现代控制理论-第五章 采样系统的状态空间描述

2、特征值稳定性判据 已知齐次状态方程 X (k + 1) = A* X (k) 与 X (0) ，则其解：
X (k) = A*k X (0) = PAd*k P −1 X (0) = (α1λ1k + "α nλkn ) X (0) 有重根时出现 kλk 项。
稳定性判据： 渐近稳定：对 A* 的所有 λi ，有 λi < 1， i = 1,", n 。这是充分必要条件。 临界稳定： λi ≤ 1； 不稳定：对某些 λi ，有 λi > 1。
①
j=0
递推法正好适合计算机，求解方便，但所得结果不是封闭形式的。
2、 Z 变换法 对状态方程两边求 Z 变换，得：
zX (z) − zX (0) = A* X (z) + B*u(z)
∴ X (z) = (zI − A* )−1 ⋅[zX (0) + B*u(z)]
取 Z −1 变换，得：
X (k) = Z −1[(zI − A* )−1 z]X (0) + Z −1[(zI − A* )−1 B*u(z)]
3、状态转移矩阵 A*k 的计算：
① Z 变换法： A*k = Z −1[(zI − A* )−1 z]
②化 A* 为对角阵 Ad* ：
⎡λ1
⎤
P −1 AP
=
Ad*
=
⎢ ⎢
%
⎥ ⎥
⎢⎣
λn ⎥⎦
( ) 其中： λi 为 A* 的特征值 λI − A* = 0 ， P = [p1 p2 ... pn ]为由特征向量 pi 构
连续系统离散化：
图 5－2
图 5－3 从数学上看，由第二章连续状态方程解的公式得：
∫ X (t) = eA(t−t0 ) X (t0 ) +
t eA(t−τ ) Bu(τ )dτ
t0
令： t0 = kT ， t = (k + 1)T ，τ = kT + ξ ， dτ = dξ ，则
∫ X [(k +1)T ] = eAT X (kT ) +
采样系统的状态空间描述
5．1 采样系统的状态空间描述
一组一阶差分方程：
⎧X (k + 1) = A* X (k) + B*u(k)
⎨ ⎩
y(k) = C* X (k)
图 5－1 离散系统动态方程的结构图
*一、由高阶差分方程求系统的状态方程：了解 *二、由系统框图或脉冲传递函数求系统的状态方程：了解
⎡ C* ⎤
2、能观性判据：充分必要条件：V
⎢
=
⎢ ⎢
C * A* #
⎥
⎥ ⎥
满秩，即
rank[V
]
=
n
。
⎢ ⎢⎣C
*
A*n−1
⎥ ⎥⎦
3、能 构 造 性 定 义 ： 由 y(k) 在 k=0, …,n-1 值 计 算 x(n) 。 或 ， 由 y(k) 在
k,k+1,…,k+n-1 有限点上的值计算初始状态 X (k + n) 。
定是完全能控（完全能观）的。能否保持完全能控（完全能观）完全取决于采样
周期 T。
保持完全能控（完全能观）的条件：
对于
A
的 Re[λi
−λj]
=
0
的根，即实部相等的
s
根，应有：T
≠
2kπ Im[λi −
λj]
，
（ k = 0,1,2," ）
*十、具有时延的采样系统：状态方程 工业过程中，时延是很常见的。由于具有时延的连续时间系统是无限维系统，
六、采样系统的能控性： 1、定义：存在 u(0),u(1),"u(n −1) 等，在有限步上使 X (n) = 0 ，n 为系统维数。
讨论：①有限步即可②线性定常时，n 步即可达到。 2、能控性判据：
[ ] ① A* 非奇异：能控的充分必要条件是 s = B* A*B* " A*n−1B* 满秩，即
A∗ 非奇异
必有
能控
←
能达
能观测
必有
→
A∗ 非奇异
对偶 能构造
九、连续系统离散化后，能控能观性的保持
∫ 离散化方法：部分离散化法，即： A* = e AT ， B* = T eA(T −t)dtB ， C * = C 。 0
一个完全能控能观的连续系统{A, B,C} ，离散化后为{A* , B* ,C *}，是否仍然
所以这种系统的理论十分复杂（微分、差分方程，见钱学森、宋建）。 但其对应的采样系统，却是有限维系统。所以，系统一旦被采样，时间延迟
问题的处理就相当简单。见 Astrom PP56－60 所以，对有时滞的系统，采用计算机控制，是一个有益的选择。
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rank[s] = n 。 ② A* 奇异： rank[s] = n 是能控的充分条件。若 A*n X (0) = 0 ，则不加 u 亦可
从 X0 → 0。
七、采样系统的能达性： 1、定义： 0 ⎯有⎯限⎯步→ X f 2、能达性判据：充分必要条件是 rank[s] = n 。 3、讨论： ① 线性定常系统中，能控能达性等价，充分必要条件均为 rank[s] = n 。 ② 线性定常离散系统中，能控能达性不等价。能达性高于能控性。仅当
T
eA(T − t)dtB
0
优点：
（1）精度高了一些；
（2）原连续状态方程稳定，则得到的离散状态方程亦稳定；
⎡λ1
⎤
P −1 AP
=
Ad
=
⎢ ⎢
%
⎥ ⎥
⎢⎣
λn ⎥⎦
zI − A* = zI − e AT = zI − Pe AdT P −1 = P zI − e AdT P −1 = zI − e AdT = 0
三． 离散状态方程的求解
1、递推法（时域法）：
若给定 X (0) ，则据状态方程有：
k = 0 ： X (1) = A* X (0) + B*u(0)
k = 1 ： X (2) = A* X (1) + B*u(1) = A*2 X (0) + A*B*u(0) + B*u(1)
……
n−1
∑ k = n − 1： X (n) = A* X (n − 1) + B*u(n − 1) = A*n X (0) + A*n− j−1B*u( j)
∴ zi = eλiT
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（3）对阶跃信号 u(t) ,离散化未引入误差，为精确解。
五、稳定性： 1、定义：Lyapunov 平衡状态稳定性定义，与运动稳定性定义等价。
定义类似， X (t) → X (k) 。 平衡状态 X e ：无扰动时，若 X (0) = X e ，且 X (k) = X e ，则 X e 为平衡状态。 线性采样系统平衡状态 X e = 0 。
则状态方程为，
⎧ ⎨ ⎩
X
[(k
+
1)T
]
= (TA y(kT )
+ =
I ) X (kT ) CX (kT )
+
TBu(kT
)
优点：简单；
缺点：精度差（从“仿真”可知，精度与欧拉法同，截断误差为ο(T 2 ) ），
不实用。不保持系统的稳定性。
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2． 部分离散化： 把控制量 u(t) 看作：
②
由①、②得：
A*k = Z −1[(zI − A* )−1 z]
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k −1
∑ A*k− j−1 ⋅ B*u( j) = Z −1[(zI − A* )−1 B*u(z)]
j=0
A*k 成为离散系统的状态转移矩阵，它表示系统从初始状态 X (0) 转移到 k 时 刻状态 X (k) 的特性。
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保持完全能控能观性？这个问题在计算机控制中是一个十分重要的问题。
在能控能观性的对应系统： 见吴下 P.233 1、若连续系统{A, B,C} 不完全能控（不完全能观）的，则离散化后的系统
{A* , B* ,C *}必定不完全能控（不完全能观）。
2、若{A, B,C} 完全能控（完全能观）的，则离散化后的系统{A* , B* ,C *}不一
成的线性非奇异变换矩阵。 λi 、 pi 的定义及求法与连续系统一样。则：
A*k
= (PAd* P −1 )"(PAd* P −1 ) = PAd*k P −1
=
P
⎢⎡λ1k ⎢
⎢⎣
例：
⎤
%
⎥ ⎥
P
−1
λkn ⎥⎦
试求其状态转移矩阵 A∗k 。 解：利用 z 变换法，因为Baidu Nhomakorabea
所以
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或者：
采样系统的状态空间描述
4、能构造性判据： rank[V ] = n 为充分条件。
5、讨论： ①连续系统中，能观性与能构造性等价。充分必要条件： rank[V ] = n 。
②采样系统中，能观性与能构造性不等价。能观性高于能构造性，rank[V ] = n
为能观性的充分必要条件，能构造性的充分条件。 ③能构造性：用已有输出构造当前状态。这种特性对实现状态反馈非常有用。 ④采样系统能控、能达、能观、能构间关系：
于是：
4、脉冲传递函数阵 G(z) ： Y (z) = C * (zI − A* )−1 B*u(s) = G(z) ⋅ u(z)
∴ G(z) = C * (zI − A* )−1 B*
四． 连续系统状态方程的离散化：
⎧ X = AX + BU
⎨ ⎩
Y = CX
1、用差分代替微分：
X (t) = X [(k + 1)T ] − X (kT ) T
T 0
e A(T
−ξ
) Buh
(kT
+
ξ
)dξ
由于零阶保持器的作用，有：ξ 在 0-T 间， uh (kT + ξ ) = u(kT )
∫ ∴ X [(k + 1)T ] = e AT X (kT ) + T e A(T −t)dtBu(kT ) = A* X (kT ) + B*u(kT ) 0
∫ 其中， A* = e AT ， B* =
A* 非奇异时，能控能达性才等价； A* 奇异时，能控未必能达，能达一定能控。
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采样系统的状态空间描述
八、采样系统的能观性和能构造性 1、能观性定义：由 y(k) 在 k=0 , … , n-1 有限点上的值计算初始状态 X (0) 。或，
由 y(k)在 k,k+1,…,k+n-1 有限点上的值计算初始状态 X (k) 。