a、b € R，且满足O v a v 1 v b,则下列大小关系正确的是（）b a a b a b b aA. a v b v log a bB. b v log a b v aC. log a b v b v aD. log a b v a v b 【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.【解答】解：••• a、b€ R,且满足O v a v 1v b,• log a b v log a1=0,b a>b0=a0>a b>0，• log a b v a b v b a.故选： D .6. 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）3 3 3 3A. n RB. n RC.冗RD. n R【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出扇形的弧长,然后求出圆锥的底面周长,转化为底面半径,求出圆锥的高,然后求出体积．【解答】解：2 n= K R，所以r=，则h=,所以V=故选A7. 给出下面四个命题（其中m, n, l为空间中不同的三条直线，a, B为空间中不同的两个平面）：①m // n, n // a? m //a②a丄B, aQ节m , l丄m? I丄B;③I丄m, I 丄n, m? a, n? a? l 丄a④m Q n=A，m/ a，m/ B，n/ a，n/ B? a/ B.其中错误的命题个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】① 根据线面平行的判定定理进行判断.②根据线面垂直的性质定理进行判断.③根据线面垂直的定义进行判断.④根据面面平行的判定定理进行判断.【解答】解：①m // n, n // a,贝U m // a或m? a,故① 错误，②a丄B, aQ B m , l丄m,贝y I丄B或I// B或l? B或丨与B相交；故②错误，③I丄m , I丄n , m? a, n? a ,若m与n相交，贝U I丄a ,否则不成立，故③ 错误，④若m Q n=A ,设过m , n的平面为Y若m // a, n // a ,贝U a // 丫，若m// 3, n// 3,贝U 丫// 3,贝U all B成立.故④正确,故错误是①②③ 故选：C.8若不等式a|x|>x2-对任意x€ [ - 1,1]都成立，则实数a的取值范围是( )A . (, 1 )U( 1, +s) B. ( 0,)U( 1 , +s) C. (, 1)U( 1 , 2) D . (0,)U ( 1 ， 2 )【考点】函数恒成立问题.【分析】设f (x) =a|x|, g (x) =x2-，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可.【解答】解：设f( x) =a|x|, g( x) =x2-,当x€ [ - 1, 1]时，g (x)€ [-,],••• f (x)和g (x)都是偶函数，•••只要保证当x € [0, 1]时，不等式a x|>X2-恒成立即可.当x€ [0, 1]时，f (x) =a x,若a> 1时，f (x) =a x> 1,此时不等式a|x|> x2-恒成立，满足条件.若O v a v 1时，f (x) =a x为减函数，而g (x)为增函数，此时要使不等式a|x|> x2-恒成立，则只需要 f (1 )> g (1)即可，即a> 1 - = , 此时v a v 1, 综上v a v 1或a> 1, 故选：A.9. 在四棱锥P- ABCD 中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形(如图)，在棱PB , PC上各有一点M、N，且四边形AMND 的周长最小，点S从A 出发依次沿四边形AM , MN , ND运动至点D，记点S行进的路程为x，棱锥S-ABCD的体积为V (x),贝U函数V (x)的图象是( )A .B .C .D .【考点】函数的图象.【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从 A 到D最短距离为直角三角形PAD 的斜边为4，求出x 的范围，判断函数的图象即可.【解答】解：四棱锥P- ABCD 中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为 4 且顶角为30°，222••• BC2=PB2+PC2- 2PB?PCcos30°16+16 - 2 X 4X 4X =32 - 16,•底面正方形的面积s=32- 16，h=xtan30°，•V( x) =sh=xtan30 °，为线性函数，•••四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，•正四棱锥侧面展开图，从 A 到 D 最短距离为直角三角形PAD 的斜边为4，• x < 4故选：C.10. 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, +8)上单调递增，若实数a满足f (Iga)+f (lg)w 2f (1),则a的取值范围是( )A. (- ^, 10]B. [ , 10]C. (0, 10]D. [ , 1] 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系,将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：•••函数f (x)是定义在R上的偶函数，•••f (Iga) +f (lg) < 2f (1),等价为f (Iga) +f (- Iga) =2f (lga)w 2f (1), 即f (lga)w f (1).•••函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, +8)单调递增，• f (lga )< f (1)等价为 f (| lga| )< f (1).即I lga| W 1,1 W lga W 1,解得W a< 10,故选：B.11•在直角坐标系内，已知 A (3, 3)是0 C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x —y+1=0和x+y —7=0,若O C上存在点P,使/ MPN=90 °其中M、N的坐标分别为(-m,0)(m,0),则m的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出0 C 的方程，过P，M，N 的圆的方程，两圆外切时，m 取得最大值.【解答】解：由题意，. A( 3，3)是0 C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x—y+1=0和x+y —7=0 ,.圆上不相同的两点为B( 2，4，)，D(4，4)，•/ A ( 3, 3), BA 丄DA. BD 的中点为圆心C( 3，4)，半径为1，.0 C 的方程为( x—3) 2+( y—4) 2=1 .2 2 2过P，M，N 的圆的方程为x2+y2=m2，.两圆外切时，m 的最大值为+1=6，故选：C.12•若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数k的取值范围是( )A.(0， )B.(，+8)C.(，]D.(，]【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】由题意作函数n=1+与直线n=k ( m —2) +4的图象，从而化为图象的交点的个数问题，从而解得.【解答】解：由题意作函数n=1+与直线n=k ( m —2) +4的图象如下，HA=2,解得，k=,当直线n=k ( m - 2) +4过点B时, k==,结合图象可知,v k w,故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，已知点A( 1 ,0,2 ),B( 1 , - 3,1),若点M在y轴上，且|MA | =| MB | , 则M的坐标是 ___________ .【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标.【分析】设出点M (0 , y , 0),由|MA|=|MB|,建立关于参数y的方程，求y值即可.【解答】解：设设M (0 , y , 0),由| MA | =| MB | ,可得=,即y2+5= (y+3) 2+2 ,解得：y= - 1 .M的坐标是(0 , - 1 , 0).故答案为：(0 , - 1 , 0).14.若函数y= - x2+ax-2在区间(0 , 3］上既有最大值又有最小值，贝U实数a的取值范围为 ___ .【考点】二次函数的性质. 【分析】先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出a的范围即可.2【解答】解：函数y= - x +ax- 2 ,对称轴x=, 若函数在区间( ••• 0 vw，解得：0, 3］上既有最大值又有最小值, 0 v a w 3 ,故答案为：(0 , 3］.15.已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质.【分析】由函数的解析式求得 f () ==2，画出函数f (x )的图象，求得 A 、B 的横坐标, 可得满足不等式的实数 m 的取值范围【解答】解：•••函数，f () ==2 ,•••函数f ( x )的图象如图所示：令=2，求得x=，故点A 的横坐标为，x令3 - 3=2，求得x=log 35,故点B 的横坐标为Iog 35.•不等式，即f ( m )w 2.顾满足f ( m )w 2的实数m 的取值范围为， 故答案为.1 U ”亠, L >0 -i x-9 /节 J*■ ■ *-- ————w --16. 一个多面体的直观图和三视图如图, 顶点).① 当点N 是棱B i C i 的中点时，MN //平面ACC i A l ；② MN 丄A i C ；3③ 三棱锥N - A i BC 的体积为V N -ABC =a ;④ 点M 是该多面体外接球的球心.其中正确的是 _____ .【考点】棱柱的结构特征. 【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住 M 是A i B 的中点，N 是棱B i C i 上 的任意一点M 是A i B 的中点，N 是棱B i C i 上的任意一点(含 8 圭视图 左视圏(含顶点)就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明.【解答】解：①M连接AB中点E, N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC i A i, 面面平行? 线面平行，① 正确；②M连接A1C中点G,连接C l G, A1C丄平面MNC 1G MN丄A l C；②正确；3③三棱锥N-A1BC的体积为V N-A===a ,③ 正确；④由三视图可知：此多面体是正方体切割下来了的，M 是A1B 的中点(空间对角线中点) ，是正方体中心，.••点M是该多面体外接球的球心.故④ 正确.故答案为：①②③④.三、解答题：本大题共 6 小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知直线11：x+my+1=0 和I2： ( m- 3) x - 2y+ (13 - 7m) =0.(1 )若I」12,求实数m的值；(2)若h// 12,求I1与I2之间的距离d .【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】(1)由垂直可得1? (m - 3)- 2m=0，解方程可得；(2)由I,/ 12可得m值，可得直线方程，由平行线间的距离公式可得.【解答】解：(1)v 直线l1：x+my+1=0 和l2： ( m- 3) x - 2y+ (13-7m) =0,•••当11 丄12 时，1? ( m- 3)- 2m=0，解得m= - 3 ；(2 )由l1/ l2可得m ( m- 3) +2=0，解得m=1 或m= - 2，当m=2时，I1与I2重合，应舍去，当m=1 时，可得1仁x+y+1=0，I2：- 2x - 2y+6=0，即x+y - 3=0，由平行线间的距离公式可得d==218. 已知函数f (x) =log a (- x- 1) +log a(x+3)，其中a>0 且a z 1.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x )的值域.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】(1)根据函数成立的条件即可求函数 f (x)的定义域；(2)根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论.【解答】解：(1)要使函数有意义，则.解得：-3v x v- 1.即f (x)的为定义域(-3，1)，(2) f(x) =Iog a(- x- 1) +Iog a(x+3) =Iog a[-( x+1)(x+3) ]，令t= -( x+1 )( x+3)，•/- 3v x v- 1，• 0 v t w 1，当0v a v 1时，值域为[0，+8)，当a> 1时，值域为(-^，0].19. 如图，△ PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD丄平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点.(1)求证：PC//平面BDE ；(2)若直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，求点 A 到平面BDE 的距离.考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定.【分析】(1)连接AC,交BD于0,连接E0,证明PC// OE，即可证明PC//平面BDE ;(2)取AD的中点N，连接PN,证明/ PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A 到平面BDE 的距离．【解答】(1)证明：连接AC，交BD于0,连接E0,则■/ ABCD是正方形，•••0是AC的中点，•••点E是棱PA的中点，•PC/ 0E,•/ 0E?平面BDE , BD?平面BDE ,••• PC //平面BDE ;(2)解：取AD的中点N,连接PN，贝U•/ PA=PD ,• PN 丄AD ,•••平面PAD门平面ABCD=AD ,• PN 丄平面ABCD ，•••/ PAN 为直线PA 与平面ABCD 所成角PAN=60 PA=PD=AD=2 ,•/ AB丄AD，平面PAD丄平面ABCD，平面PAD n平面ABCD=AD ,• AB 丄平面PAD ，二V B-DAE==,Rt A EAB 中，EA=1 , AB=2 , BE=,•••, BD=2 ,••• DE 丄EB ,二S BDE==.设点A到平面BDE的距离为h.则，• h=•点 A 到平面BDE 的距离为.20. 已知函数f (x) = ( a、b、c€ Z)是奇函数.(1 )若 f (1) =1 , f (2)—4>0，求 f (x);(2)若b=1,且f ( x)> 1对任意的x €( 1, +s)都成立，求a的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质.【分析】(1 )根据函数是奇函数求出c=0,根据f (1), f (2 )的值求出a, b从而求出f (x)即可；(2)问题转化为a> =+对任意x€( 1, +8)恒成立，令t=，从而求出a的最小值.【解答】解：(1)： f (x)是奇函数，• f (x) +f (—x) =0,即=0 ，• c=0，•f( x) =，又f( 1 ) ==1 ，• b=a—2，f( 2)—4=—4> 0，•—4= > 0 ，•. 2v a<,v a€ Z ,• a=3, b=1,•f( x) =；(2) b=1 时，由( 1)得：f( x) =，f (x)> 1恒成立即〉1对任意x€( 1, +8)恒成立，即a> =+对任意x €( 1, +s)恒成立，令t=,「. t€( 0,1),于是+=2t2+t€( 0, 3),a>3, a的最小值是3.21. 如图，四边形ABCD 中，AB 丄AD , AD // BC, AD=8 , BC=6 , AB=2 , E , F 分别在BC , AD上,EF // AB ,现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF丄平面EFDC .(1 )若BE=3 ,求几何体BEC - AFD的体积；(2 )求三棱锥 A - CDF的体积的最大值,并求此时二面角 A - CD - E的正切值.【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)推导出FD丄平面ABEF ,从而AF丄平面EFDC , CE丄平面ABEF ,连结FC , 将几何体BEC - AFD分成三棱锥 A - CDF和四棱锥C-ABEF ,由此能求出几何体BEC - AFD的体积. (2)设BE=x ,则AF=x (0v x< 6) , FD=8 - x , V 三棱锥A - CDF=,当x=4 时，V 三棱锥A -CDF 有最大值,/ ACF为二面角A - CD - E的平面角，由此能求出二面角 A - CD - E的正切值.【解答】解：(1)v平面ABEF丄平面EFDC ,平面ABEF门平面EFDC=EF , FD丄EF ,••• FD丄平面ABEF ,又AF?平面ABEF ,.FD 丄AF ,又AF 丄EF , FD AEF=F ,• AF丄平面EFDC ,同理，CE丄平面ABEF ,连结FC ,将几何体BEC - AFD分成三棱锥 A - CDF和四棱锥C- ABEF ,对于三棱锥 A - CDF ,棱锥高为AF=BE=3 , FD=5 ,• V 三棱锥A- CDF===5 ,对于四棱锥C - ABEF ,棱锥高为CE=3 ,•V四棱锥C-ABEF===6 ,•几何体BEC - AFD的体积V=V三棱锥A-CDF+V四棱锥C-ABEF=5+6=11 .(2)设BE=x , • AF=x (0 v x w 6) , FD=8 - x ,--V三棱锥A- CDF=,•当x=4时，V三棱锥A-CDF有最大值,且最大值为，在直角梯形CDEF 中,EF=2 , CE=2 , DF=4 ,• CF=2, CD=2 , DF=4 ,•CF2+CD2=DF2, / DCF=90 ° ° • DC 丄CF , 又AF丄平面EFDC, DC?平面EFDC,• DC 丄AF ,又AF n CF=F , • DC 丄平面ACF , • DC 丄AC ,•/ ACF为二面角A - CD - E的平面角，tan==,•二面角A - CD - E的正切值为.22. 已知点A (6, 2), B (3, 2),动点M 满足|MA|=2|MB|.( 1 )求点M 的轨迹方程；(2)设M的轨迹与y轴的交点为P,过P作斜率为k的直线I与M的轨迹交于另一点Q , 若C( 1, 2k+2)，求厶CPQ面积的最大值，并求出此时直线I的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.【分析】(1)设M (x, y),由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出.(2)令x=0 ,可得P (0, 2).直线I的方程为：y=kx+2, ( k丰0)代入圆的方程可得：(1+k2)2x2- 4x=0，解出可得Q坐标，|PQ| •求出点C到直线I的距离d,A CPQ面积S=| PQ| ?d, 再利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：(1)设M (x, y), •/ | MA|=2| MB | ,二=2,化为：( x- 2) 2+( y- 2) 2=4.(2)令x=0,解得y=2 ,••• P (0, 2).22直线I的方程为：y=kx +2, (k工0)代入圆的方程可得：(1+k2) x2- 4x=0 ,解得x=0，或x=.•Q.•| PQ| ==.点 C 到直线I 的距离d==.•△ CPQ面积S=| PQ| ?d=xx == < =1，当且仅当|k|=1时取等号.•△ CPQ 面积的最大值 1 时，此时直线I 的方程为：y=±x+2.2016 年10 月12 日。
2014-2015年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2014-2015学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，主要一个是符合题目要求的。
1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 2．（5分）已知曲线y=x2+2x﹣1在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）3．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°4．（5分）已知数列{a n}满足a n=17﹣3n，则使其前n项的和S n取最大值时n的值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．48B．24C．36D．256．（5分）若a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中恒成立的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a+c=0D．a2＞b2＞c27．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）动点P到A（0，2）点的距离比它到直线：L：y=﹣4的距离小2，则动点P的轨迹为（）A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y9．（5分）已知O是坐标原点，A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．210．（5分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足f（x）＞0，xf′（x）﹣f（x）＜0，则对任意正数a，b，当a＞b时，下列不等式一定成立的是（）A．af（b）＜bf（a）B．bf（a）＜af（b）C．af（a）＜bf（b）D．bf（b）＜af（a）11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4+2B．+1C．﹣1D．12．（5分）若f（x）=﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a6=．14．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，顶点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为．15．（5分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．16．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+12=0和直线l2：x=﹣1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
2014-2015学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷含答案
2014-2015学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5.00分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B 的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5.00分）已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y 的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．3．（5.00分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．2πB． C．4πD．5π4．（5.00分）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．（5.00分）下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）6．（5.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB． C．D．8π7．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．（5.00分）已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．（5.00分）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f （x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B．f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）C．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）D．f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）10．（5.00分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．（5.00分）（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．14．（5.00分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是．15．（5.00分）已知圆（x﹣3）2+y2=16和圆（x+1）2+（y﹣m）2=1相切，则实数m=．16．（5.00分）将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①不论θ取何值，总有AC⊥BD；②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；③当θ=60°时，三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知直线l1：x+my+6=0，直线l2：（m﹣2）x+3my+18=0．（1）若l1∥l2，求实数m的值；（2）若l1⊥l2，求实数m的值．18．（12.00分）如图，O为矩形ABCD的中心，E，F为平面ABCD同侧两点，且EF BC，△CDE和△ABF都是等边三角形．（1）求证：FO∥平面ECD；（2）设BC=CD，求证：EO⊥平面FCD．19．（12.00分）如图，已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P （3，﹣2），求圆心在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．20．（12.00分）已知函数f（x）=a﹣，g（x）=．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）若关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．22．（12.00分）已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）在R上为增函数；（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5.00分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B 的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，当x=0时，不满足B中元素的条件；当x=1时，不满足B中元素的条件；当x=2时，满足B中元素的条件；当x=3时，满足B中元素的条件；故B={2，3}，则集合B的元素的个数为2，故选：B．2．（5.00分）已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y 的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【解答】解：若点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则满足k AB=k AC，即，即，则y﹣2=﹣1，解得y=1，故选：C．3．（5.00分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．2πB． C．4πD．5π【解答】解：由图知，此几何体是一个圆柱，其高为2，半径为，它的表面积为+2×2π×=故选：B．4．（5.00分）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．5．（5.00分）下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）【解答】解：∵0=log 31＜＜=＜log32＜log33=1，3＜log24=2，=＜log∴＜log3（log23）＜log32＜log23．∴四个数中最小的是．故选：A．6．（5.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB． C．D．8π【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．7．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=0【解答】解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x=2时，y=3，即P（2，3），∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：当a＞1时，由2﹣a＞0 求得a＜2，∴1＜a＜2．当0＜a＜1时，由于2﹣a x在（﹣∞，1]上可能为负数，故不满足条件．综上可得，1＜a＜2，故选：A．9．（5.00分）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f （x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B．f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）C．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）D．f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）【解答】解：∵f（x）=f（x+6），∴f（x）在R上以6为周期，∵函数的对称轴为x=3，∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）故选：C．10．（5.00分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选：B．11．（5.00分）（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN，则∵MN∥BB1，MN=BB1，∴四边形BB1NM是平行四边形，可得B1N∥BM因此，∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角∵Rt△B1C1N中，B1C1=2，C1N=1，∴B1N=∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=又∵正方形AA1B1B中，AB1=2∴△AB1N中，cos∠AB1N==0，可得∠AB1N=90°即异面直线AB1和BM所成角为90°故选：A．12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x 1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）【解答】解：作函数f（x）=与y=t的图象如下，结合图象可知，0＜t＜1；x1=﹣t，x3==1+，故x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；故2＜x3﹣x1≤；故选：B．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．【解答】解：由题意，A′B′=，A′D′=3，∠A′D′C′=135°，∴A′C′==．故答案为：．14．（5.00分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是．【解答】解：设k=，即y=kx，则∵点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，∴圆心（2，0）到直线kx﹣y=0的距离d，即，平方得4k2≤3+3k2，即k2≤3，解得﹣，故的最大值是，故答案为：．15．（5.00分）已知圆（x﹣3）2+y2=16和圆（x+1）2+（y﹣m）2=1相切，则实数m=3或﹣3．【解答】解：根据题意得：圆C：（x﹣3）2+y2=16的圆心坐标为C（3，0），半径r=4；圆D：（x+1）2+（y﹣m）2=1的圆心坐标为D（﹣1，m），半径R=1．当两圆相外切时，圆心距CD=R+r=5，即=，所以m2=9，解得m=3或m=﹣3．当两圆内切时，圆心距CD=R﹣r=3，即==9此时方程无解，综上m=3或m=﹣3．故答案为：3或﹣3．16．（5.00分）将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①不论θ取何值，总有AC⊥BD；②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；③当θ=60°时，三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确的命题的序号是①②③．（把你认为正确的序号都填上）【解答】解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC ⊥BD，①正确；∵V D==，∴③正确；﹣ABC故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知直线l1：x+my+6=0，直线l2：（m﹣2）x+3my+18=0．（1）若l1∥l2，求实数m的值；（2）若l1⊥l2，求实数m的值．【解答】解：（1）当m=0时，两条直线分别化为：x+6=0，﹣x+9=0，此时两条直线不平行，因此m=0；当m≠0时，两条直线分别化为：，，∵l1∥l2，∴，，无解．综上可得：m=0．（2）由（1）可得：m=0时两条直线平行，m≠0，∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得m=﹣1或．∴m=﹣1或．18．（12.00分）如图，O为矩形ABCD的中心，E，F为平面ABCD同侧两点，且EF BC，△CDE和△ABF都是等边三角形．（1）求证：FO∥平面ECD；（2）设BC=CD，求证：EO⊥平面FCD．【解答】证明：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．在矩形ABCD中，OM∥BC，且OM=BC，又EF∥BC，且EF=BC，则EF∥OM，EF=OM，连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM．又FO不在平面CDE内，且EM在平面CDE内，∴FO∥平面CDE．（Ⅱ）证明：连接FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，EM ⊥CD，且EM=CD=BC=EF，因此，平行四边形EFOM为菱形，从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以，EO⊥平面CDF．19．（12.00分）如图，已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P （3，﹣2），求圆心在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．【解答】解：法一：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线4x+y=0上，∴满足，解得a=1，b=4，r=，则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．法二：过切点且与x+y﹣1=0垂直的直线方程为y+2=x﹣3，即y=x﹣5与4x+y=0联立求得圆心为（1，﹣4），则半径r==，则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．20．（12.00分）已知函数f（x）=a﹣，g（x）=．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）若关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，f（x）是定义域为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a﹣=0，解得a=1；（2）因为f（x）=a﹣，所以g（x）==，将方程g（2x）﹣a•g（x）=0化为：+a×=0，化简得22x﹣a•2x+1﹣a=0，设t=2x，则t＞0，代入上式得t2﹣at+1﹣a=0，因为关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，所以关于t的方程t2﹣at+1﹣a=0有唯一的正实数解，则1﹣a＜0或，解得a＞1或a＞，所以实数a的取值范是（，+∞）．21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，．∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为．22．（12.00分）已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）在R上为增函数；（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：令m=0，则f（0+n）=f（0）+f（n）﹣1，即f（0）=1；（2）证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，有f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1，∵f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），∴f（x2）＞f（x1），即f（x）在R上为增函数；（3）∵f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3∴f（ax﹣2+x﹣x2）＜2又∵f（1）=2及f（x）在R上为增函数∴ax﹣2+x﹣x2＜1对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即x2﹣（a+1）x+3＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立．下面对△=（a+1）2﹣12的正负情况进行讨论：①当△＜0，即（a+1）2﹣12＜0时，②当△=0且x2﹣（a+1）x+3=0的解小于1时，则a=±，x=，故a=﹣；③当△＞0且x2﹣（a+1）x+3=0的最大解小于1时，即0＜a2+2a﹣11＜a2﹣2a+1，且1﹣a＞0，解得，综合所述，．。
河南省洛阳市高一上期末数学试卷(有答案)
河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=03．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=04．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．18．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=3，求几何体BEC﹣AFD的体积；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}，由全集U={1，2，3，4}，A∩B）={1，3，4}．∴∁U（故选：A．2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=0【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．【解答】解：对于A：=3，是锐角，对于B：是直角，对于C：=﹣，是钝角，对于D：=2，是锐角，故选：C．3．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出线段的中点坐标，求出线段的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【解答】解：=﹣1时，y=0，=3时，y=2，∴（﹣1，0），（3，2）的中点为（1，1），线段﹣2y+1=0的斜率是：==，线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线的斜率是：﹣2，故所求直线方程是：y﹣1=﹣2（﹣1），即：2+y﹣3=0，故选：B．4．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象．【分析】可判断函数f（）=ln﹣6+2连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】解：设f（）=ln+2﹣6，因为函数f（）=ln﹣6+2连续，且f（2）=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=ln﹣6+2的零点在（2，3）之间，故0∈（2，3）；∵0∈（，+1），∴=2，故选B．5．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，∴log a b＜log a1=0，b a＞b0=a0＞a b＞0，∴log a b＜a b＜b a．故选：D．6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A7．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据线面平行的判定定理进行判断．②根据线面垂直的性质定理进行判断．③根据线面垂直的定义进行判断．④根据面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：①m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故①错误，②α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交；故②错误，③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，若m与n相交，则l⊥α，否则不成立，故③错误，④若m∩n=A，设过m，n的平面为γ，若m∥α，n∥α，则α∥γ，若m∥β，n∥β，则γ∥β，则α∥β成立．故④正确，故错误是①②③，故选：C．8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（）=a||，g（）=2﹣，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可．【解答】解：设f（）=a||，g（）=2﹣，当∈[﹣1，1]时，g（）∈[﹣，]，∵f（）和g（）都是偶函数，∴只要保证当∈[0，1]时，不等式a||＞2﹣恒成立即可．当∈[0，1]时，f（）=a，若a＞1时，f（）=a≥1，此时不等式a||＞2﹣恒成立，满足条件．若0＜a＜1时，f（）=a为减函数，而g（）为增函数，此时要使不等式a||＞2﹣恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，即a＞1﹣=，此时＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，故选：A．9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，求出的范围，判断函数的图象即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，∴BC2=PB2+PC2﹣2PB•PCcos30°=16+16﹣2×4×4×=32﹣16，∴底面正方形的面积s=32﹣16，h=tan30°，∴V（）=sh=tan30°，为线性函数，∵四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，∴正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，∴≤4故选：C．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（）是定义在R上的偶函数，∴f（lga）+f（lg）≤2f（1），等价为f（lga）+f（﹣lga）=2f（lga）≤2f（1），即f（lga）≤f（1）．∵函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（lga）≤f（1）等价为f（|lga|）≤f（1）．即|lga|≤1，∴﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，故选：B．11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆外切时，m取得最大值．【解答】解：由题意，∴A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4，），D（4，4），∵A（3，3），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（﹣3）2+（y﹣4）2=1．过P，M，N的圆的方程为2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为+1=6，故选：C．12．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象，从而化为图象的交点的个数问题，从而解得．【解答】解：由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象如下，直线n=（m﹣2）+4过定点A（2，4），当直线n=（m﹣2）+4过点C时，=2，解得，=，当直线n=（m﹣2）+4过点B时，==，结合图象可知，＜≤，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y值即可．【解答】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得=，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．M的坐标是（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：函数y=﹣2+a﹣2，对称轴=，若函数在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，∴0＜≤，解得：0＜a≤3，故答案为：（0，3]．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】由函数的解析式求得f（）==2，画出函数f（）的图象，求得A、B的横坐标，可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解：∵函数，∴f（）==2，∴函数f（）的图象如图所示：令=2，求得=，故点A的横坐标为，令3﹣3=2，求得=log35，故点B的横坐标为log35．∴不等式，即f（m）≤2．顾满足f（m）≤2的实数m的取值范围为，故答案为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明．【解答】解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC1A1，面面平行⇒线面平行，①正确；②M连接A1C中点G，连接C1G，A1C⊥平面MNC1G．∴MN⊥A1C；②正确；===a3，③正确；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A④由三视图可知：此多面体是正方体切割下了的，M是A1B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由垂直可得1•（m﹣3）﹣2m=0，解方程可得；（2）由l1∥l2可得m值，可得直线方程，由平行线间的距离公式可得．【解答】解：（1）∵直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0，∴当l1⊥l2时，1•（m﹣3）﹣2m=0，解得m=﹣3；（2）由l1∥l2可得m（m﹣3）+2=0，解得m=1或m=﹣2，当m=2时，l1与l2重合，应舍去，当m=1时，可得l1：+y+1=0，l2：﹣2﹣2y+6=0，即+y﹣3=0，由平行线间的距离公式可得d==218．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据函数成立的条件即可求函数f（）的定义域；（2）根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论．【解答】解：（1）要使函数有意义，则．解得：﹣3＜＜﹣1．即f（）的为定义域（﹣3，1），（2）f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3）=log a[﹣（+1）（+3）]，令t=﹣（+1）（+3），∵﹣3＜＜﹣1，∴0＜t≤1，当0＜a＜1时，值域为[0，+∞），当a＞1时，值域为（﹣∞，0]．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A 到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点E是棱PA的中点，∴PC∥OE，∵OE⊂平面BDE，BD⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（2）解：取AD的中点N，连接PN，则∵PA=PD，∴PN⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PN⊥平面ABCD，∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，==，∴V B﹣DAERt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=，∵，BD=2，∴DE⊥EB，==．∴S△BDE设点A到平面BDE的距离为h．则，∴h=，∴点A到平面BDE的距离为．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（）即可；（2）问题转化为a＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，从而求出a的最小值．【解答】解：（1）∵f（）是奇函数，∴f（）+f（﹣）=0，即=0，∴c=0，∴f（）=，又f（1）==1，∴b=a﹣2，f（2）﹣4=﹣4＞0，∴﹣4=＞0，∴2＜a＜，∵a∈，∴a=3，b=1，∴f（）=；（2）b=1时，由（1）得：f（）=，f （）＞1恒成立即＞1对任意∈（1，+∞）恒成立，即a ＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，∴t ∈（0，1），于是+=2t 2+t ∈（0，3），∴a ≥3，a 的最小值是3．21．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=8，BC=6，AB=2，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若BE=3，求几何体BEC ﹣AFD 的体积；（2）求三棱锥A ﹣CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）推导出FD ⊥平面ABEF ，从而AF ⊥平面EFDC ，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，由此能求出几何体BEC ﹣AFD 的体积．（2）设BE=，则AF=（0＜≤6），FD=8﹣，V 三棱锥A ﹣CDF =，当=4时，V 三棱锥A ﹣CDF 有最大值，∠ACF 为二面角A ﹣CD ﹣E 的平面角，由此能求出二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【解答】解：（1）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF ，FD ⊥EF ，∴FD ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴FD ⊥AF ，又AF ⊥EF ，FD ∩EF=F ，∴AF ⊥平面EFDC ，同理，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC ﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，对于三棱锥A ﹣CDF ，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，∴V 三棱锥A ﹣CDF ===5，对于四棱锥C ﹣ABEF ，棱锥高为CE=3，∴V 四棱锥C ﹣ABEF ===6，∴几何体BEC ﹣AFD 的体积V=V 三棱锥A ﹣CDF +V 四棱锥C ﹣ABEF =5+6=11．（2）设BE=，∴AF=（0＜≤6），FD=8﹣，=，∴V三棱锥A﹣CDF∴当=4时，V有最大值，且最大值为，三棱锥A﹣CDF在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，∴CF=2，CD=2，DF=4，∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，tan==，∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S=|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设M（，y），∵|MA|=2|MB|，∴=2，化为：（﹣2）2+（y﹣2）2=4．（2）令=0，解得y=2，∴P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解得=0，或=．∴Q．∴|PQ|==．点C到直线l的距离d==．∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1，当且仅当||=1时取等号．∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±+2．。
【数学】2015年河南省洛阳市高三上学期期末数学试卷(文科)带解析答案
4． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 1 的 圆，则这个几何体的体积是（ ）
A．
B．
பைடு நூலகம்
C．π
D． ）的部分图象
5． （5 分）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ） （a＞0，ω＞0，|φ|＜ 如图所示，则 f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）=sin（3x+
）
B
【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（2，0）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的方程为 x2+y2=9，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的普通方程及圆 C 的极坐标方程； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|PA|•|PB|的值．
18． （12 分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各 4 名同学在某次考试中 的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随 机性，并在图中用 m（m∈N）表示．
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（1）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； （2）当 m=3 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学 的数学成绩之差的绝对值超过 2 分的概率．
二、填空题：每小题 5 分，共 20 分． 13． （5 分）设 i 是虚数单位，若复数（2+ai）i 的实部与虚部互为相反数，则实 数 a 的值为 ． + |=| ﹣ |（O 为坐
14． （5 分）已知 A（﹣1，cosθ） ，B（sinθ，1） ，若| 标原点） ，则锐角 θ= ．
15． （5 分）若关于 x 的不等式 ax2﹣|x+1|+2a＜0 的解集为空集，则实数 a 的取 值范围为 ．
洛阳市2014——2015学年高三第三次统一考试 数学试卷附答案
洛阳市2014——2015学年高三第三次统一考试数学试卷（文） 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1＋i ）z ＝3＋i ，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是A ．（1，－2）B ．（－2，1）C ．（－1，2）D ．（2，－1）2．设集合A ＝{x ｜2x －6x ＋8＜0}，B ＝{x ｜2＜2x ＜8}，则A ∪B ＝A ．{x ｜2＜x ＜3}B ．{x ｜1＜x ＜3}C ．{x ｜1＜x ＜4} D ．{x ｜3＜x ＜4}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是A ．f （x ）＝－3xB ．f （xC ．f （x ）＝－tanxD ．f （x ）＝1x4．“等式sin （α＋γ）＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．设F 1、F 2分别是椭圆2212516x y ＋＝的左、右焦点， P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，｜OM ｜＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为A ．2B ．3C ．4D ．56．执行如图所示的程序框图，输出的T ＝A ．17B ．29C ．44D ．527．为了得到函数y ＝12cos2x 的图象，可以把函数y ＝ 12sin （2x ＋3π）的图象上所有的点 A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β9．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝CD ，点O 在线段CD 上（点O 与点C ，D 不重合），若AO ＝x AB ＋y AC ，则x 的取值范围是A ．（－1，0）B ．（0，13） C ．（0，1） D ．（－13，0）10．已知正项等比数列{n a }满足a 7＝a 6＋2a 5，若a m ，a n 8a 1，则1m ＋9n的最小值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．811．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为A ．12＋3πB ．12＋3πC ＋D ＋12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若｜PF 1｜＝10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1＋e 2的取值范围是A ．（54，＋∞）B ．（43，＋∞）C ．（32，＋∞）D ．（53，＋∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题。
2014-2015年河南省洛阳市高一下学期期末数学试卷及答案
2014-2015学年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|＜2，x∈R}，集合N={x|y=，x∈R}，则M∩N=（）A．（，1]B．（，+∞）C．（﹣∞，0）∪（，1]D．（﹣∞，0）∪[0，+∞）2．（5分）下列大小关系正确的是（）A．log43＜30.4＜0.43 B．log43＜0.43＜30.4C．0.43＜30.4＜log43 D．0.43＜log43＜30.43．（5分）设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．（5分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1206．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣7．（5分）若sinθ+cosθ=，则cos（2θ+）=（）A．B．﹣ C．﹣D．8．（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，用蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．1﹣B． C．1﹣D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．6410．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣11．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2﹣ax﹣9）的图象关于y轴对称，则f（x）的最大值是（）A．9 B．16 C．18 D．2012．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（，） B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是．14．（5分）一扇形如图所示，OA⊥OB，OA=OB=1，P为上一动A点，则的取值范围为．15．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为．16．（5分）设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若=（2，2），且m﹣与﹣m垂直，求实数m．18．（12分）某班同学利用劳动节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；（2）请根据（1）中补全的频率分布直方图求抽取n的人的年龄的众数和中位数的估计值．19．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[，π]．（1）若|+|＞，求x的取值范围；（2）函数f（x）=，+|+|，若对任意x1，x2∈[，π]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜t，求t的取值范围．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．21．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．22．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y=2相切．（1）求圆O的方程；（2）设M（﹣2，0），N（2，0），过N的动直线l交圆O于A，B两点，求△AMB 面积最大时直线l的方程．2014-2015学年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|＜2，x∈R}，集合N={x|y=，x∈R}，则M∩N=（）A．（，1]B．（，+∞）C．（﹣∞，0）∪（，1]D．（﹣∞，0）∪[0，+∞）【解答】解：当x＞0，去分母得：2x＞1，即x＞；由x＜0，去分母得：2x＜1，即x＜，综上，x的范围为x＞或x＜0，即M=（﹣∞，0）∪（，+∞），由N中y=，得到1﹣x≥0，解得：x≤1，即N=（﹣∞，1]，∴M∩N=（﹣∞，0）∪（，1]，故选：C．2．（5分）下列大小关系正确的是（）A．log43＜30.4＜0.43 B．log43＜0.43＜30.4C．0.43＜30.4＜log43 D．0.43＜log43＜30.4【解答】解：0＜log43＜1，30.4＞1，0.43∈（0，1）．并且0.43＜，=log42＜log43，所以0.43＜log43＜30.4．故选：D．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若n∥α，经过n的平面与α交于a，根据线面平行的性质定理，可得n∥a，m⊥α，则m⊥a，∴m⊥n，正确；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，由m⊥α，可得m⊥γ，正确；③若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故不正确；故选：A．4．（5分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，共有36种结果：记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件A，则△=b2﹣4c≥0⇒，A包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，由的可能事件概率的计算公式可得，P（A）=．故选：D．5．（5分）如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120【解答】解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1第一次执行循环体，ρ=3满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360不满足条件k＜m，输出p的值为360．故选：B．6．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选：D．7．（5分）若sinθ+cosθ=，则cos（2θ+）=（）A．B．﹣ C．﹣D．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，平方可得1+2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，则cos（2θ+）=﹣sin2θ=，故选：A．8．（5分）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，用蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．1﹣B． C．1﹣D．【解答】解：根据几何概型知识，其概率为体积之比，正方体的体积为27，正方体8个顶点的距离均大于1，小于等于1的部分构成半径为1的球，体积为即P==，故选：C．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选：B．10．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．11．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2﹣ax﹣9）的图象关于y轴对称，则f（x）的最大值是（）A．9 B．16 C．18 D．20【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=（1﹣x2）（x2﹣ax﹣9）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（1﹣x2）（x2+ax﹣9）=（1﹣x2）（x2﹣ax﹣9），∴x2+ax﹣9=x2﹣ax﹣9，解得a=0，则f（x）=（1﹣x2）（x2﹣9），设t=x2，则t≥0，代入f（x）得，y=（1﹣t）（t﹣9）=﹣t2+10t﹣9=﹣（t﹣5）2+16，当t=5时，函数f（x）取到最大值是16，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（，） B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1）b∈（1，3），c∈（3，9），由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11当a变小时，b变大，c也变小，=故a+b+c的取值范围为（，11）故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是80．【解答】解：由题可知抽取的比例为k==，故中年人应该抽取人数为N=1600×=80．故答案为：8014．（5分）一扇形如图所示，OA⊥OB，OA=OB=1，P为上一动A点，则的取值范围为[1，] ．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则B（1，0），A（0，1），设P（x，y）（0≤x≤1），则，，∴=x（x﹣1）+y（y﹣1）+==．的几何意义为扇形弧上的点与点M（）距离的平方，∴当点P位于OM的连线与扇形弧交点时，的值最小为，此时的最小值为；当点P位于A（或B）时，的值最大为，此时的最大值为．故答案为：[1，]．15．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．【解答】解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣16．（5分）设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f （1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若=（2，2），且m﹣与﹣m垂直，求实数m．【解答】解：（1）设，由||=2，且∥，知，解得或，故=（2，4）或=（﹣2，﹣4）；（2）由=（1，2），=（2，2），得m﹣=m（1，2）﹣（2，2）=（m﹣2，2m﹣2），﹣m=（1，2）﹣m（2，2）=（1﹣2m，2﹣2m）．由m﹣与﹣m垂直，得：（m﹣2）（1﹣2m）+（2m﹣2）（2﹣2m）=0，解得：m=或m=．18．（12分）某班同学利用劳动节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；（2）请根据（1）中补全的频率分布直方图求抽取n的人的年龄的众数和中位数的估计值．【解答】解：（1）根据频率和为1，得；30～35内的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，∴=0.06，∴补全频率分布直方图如图所示：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，∴n==1000；第二组的频率为0.3，∴第二组的人数为1000×0.3=300，∴p==0.65；第四组的频率为0.03×5=0.15，∴第四组的人数为1000×0.15=150，∴a=150×0.4=60；（2）根据补全的频率分布直方图，得；抽取n人的年龄频率最大的是30～35，∴它的众数估计为=32.5；又0.04×5+0.06×5=0.5，∴估计中位数的值为35．19．（12分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[，π]．（1）若|+|＞，求x的取值范围；（2）函数f（x）=，+|+|，若对任意x1，x2∈[，π]，恒有|f（x1）﹣f （x2）|＜t，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），∴•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos2x，|+|===2|cosx|，∵x∈[，π]，∴|+|=﹣2cosx，由﹣2cosx＞⇒cosx＜﹣，∵x∈[，π]，∴＜x≤π；（2）∵f（x）=•+|+|，∴f（x）=cos2x﹣2cosx=2，∵﹣1≤cosx≤0，∴﹣1≤f（x）≤3⇒|f（x1）﹣f（x2）|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴t＞4．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．21．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．22．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y=2相切．（1）求圆O的方程；（2）设M（﹣2，0），N（2，0），过N的动直线l交圆O于A，B两点，求△AMB 面积最大时直线l的方程．【解答】解：（1）圆心到直线的距离d==1，∵以O为圆心的圆与直线x﹣y=2相切，∴圆O的方程为x2+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则△AMB面积=|y1﹣y2|=2|y1﹣y2|．设过N的动直线l的方程为x=my+2，圆心到直线的距离d=，∴1+m2＞4x=my+2代入圆的方程可得（1+m2）y2+4my+3=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，∴|y1﹣y2|2=（﹣）2﹣=令1+m2=t（t＞4），∴|y1﹣y2|2==﹣16（﹣）2+，∴=，即t=8时，|y1﹣y2|2max=，∴△AMB面积最大为1，此时m=±，直线l的方程为x=±+2．。
河南省洛阳市高一上学期数学期末联考试卷
河南省洛阳市高一上学期数学期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 设集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x ， 0＜x＜1}，则A∩B等于（）A . {y| ＜y＜1}B . {y|0＜y }C . ∅D . {y|0＜y＜1}2. （2分） (2016高一上·仁化期中) 下列函数中哪个与函数y=x相等（）A . y=B . y=C . y=D . y=3. （2分） (2016高二上·郸城开学考) 下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A . y=﹣|x﹣1|B . y=exC . y=ln（x+1）D . y=﹣x（x+2）4. （2分）下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知a＞1，（）b＞1，2c=，则（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . c＞b＞a6. （2分）函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的区间是（）A . （0，）B . （， 1）C . （1，2）D . （2，3）7. （2分） (2019高三上·城关期中) 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·大庆期末) 若曲线C1：x2+y2﹣4x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣x）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣，0）∪（0，）C . [﹣， ]D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）10. （2分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线上，则m+c的值为（）A . 3B . 2C . -2D . －111. （2分）在正方体EFGH﹣E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）A . 平面E1FG1与平面EGH1B . 平面FHG1与平面F1H1GC . 平面F1H1H与平面FHE1D . 平面E1HG1与平面EH1G12. （2分）如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（）A . AC=BCB . VC⊥VDC . AB⊥VCD . S△VCD·AB=S△ABC·VO二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·苍南月考) ________.14. （1分） (2018高二上·黄山期中) 设，，直线AB的斜率为3，则 ________．15. （1分） (2017高三上·太原月考) 函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.16. （1分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为16，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2015高二上·安庆期末) 在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．18. （10分）如图．在四棱锥S一ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD．底面ABcD是菱形．AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹．并证明你的结论．19. （10分） (2016高一上·淄博期中) 已知函数f（x）= （x≠1）（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；（2）令g（x）=lnf（x），判断g（x）=lnf（x）的奇偶性并加以证明．20. （10分）(2017·泉州模拟) 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，．把△ABE沿BE折起，使得，得到四棱锥A﹣BCDE．如图2所示．（1）求证：面ACE⊥面ABD；（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．21. （10分） (2017高二上·莆田月考) 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，证明：为定值.22. （15分）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得最小值m﹣1（m≠0）．设f（x）= ．（1）求二次函数y=g（x）的解析式（假设m为已知常数）；（2）若曲线y=f（x）上的点P[到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（3） k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页21-1、21-2、22-1、22-2、第12 页共13 页22-3、第13 页共13 页。