宁波市2017学年第二学期九校联考高一数学试题
最新-学年浙江宁波市九校高一(下)学期期末数学试题(解析版)资料
2015-2016学年浙江宁波市九校高一（下）学期期末数学试题一、选择题1．已知a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b -<- C ．22a b > D ．ac bc ≥ 【答案】B【解析】试题分析：A 中，当1,2a b =-=-时，11a b<不成立；B 中，22a b a b a b >⇒-<-⇒-<-，故B 正确；C 中，当1,2a b ==-时，22a b >不成立；D 中，当0c <时，ac bc ≥不成立，故选B ． 【考点】不等式的性质．2．在等差数列{}n a 中，563,2a a ==-，则348a a a +++等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】试题分析：因为384751a a a a a a +=+=+=，所以348563()3a a a a a +++=+=，故选C ．【考点】等差数列的性质．3．直线:10l x ky k -+-=与圆22:3C x y +=的位置关系为（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项都有可能 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得(1)1k y x -=-，所以直线l 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在22:3C x y +=内，所以直线l 与圆C 相交，故选A ．【考点】直线与圆的位置关系．【方法点睛】直线与圆的位置关系考虑三法：（1）确定直线所过的定点，判断定点在圆内；（2）通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系而实现；（3）通过将直线方程与圆方程联立消元后，利用判别式判断，此法是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法． 4．已知ABC ∆的面积222()S a b c =-+，则cos A 等于（ ）A ．-4BC ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：因为1sin 2ABC S bc A ∆=，所以2221sin ()2bc A a b c =-+，即2221sin 2b c a bc A+-=-．由余弦定理，得2221cos sin 24b c a A A bc +-==-，所以2A π<<π，所以cos A =cos 17A =-，故选D ． 【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．5．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A．10 B ．1920 C ．910 D ．12【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，要使α最小，则点P 到加以的距离最大即可，由图象知，当点P 点(4,2)D --时，APB α∠=最小，此时||OD ==，||1OA =，则2APO α∠=，即||s i n2||AO OP α==，所以229cos 12sin1210αα=-=-=，故选C ．【考点】1、简单的线性规划问题；2、二倍角公式． 【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 6．若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos2α=（ ） A ．79-B． CD．【答案】D【解析】试题分析：因为(0,)απ∈，所以(,)444αππ5π+∈，又13sin()sin434ππα+=<，所以(,)44απ3π+∈π，所以cos()43πα+=-，所以sin[2()]sin(2)cos 22sin()cos()4244παααααπππ+=+==++＝9-，故选D ． 【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式；3、诱导公式．【技巧点睛】对于给角求角问题，常见有：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 ... 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ... 4027 4029 4031 8 12 16 ... 8056 8060 20 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯ C ．201520162⨯ D ．201420162⨯【答案】B【解析】试题分析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2015行的公差为20142，第2016行（最后一行）仅有一个数为20142014(12016)220172+⨯=⨯，故选B ．【考点】1、归纳与推理；2、等差数列的通项公式．8．已知关于x 的二次方程20ax bx c ++=(0,,)a b c R >∈在区间(0,2)内有两个实根，若1251044c a b c ≥⎧⎨++≥⎩，则实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．94D ．1625【答案】D【解析】试题分析：设()()()(,(0,2))f x a x p x q p q =--∈，因为1251044c a b c ≥⎧⎨++≥⎩，所以(0)1f ≥，(2.5)1f ≥，所以1apq ≥，(2.5)(2.5)1a p q --≥，所以21(2.5)(2.5)a p p q q ≥--．因为625(2.5)(2.5)256p p q q --≤，当且仅当 1.25p q ==时取等号，所以2256625a ≥，所以1625a ≥，所以实数a 的最小值为1625，故选D ． 【考点】 1、方程的根；2、基本不等式．二、填空题9．已知直线:210l x y +-=，则原点O 关于直线l 对称的点是 ；经过点(2,1)P 且纵横截距相等的直线方程是 .【答案】24(,)55；30x y +-=或20x y -=【解析】试题分析：设原点O 关于直线l 对称的点为(,)a b ，则210221()12a b b a ⎧+⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-=-⎪⎩，解得2545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以所求点的坐标为24(,)55；当直线过原点的，方程为12y x =，即20x y -=，当直线不过原点时，设直线的方程为x y k +=，把点(2,1)P 代入，得3k =，所以直线方程为30x y +-=，综上所述所求直线方程为30x y +-=或20x y -=． 【考点】1、直线方程；2、两直线间的位置关系．10．对正整数n 定义一种新运算“”，它满足：①1*11=；②(1)*12(*1)n n +=，则2*1=＝ ；*1n = . 【答案】12,2n -【解析】试题分析：因为1*1=，(1)*12(*1)n n +=，所以2*1(11)*12(1*1)2=+==；*1(11)*1n n =-+＝2112(1)*12(21)*12(2)*12(1*1)2n n n n n ---=-+=-===．【考点】新定义． 11．已知1cos 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos β= ；2αβ+= .【答案】7,9π【解析】试题分析：因为,(0,)2παβ∈，所以(0,)αβ+∈π，所以sin 3α=，sin()3αβ+=，所以cos β＝cos[()]cos()cos sin()sin αβααβααβα+-=+++＝117()33339⨯-+⨯=；cos(2)αβ+＝cos[()]cos()cos sin()sin αβααβααβα++=+-+＝11()13333⨯--=-，所以2αβ+＝π． 【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角差的余弦公式．12．设实数,x y 满足24y xy x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则4z y x =-的取值范围是 ；4||z y x =-的取值范围是 . 【答案】[6,24],[8,4]--【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由图知，当目标函数4z y x =-经过点(2,2)A 时取得最小值2426-⨯=-，经过点(4,8)B -时取得最大值84(4)24-⨯-=，所以4z y x =-的取值范围是[6,24]-；404||40y x x z y x y x x +<⎧=-=⎨-≥⎩，由图知，当0x <时，4z y x =+，在点(4,8)B -处取得最小值84(4)8+⨯-=-，在原点处取得最大值0，所以当0x <时，[8,0)z ∈-，当0x ≥，4z y x =-在点(2,2)A 处取得最小值2426-⨯=-，在点(0,4)C 处取得最大值4404-⨯=，所以0x ≥，[6,4]z ∈-，所以4||z y x =-的取值范围是[8,4]-．【考点】简单的线性规划问题．13．直线20(,0)mx ny m n -+=>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为 . 【答案】92【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，所以圆心为(1,1)-，半径为1，所以直线20(,0)mx ny m n -+=>经过圆心(1,1)-，所以20m n --+=，所以2m n +=，所以41m n+＝141514519()()()222222n m m n m n m n ++=++≥+⨯=，当且仅当4n m m n=，即42,33m n ==时等号成立，所以41m n +的最小值为92． 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当数列{}n a 的通项公式为*1,1n a n N n =∈+时，我们记实数λ为2n n S S -的最小值，那么数列1100n b n λ=-，*n N ∈取到最大值时的项数n 为 . 【答案】34【解析】试题分析：因为11n a n =+，设2()n n f n S S =-，则12211()23n n n f n a a a n n ++=+++=++++＋121n +，111112(1)()022*********f n f n n n n n n n +-=+-=+->++++++，所以()f n 单调递增，所以当1n =时，2n n S S -取得最小值1(1)3f =，即13λ=，所以111001003n b n n λ==--，当33n ≤时，0n b <，当34n ≥时，0n b >，所以数列1100n b n λ=-取到最大值时的项数n 为34． 【考点】1、递推数列；2、数列的单调性． 15．已知正实数,a b 满足21122a a b+=++，则a b +的取值范围是 .【答案】1,)2+∞ 【解析】试题分析：因为,a b 为正实数，1121[(2)(2)]1[(2)(2)]()12222a b a a b a a b a a b+=+++-=++++-++＝12(2)21122222a b a a a b ++++≥+=++，当且仅当2(2)222a b a a a b ++=++，即a =，12b =时等号成立，所以a b +的取值范围是1,)2+∞．【考点】基本不等式．【技巧点睛】使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．三、解答题16．设函数2()f x x ax b =++，已知不等式()0f x <的解集为{|13}x x <<. （1）若不等式()f x m ≥的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）若()f x mx ≥对任意的实数2x ≥都成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m ≤-；（2）12m ≤-． 【解析】试题分析：（1）首先根据不等式()0f x <的解集求得,a b 的值，然后求出函数()f x 的最小值，从而求m 的取值范围得；（2）首先将问题转化为34m x x≤-+，然后根据函数的单调性求得m 的取值范围． 试题解析：已知()0f x =，解为1,3，则1313a b +=-⎧⎨⋅=⎩ 43a b =-⎧⇒⎨=⎩（1）22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以min ()1m f x ≤=-，（2）24334x x m x x x -+≤=-+恒成立， 因为34y x x=-+在[2,)+∞单调递增， 最小值在2x =时取到，最小值为12-，故12m ≤-.【考点】1、不等式恒成立问题；2、函数的单调性．【方法点睛】在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答． 17．已知1tan()43πα+=.（1）求2sin 2cos 1sin 2ααα-+的值；（2）若α为直线l 的倾斜角，当直线l与曲线:1C x =求直线l 的纵截距b 的取值范围. 【答案】（1）－8；（2）52b ≤<． 【解析】试题分析：（1）首先根据条件求出tan α的值，然后利用倍角公式结合同角三角函数间的基本关系求解即可；（2）首先根据直线与圆有两个交点，利用点到直线的距离公式求得b 的范围，然后由直线与圆相切时求得b 的最小值，从而求得参数b 的取值范围．试题解析：（1）tan()tan144tan tan[()]4421tan()tan 44ππαππααππα+-=+-==-++， 故22222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 181sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan ααααααααααααα---===-+++++． （2）由题意可知直线1:2l y x b =-+，而曲线C 为圆22(1)(1)1x y -+-=的一部分（右半圆），当直线l 与圆22(1)(1)1x y -+-=有两个交点时，1|1|1b +-<，故可得3322b -+<<. 又曲线C 如图所示，当直线l 过点(1,2)时，min 52b =， 所以参数b的取值范围是52b ≤< 【考点】1、倍角公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、直线与圆的位置关系．18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c 满足cos 2cos B b aC c c+=. （1）求角C 的大小；（2）若边长c =2a b +的最大值.【答案】（1）3C π=；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知条件等式，由此求得cos C 的值，从而求得角C 的大小；（2）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到关于2a b +关于角的表达式，然后利用辅助角公式求出其最大值，也可首先利用余弦定理求得,a b 的关系式，然后利用基本不等式求出2a b +的最大值．试题解析：（1）因为cos 2cos B b aC c c+=，故cos sin sin cos 2sin cos B C B C A C +=. 也即sin 2sin cos A A C =，又sin 0A ≠，所以1cos 2C =，又(0,)C π∈，故3C π=.（2）2(sin 2sin )sin ca b A B C+=+2[sin()2sin ]B C B =++12[sin 2sin ]2B B B =++5sin B B =，令cosϕ=，sin ϕ=，则2)a b B ϕ+=+，当2B πϕ+=时，max (2)a b +==另解：由余弦定理可知：2222cos a b ab C =+-，即223a b ab =+-， 故2221173525(2)3(35)7(35)()(2)77228b b a a b b a b b b a a b +++-=+=⨯+≤⨯=+，所以(2)a b +≤，当735b b a =+时，即45a b =时，max (2)a b +== 【考点】1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、辅助角公式．19．已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 与直线512210x y ++=相切，与y 轴交于,M N 两点，且120MCN ∠=.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，若设点G 为OAB ∆的重心，当MNG ∆时，求直线l 的方程.备注：ABC ∆的重心G 的坐标为(,)33A B C A B Cx x x y y y ++++.【答案】（1）22(1)4x y -+=；（2）2y x =-+或123y x =-+．【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出圆C 的标准方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心坐标及半径，从而得到圆C 的标准方程；（2）首先利用三角形面积公式求出||G x ，然后设出点,A B 的坐标及直线l 的方程，并联立圆的方程，从而利用重心的性质及韦达定理结合判别式求出直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程． 试题解析：（1）由题意知圆心(,0)C a ，且0a >，由0120MCN ∠=知Rt MCO ∆中，60MCO ∠=，||OC a =，则||2CM a =， 于是可设圆C 的方程为222()4x a y a -+= 又点C 到直线512210x y ++=的距离为|521|213a d a +==， 所以1a =或2131a =-（舍）， 故圆C 的方程为22(1)4x y -+=.（2）MNG ∆的面积1|||||2G G S MN x x ===||1G x =． 若设1122(,),(,)A x y B x y ，则1203G x x x ++=，即123G x x x +=，当直线l 斜率不存在时，ABO ∆不存在，故可设直线l 为2y kx =+，代入圆C 的方程22(1)4x y -+=中，可得22(1)(42)10k x k x ++-+=，则22122(1)(42)104003241k x k x k k k x x k ⎧⎪++-+=⎪⎪∆>⇒<>⎨⎪-⎪+=⎪+⎩或， 所以22431k k -=+或22431k k -=-+，得1k =-或13k =-， 故满足条件的直线l 的方程为2y x =-+或123y x =-+.【考点】1、圆的方程；2、点到直线的距离；3、直线方程；4、直线与圆的位置关系．【易错点睛】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足11a =，2(1)n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21{}(2)n a +的前n 项和为n A ，求证：对任意正整数n ，都有12n A <成立； （3）数列{}n b 满足1()2n n n b a =，它的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，使得不等式11(2)22n n n n n T λ---<+-成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）*,n a n n N =∈；（2）见解析；（3）0λ<或14λ>． 【解析】试题分析：（1）首先根据条件中的递推关系结合n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）得到n A 的表达式，然后利用裂项法结合放缩法证明即可；（3）首先结合（1）得到n b 的表达式，然后利用错位相减法求出n T ，从而分n 为偶数、n 为奇数，利用换元法结合函数的单调性求得λ的取值范围．试题解析：（1）22n n n S a a =+，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得：22112n n n n n a a a a a --=-+-，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=．因为数列{}n a 为正项数列，故10n n a a -+≠，也即11n n a a --=，所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为*,n a n n N =∈.（2）1234n n A a a a a a =+++++22222111113456(2)n =+++++ 1111111111()()()()()2334455612n n <-+-+-+-++-++ 111222n =-<+所以，对任意正整数n ，都有12n A <成立.（3）易知2n nn b =，则 23111111123(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯① 231111111112(2)(1)222222n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯②①-②可得：2111111121222222n n n n n T n +++=+++-⨯=- 故222n n n T +=-，所以不等式112(2)222n n n λ---<--成立，若n 为偶数，则1122222n n n λ---<--，所以211112()122n n λ-->-⨯++设111(0,]22n t -=∈，则2221(1)y t t t =-++=-在1(0,]2单调递减，故当12t =时，min 14y =，所以14λ>；若n 为奇数，则1122222n n n λ--<--，所以211112()122n n λ--<⨯-- 设11(0,1]2n t -=∈，则2221(1)y t t t =--=--在(0,1]单调递增，故当1t =时，max 0y =，所以0λ<综上所述，λ的取值范围0λ<或14λ>. 【考点】1、等差数列的定义及通项公式；2、错位相减法数列的和；3、函数的单调性；4、放缩法；5、不等式恒成立问题．【技巧点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．。
浙江省宁波市九校 学年高一上学期期末考试数学试题
(ii) g 3 sin 2 3 即 sin 2 1
8
2
2
为锐角，0 或 5 …………………………………… 15 分
12 12
2
20.(本题满分 15 分)
解：(Ⅰ) ，T 2 2 , 3. ………………………………………………4 分
3
3
（II） f (x) 2sin(3x ) . f (x) 的减区间是[5 2k ,11 2k ], k z ,
恒成立.
x x x x
3 a 1 ………………………………………………………………11 分
4
4
（Ⅲ） 1 m2 m n2, (m 2)2 4n2 4, ，（m 2 2n)(m 2 2n) 4 4
(m 2 2n) (m 2 2n) 2m 4为偶数，
m 2 2n，m 2 2n同奇同偶，
6
36
18
2
所以 m 的最大值为 .…………………………………………………………………15 分 2
21.(本题满分 15 分)
解：(Ⅰ)
f
(x)
的图象过点 ( 3 2
,
3 4
+ log2
3)
,
得到
log 2
3
3 4
log 4
(23
1)
3 2
m
,
m
1 2
.
…………………………………………3
分
所以
f
1，若 a
1 2
时方程
f
(x)
b
有两个不同
的实根，则实数 b 的取值范围是 ▲ ；若 f (x) 的值域为 [3,) ，则实数 a 的取值范围是
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浙江省宁波市九校2017-2018学年高一下学期期末联考数
宁波市2017-2018学年度第二学期期末九校联考高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆的圆心坐标和半径分别是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的一般方程化为标准方程后可得结果．详解：由题意得圆的标准方程为，故圆的圆心为，半径为1．故选B．点睛：本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化及圆心、半径的求法，考查学生的转化能力，属于容易题．2. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将展开得到，然后两边平方可得所求．详解：∵，∴，两边平方，得，∴．故选A．3. 已知为等比数列的前项和，且，则( )A. 510B. 510C. 1022D. 1022【答案】B【解析】分析：根据等比数列的前项和公式求出，由可求得，然后再求．详解：∵，∴，，，∴．∵数列为等比数列，∴，即，又，∴，∴，∴510．故选B．点睛：本题考查等比数列的运算，解题时利用与的关系，即得到数列的项，再根据等比中项求出即可．另外本题也可利用以下结论求解：若等比数列的前项和为，则有，利用此结论可简化运算，提高解题的速度．4. 若实数满足不等式组，则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：令，画出不等式组表示的可行域，利用线性规划的知识求解可得所求．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．令，变形得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，得，故，∴.故选D．点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的直线l；②平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．5. 若且，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的性质及不等式的性质对四个选项逐一分析排除可得结论．详解：对于A，由得，所以．故A不正确．对于B，由得，所以．故B不正确．对于C，由得，所以．故C正确．对于D，由得．故D不正确．故选C．点睛：判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，进行推理判断．(2)利用函数的单调性：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．6. 直线与直线垂直，垂足为，则( )A. B. C. D.【答案】B..............................详解：∵直线与直线垂直，∴，∴，∴直线方程即为．将点的坐标代入上式可得，解得．将点的坐标代入方程得，解得．∴．故选B．点睛：本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题．7. 在中，若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：应用正弦定理及比例的性质求解即可得到结论．详解：在中，由正弦定理得，∴，∴．故选D．点睛：正弦定理：，其中R是三角形外接圆的半径，由正弦定理可以得到变形：①；②等，解题时要灵活运用这些变形．8. 设表示不超过的最大整数，如．已知数列满足：，则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】分析：由题意先求出数列的通项公式，再求出，最后结合的定义求解．详解：∵，∴，∴，又满足上式，∴．∴，∴，∴．故选A．点睛：本题考查累加法求数列的通项公式和利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力和理解运用新知识解决问题的能力，解题的关键是正确理解所给的运算的定义．9. 设，则的大小顺序为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意得均为正数，故可采取作商法来比较大小．详解：由题意得．∵，∴．又，∴．综上可得．故选B．点睛：作差法和作商法是两种常用的比较大小的方法，解题时要灵活选择相应的方法．作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负——得到结论．当所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商法，作商法的步骤为：作商——变形——判断商与1的关系——得到结论．10. 已知等差数列中，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的知识可得，故问题可转化为直线直线与圆有公共点处理，然后根据圆心到直线的距离小于等于半径可得所求．详解：已知等差数列中，，令，所以直线与圆有公共点，所以，解得．故选C．点睛：本题难度较大，考查学生的转化能力和运算能力．解答本题的关键是将问题转化为直线和圆的位置关系处理，解题中要用到较强的变化技巧．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题６分，单空题每题4分，共36分．11. 已知直线，直线，则过定点_____________ ；当________时，与平行．【答案】 (1). (2).【解析】分析：将直线的方程变形为，令可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得的值．详解：直线的方程变形为，令，解得，所以直线过定点．当与平行时，则有，解得，即时，与平行．点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成（为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．12. 若直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离是________________ ； _______________．【答案】 (1). (2).【解析】分析：根据半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形可求得弦心距，即为圆心到直线的距离；然后根据点到直线的距离公式可求得．详解：设圆心到直线的距离为，则．由点到直线的距离公式，得，∴，∴．点睛：计算直线被圆截得的弦长时常用几何法求解，即运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．这是研究圆问题的常用方法，利用性质求解可简化运算，提高解题的效率．13. 在中，若，则__________________；当时，则的面积等于______________．【答案】 (1). (2).【解析】分析：由可得三角形的三边比，再根据余弦定理可得，进而可求得，再根据可得，于是可求得三角形的面积．详解：∵，∴，设，由余弦定理得，∴．∵，，∴，∴的面积为．点睛：解题时注意正弦定理变形的灵活应用，另外三角形的面积常与正余弦定理结合在一起考查，解题时要根据题意合理选择三角形的面积公式，同时还要注意整体代换的应用．14. 已知数列成等差数列，且，则 _________；若函数，记则数列的前5项和__________．【答案】 (1). (2). 5【解析】分析：根据条件及等差数列下标和的性质可求得；化简所给函数得，于是可得，由此可得所求值．详解：∵数列等差数列，∴，∴，∴．∵，∴，同理，又，∴．点睛：下标和的性质是等差数列的重要性质，利用这一性质可简化等差数列的有关运算；另外，解答本题时要合理运用三角函数的诱导公式及数列的性质，运用整体代换的思路求解问题．15. 已知点在直线的两侧，则实数的取值范围是_________________ ．【答案】【解析】分析：将点的坐标代入中，根据所得两式异号得到不等式，解不等式可得所求．详解：∵点在直线的两侧，∴，整理得,解得或．∴实数的取值范围是．点睛：（1）解答本题时用到了结论：直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x,y)，它的坐标(x,y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同．（2）解高次不等式时，可借助数轴采用穿根的方法求解，能达到简化运算、容易得到不等式解集的目的．16. 已知实数满足：，，则的最大值为 __________ ．【答案】【解析】分析：根据线性规划先求出的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可得点A到原点的距离最大，由，解得，故，∴．由柯西不等式得，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17. 设△的三边所对的角分别为．已知，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：由条件及余弦定理得到，再根据正弦定理和三角变换得到和的关系，然后根据两角和的正切公式和基本不等式可得结果．详解：由已知及余弦定理，得∴，∴．由正弦定理及得，∴∴，∴且．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最大值为．点睛：本题考查解三角形及三角变换和用基本不等式求最值，解题时注意合理的将三角形中的边角进行互化，得到和的关系是解题的关键．利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可，当不满足应用的条件时，要进行合理变形使之满足使用不等式需要的条件．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值、最小值以及相应的的值；（Ⅱ）解关于的方程．【答案】（Ⅰ）时,. 当时,（II）解集为.【解析】分析：（Ⅰ）将函数化为，然后根据的范围得到的范围，再根据三角函数的图象得到最值即可．（Ⅱ）根据三角函数的相关知识求出的值，进而得到，即方程的解．详解：（Ⅰ）由题意得.∵∴．∴当，即时，函数有最小值，且；当，即时，函数有最大值，且．（II）由，得，∴或，，∴,又，∴．即方程的解为．点睛：解决三角函数的有关问题时，首先要将函数化为的形式，然后根据整体代换的思路，将作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，求解时注意条件中所给的自变量的取值范围的限制．19. 已知三边是连续的三个自然数．（Ⅰ）求最小边的取值范围；（Ⅱ）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（II）存在，且三边分别为．【解析】（Ⅰ）设出三角形的三边，根据三边关系可得所求．（Ⅱ）假设存在满足条件的三角形，且最大角为，最小角为，则．然后根据正弦定理和余弦定理分别得到的值，建立方程后可得结论．详解：（Ⅰ）设角所对的边分别是，且，由三角形的三边关系得，解得．所以最小边的取值范围是．（II）由题意得三个角中最大角为，最小角为，假设存在，使得其最大内角是最小内角的两倍，即．由正弦定理得，即，∴．又由余弦定理得，∴，解得．∴的三边分别为，即存在唯一满足．．三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍，且三角形的三边分别为.另解: 设，三个角中最大角为，最小角为．则,∴，由余弦定理得代入上式化简得,∴,解得．∴三角形的三边分别为，即存在唯一满足．．三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍．点睛：（1）本题考查解三角形的应用，解题时可根据题意并结合边角关系得到相应的关系式，从而达到求解的目的．（2）解决探索性问题时，可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．20. 已知圆，圆．（Ⅰ）试判断圆与圆的位置关系；（Ⅱ）在直线上是否存在不同于的一点，使得对于圆上任意一点都有为同一常数．【答案】（Ⅰ）相交；（II）．【解析】分析：（Ⅰ）根据几何法和代数法两种方法可判断两圆的位置关系．（Ⅱ）假设存在满足条件的点和，根据为常数得到关于的方程，将此方程与圆的方程比较可得所求结果．详解：（Ⅰ）由题意得圆的标准方程为，的标准方程为．∴两圆的圆心距为，又两圆的半径之差,两圆的半径之和，∴，∴两圆相交．解法二:由，解得，所以两圆有两个公共点，所以两圆相交．（Ⅱ）由题意得直线的方程为．假设直线上存在不同于的一点满足条件，设,，则由题意得，化简得，显然上式与圆的方程为同一方程，则解得或（不合题意，舍去）．所以所求的点的坐标为．点睛：（2）判断两圆的位置关系时，可根据圆心距与两圆半径间的关系判断，也可通过解方程组根据解得个数判断，解题时灵活选择方法求解．（2）解析几何中的探索性问题，解决时可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．21. 已知函数(Ⅰ) 当时，解关于的不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（II）．【解析】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．详解：（Ⅰ）由得,即①当，即时，解得；②当即时，解得或；③当，即时，由于，故解得．综上可得：当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为．（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．即对任意的恒成立，由于，∴对任意的恒成立．令，∵，当且仅当，即时等号成立．∴，∴实数的取值范围是．另解:不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设(1)当时,,解得(2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去(3)当时,(ⅰ),即,得(ⅱ),解得综上可得实数的取值范围是．点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．22. 已知数列满足，，．（Ⅰ）求证：是等比数列，并写出的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（II）见解析．【解析】分析：（Ⅰ）由条件可得，变形可得，进而可证得数列为等比数列，进而可得通项公式．（Ⅱ）将变形得，求和后可得；另一方面，，由此可证得，故得结论成立．详解：（I）由题意得，将两边同除以，得，即，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列．∴，∴，∴．（II）由（I）可得，∴∴成立．又，∴,，又，，∴．综上可得．点睛：（1）证明等比数列时不要忘了证明数列中无零项，可将此问题转化为证明首项不为零即可．（2）用放缩法证明数列中的不等式时，常用的放缩方法有两种，一是先放缩再求和，二是先求和再放缩，解题时要根据条件选择合适的求解方法．。
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗
2017-2018 学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（4 分）已知集合 A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若 A∩B＝{ }，则 A∪B＝（ ）
A．{ ，1，0}
B．{﹣1， }
C．{ ，1}
D．{﹣1， ，1}
2．（4 分）已知向量 ， 满足| |＝3，| |＝2 ，且 ⊥（ ），则 与 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）已知 A 是△ABC 的内角且 sinA+2cosA＝﹣1，则 tanA＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
4．（4 分）若当 x∈R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1，则函数 y＝loga| |的图
﹣ ）．若 A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是 f（x）的图象上任意两点，且当|f（x1） ﹣f（x2）|＝4 时，|x1﹣x2|的最小值为 ． （Ⅰ）求 ω 和 φ 的值； （Ⅱ）求函数 f（x）在 x∈[0，π]上的单调递减区间； （Ⅲ）当 x∈[ ，m]时，不等式 f2（x）﹣f（x）﹣2≤0 恒成立，求 m 的最大值．
则函数 g（x）＝|sin（πx）|﹣f（x）在区间[﹣1，3]上的所有零点的和为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．10
二、每题 4 分，共 36 分.
11．（4 分）函数 f（x）＝
的定义域是
．
12．（6 分）计算：
＝
；若 2a＝3b＝ ，a，b∈R，则 + ＝
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浙江省宁波市九校2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题
浙江省宁波市九校2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知实数集R ，集合A ＝{x|1＜x ＜3}，集合B ＝{x|y ＝21-x }，则A ∩（∁RB ）＝（ ）A 、{x|1＜x ≤2}B 、{x|1＜x ＜3}C 、{x|2≤x ＜3}D 、{x|1＜x ＜2}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的函数是（ ）A 、y ＝log 2（x ＋3）B 、y ＝2|x|＋1C 、y ＝−x 2−1D 、y ＝3||x -3．已知，，，为非零向量，且＋＝，−＝，则下列说法正确的个数为（ ）（1）若||＝||，则•＝0； （2）若•＝0，则||＝||；（3）若||＝||，则•＝0； （4）若•＝0，则||＝||A 、1B 、2C 、3D 、44．三个数0.993.3，log 3π，log 20.8的大小关系为（ ）A 、log 20.8＜0.993.3＜log 3πB 、log 20.8＜log 3π＜0.993.3C 、0.993.3＜log 20.81＜log 3πD 、log 3π＜0.993.3＜log 20.85．若角α∈（−π，−2π），则ααcos 1cos 1-+−ααcos 1cos 1+-＝（ ） A 、−2tanα B 、2tanα C 、−αtan 2 D 、αtan 26．若函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可以为（ ）A 、f （x ）＝x x 12+B 、f （x ）＝xx )2ln(2+ C 、f （x ）＝xx 33+ D 、f （x ）＝x x ln 7．函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ） A 、关于点（127π，0）对称 B 、关于点（−12π，0）对称 C 、关于直线x ＝−12π对称 D 、关于直线x ＝127π8．若a ，b ，c 均为单位向量，且a •b ＝0，（a −c ）•（b −c ）≤0，则|a ＋b −2c |的最大值为（ ）A 、1B 、2C 、2−1D 、2−2二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为_______；此时它的圆心角α＝__________．10．已知向量a ＝（4，5cos α），b ＝（3，−4tanα），若a ∥b ，则sin α＝__________；若⊥，则cos （23π−α）＋sin （π＋α）＝__________． 11．设函数f （x ）＝⎩⎨⎧≥<+-+-1,l o g 1,48)14(2x x x a x a x a，若a ＝21，则函数f （x ）的值域________；若函数f （x ）是R 上的减函数，求实数a 的取值范围为__________．12．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，若＝x AB ＋y （x ，y ∈R ），则2x ＋y ＝______；若AC ＝λAE ＋μAF （λ，μ∈R ），则3λ＋3μ＝________．13．已知函数f （x ）＝log a xb x +-2（0＜a ＜1）为奇函数，当x ∈（−2，2a ）时，函数f （x ）的值域是（−∞，1），则实数a ＋b ＝__________． 14．函数f （x ）＝3sin （πx ）−x -11，x ∈[−3，5]的所有零点之和为__________． 15．已知函数f （x ）＝cb x b x a +--2)()(（a ≠0，b ∈R ，c ＞0），g （x ）＝m[f （x ）]2−n （mn ＞0），给出下列四个命题：①当b ＝0时，函数f （x ）在（0，c ）上单调递增，在（c ，＋∞）上单调递减； ②函数f （x ）的图象关于x 轴上某点成中心对称；③存在实数p 和q ，使得p ≤f （x ）≤q 对于任意的实数x 恒成立；④关于x 的方程g （x ）＝0的解集可能为{−3，−1，0，1}．则正确命题的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知集合A ＝{x|m−1≤x ≤2m ＋3}，函数f （x ）＝lg （−x 2＋2x ＋8）的定义域为B ．（1）当m ＝2时，求A ∪B 、（∁RA ）∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．17．已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x 0，2），（x 0＋2π，−2）． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x ≤1211π时，方程f （x ）−m ＝0有两个不同的实数根α，β，试讨论α＋β的值．18．已知函数f （x ）＝2))(2(x t x x -+为偶函数． （1）求实数t 值；（2）记集合E ＝{y|y ＝f （x ），x ∈{1，2，3}}，λ＝lg 22＋lg2lg5＋lg5−1，判断λ与E 的关系；（3）当x ∈[a ，b]（a ＞0，b ＞0）时，若函数f （x ）的值域为[2−a 5，2−b5]，求实数a ，b 的值．19．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B 、P 在单位圆上，且B （−55，552），∠AOB ＝α． （1）求ααααsin 3cos 4sin 6cos 5-+的值； （2）设∠AOP ＝θ（6π≤θ≤32π），OQ ＝＋，四边形OAQP 的面积为S ，f （θ）＝（•−21）2＋2S 2−21，求f （θ）的最值及此时θ的值．20．已知函数f （x ）＝（x−2）|x ＋a|（a ∈R ）（1）当a ＝1时，求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当x ∈[−2，2]时，函数f （x ）的最大值为g （a ），求g （a ）的表达式．。
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学
试题
一、单选题
1．圆的圆心坐标和半径分别是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：将圆的一般方程化为标准方程后可得结果．
详解：由题意得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为1．
故选B．
点睛：本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化及圆心、半径的求法，考查学生的转
化能力，属于容易题．
2．已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：将展开得到，然后两边平方可得所求．
详解：∵，
∴，
两边平方，得，
∴．
故选A．
点睛：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，
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浙江省宁波市九校(余姚中学、镇海中学)2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
镇海中学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanαB．2tanαC．D．6．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题9．已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=．10．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=．11．设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y=；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=．13．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=．14．函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．19．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2016-2017学年浙江省宁波市九校（余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等）高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和函数的定义域求出集合B，由补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出A∩（∁R B）．【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（D）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件判断以，为邻边的四边形的形状，然后判断选项的正误．【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（C）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式化简后即可．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（A）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用特殊点考查函数的单调性，奇偶性判断可得答案．【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（B）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得（+）≥1，只需求|+﹣2|2最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=2．【考点】扇形面积公式．【分析】首先，设扇形的弧长，然后，建立关系式，求解S=lR=﹣R2+15R，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得15cosα﹣16tanα=0，15（1﹣sin2α）﹣16sinα=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα．由⊥，可得•=0，解得sinα．再利用诱导公式即可得出cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意利用函数的单调性的性质，对数函数、二次函数的单调性，可得，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y= 2；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=+1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=log a=f（x）=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为： +1．14．函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8．【考点】函数零点的判定定理．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2s inπt与y=的图象可知，在[﹣3，5]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定；②，f（x）=是函数奇函数h（x）=左右平移得到；③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，函数f（x）也存在最大、最小值；④，关于x的方程g（x）=0的解集⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}；【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A∪B的值，由补集定义可得∁R A={x|x＜1或x＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁R A）∩B，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A⊆B，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，②、当A≠∅时，有，分别求出m的取值范围，进而对其求并集可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象与y轴的交点为（0，1）求出φ的值，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间；（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x0=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出t的值；（2）由（1）求出f（x）的解析式，求出E的元素，求出λ的值，判断即可；（3）根据函数的单调性得到关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0， }，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值．【分析】（1）依题意，可求得tanα=﹣2，将中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2，利用﹣≤cosθ≤，即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2，∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，=sinθ，∴S=2S△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=2；当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min=1．20．已知函数f（x）=（x﹣1）|x+a|（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义．【解答】解：（1）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3]，[-1，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣1，即a≥﹣1时，若x∈[﹣2，1]，则f（x）≤0，若x∈（1，2]，则f（x）＞0，且为增函数，故g（a）=f（2）=2+a；②当﹣a≥2且≤2，即﹣3≤a≤﹣2时，g（a）=f（）=（）2，③当﹣a≥2且＞2，即a＜﹣3时，g（a）=f（2）=﹣2﹣a，④当1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1时，g（a）=max{f（），f（2）}=max{（）2，2+a}=综上可得：g（a）=2017年2月21日。
浙江省宁波市九校2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题+Word版含答案
浙江省宁波市九校2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题+Word版含答案2017学年宁波市九校联考高一数学试题第一学期选择题部分（共40分）2018.01一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{1,2a\}$，$B=\{a,b\}$，若 $A\capB=\{1\}$，则 $AB$ =（）。
A。
$\{\frac{1}{2},1,b\}$。
B。
$\{-1,1,b\}$。
C。
$\{1,b\}$。
D。
$\{-1,1\}$改写：已知集合 $A=\{1,2a\}$，$B=\{a,b\}$，且 $A\capB=\{1\}$，则 $AB$ 的元素为 $\{1,b\}$ 或 $\{-1,1\}$。
2.已知向量 $a=3$，$b=2\pi/3$，$c=5\pi/3$，且$b\perp(a+b)$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）。
A。
$\pi/3$。
B。
$2\pi/3$。
C。
$\pi$。
D。
$2\pi/3$改写：已知向量 $a=3$，$b=2\pi/3$，$c=5\pi/3$，且$b$ 与 $a+b$ 垂直，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $2\pi/3$。
3.已知 $A$ 是 $\triangle ABC$ 的内角且 $\sin A+2\cos A=-1$，则 $\tan A$ =（）。
A。
$-\frac{3}{4}$。
B。
$-\frac{4}{3}$。
C。
$-\frac{1}{3}$。
D。
$-\frac{4}{5}$改写：已知 $\triangle ABC$ 中 $A$ 角的正弦和余弦之和为 $-1$，则 $\tan A$ 等于 $-\frac{4}{3}$。
4.若当 $x\in R$ 时，函数 $f(x)=a$ 始终满足 $-1<f(x)\leq 1$，则函数 $y=\log_a\frac{1}{x}$ 的图象大致为（）。
2017-2018年浙江省宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷〔精品解析版〕
，则 ax+by 的最大值为
．
17．（4 分）设△ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C．已知 a2+4b2＝c2，则 tanB
的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（14 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最大值、最小值以及相应的 x 的值； （Ⅱ）解关于 x 的方程 f（x）＝ ．
19．（15 分）已知△ABC 三边是连续的三个自然数． （Ⅰ）求最小边的取值范围； （Ⅱ）是否存在这样的△ABC，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这 个三角形的三边；若不存在，请说明理由．
20．（15 分）已知圆 O1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆 O2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0． （Ⅰ）试判断圆 O1 与圆 O2 的位置关系； （Ⅱ）在直线 O1O2 上是否存在不同于 O1 的一点 A，使得对于圆 O2 上任意一点 P 都有
（Ⅰ）求证：
是等比数列，并写出{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前 n 项和为 Sn，求证：
．
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
浙江省宁波市2017学年高一统考试数学试题
浙江省宁波市2017学年高一统考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{}1,3,4,7A =，{}1,2,4,6,7B =，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{3,6} B ．{5}C ．{}2,3,5,6D ．{1,2,3,4,5,6,7}2．下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ） A ．0.5log y x =B ．sin y x =C ．2x y =D ．tan y x =3．若幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，则(9)f 的值为（ ） A ．1B ．3-C ．3±D ．34．若角α的终边经过点()1,1P --，则（ ） A ．1tan α= B ．sin 1α=-C ．cos α=D ．sin α=5．已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．1-2BC BA +B ． 12BC BA -C ． 1-2BC BA -D ． 12BC BA +6．下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线6x π=对称的是（ ）A ．1sin()212y x π=-B ．sin(2)6y x π=+ C ．1cos()26y x π=+D ．cos(2)6y x π=+7．函数cos xx y e=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x e f x g x =+，则()f x =（ ）A ．2x x e e --B ．2x x e e -+C ．2x x e e --D ．2x xe e ---9．对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是（ ） A ．a b b a ⨯=⨯ B ．()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯ C ．若0a b ⨯=，则//a bD ．()a b a b ⨯=-⨯10．已知[,]22ππα∈-，[,0]2πβ∈-，且211sin cos 2()()24παβαβ--=-，则sin()2αβ-=（ ）A ．12-B ．0C ．2D二、双空题11．已知2log 3a =，则2log 9=__________（用a 表示），2a =__________． 12．已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a ，则AB =__________，m =__________．13．已知函数()=2sin()f x x ωϕ+(0,0)2πωω><<一部分图象如图所示，则ω=__________，函数()f x 的图象可以由()2sin g x x ω=的图象向左平移至少__________个单位得到．14．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x =，且关于x 的方程2[()]4f x -()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根，则(1)f -=__________，a =__________．三、填空题15．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________． 16．已知向量a b ，的夹角为3π，(0,1)a =，||2b =，则|2|a b -=__________． 17．函数65,1()2,1xx x f x x -+<⎧=⎨≥⎩．若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的最大值为__________．四、解答题18．已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈.（Ⅰ）若0a =，求AB ；（Ⅱ）若3a ≥，且B C B ⋃=，求a 的取值范围.19．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)2x π∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.20．如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=.（Ⅰ）求AB AC ⋅的值；（Ⅱ）若点P 在线段AB 及BC 上运动，求()AB AC AP +⋅的最大值. 21．已知,(0,)2παβ∈，sin α=，sin 27β=.（Ⅰ）求cos()αβ+的值； （Ⅱ）是否存在,(0,)2x y π∈，使得下列两个式子：①2xy αβ+=+；②tan tan 22xy ⋅=？若存在，求出,x y 的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数2()log (1)=+f x x ，()g x x x a =-.（Ⅰ）若()g x 为奇函数，求a 的值并判断()g x 的单调性（单调性不需证明）； （Ⅱ）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在唯一的2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求正实数．．．a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】由交集的定义可得：{}1,4,7A B ⋂=， 进行补集运算可得：(){}2,3,5,6U C A B ⋂=. 本题选择C 选项. 2．C 【解析】注意考查所给函数的性质： A .0.5y log x =在定义域内单调递减； B .y sinx =在定义域内没有单调性； C .2x y =在定义域内单调递增； D .y tanx =在定义域内没有单调性； 本题选择C 选项. 3．D 【解析】由题意可得：142,2αα=∴=， 则幂函数的解析式为：()()1122,993f x x f =∴==. 本题选择D 选项. 4．A 【分析】本题考察通过角的终边来确定角的正玄、余玄、正切值． 【详解】由点P 的坐标计算可得： r ==，则：sin2α==-， cos 2α==-， sin tan 1cos ααα==.本题选择A 选项. 【点睛】可以通过构造直角三角形确定斜边直角边来计算． 5．A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，用基底{},BC BA 表示向量CD . 【详解】因为D 是△ABC 边AB 上的中点，所以1122CD CB BD CB BA BC BA =+=+=-+.故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢. 6．B 【解析】函数的最小正周期为π，则2,2ππωω=∴=，据此可得选项AC 错误；考查选项BD ：当6x π=时，sin 2sin 21666x πππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意； 当6x π=时，cos 2cos 20666x πππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足题意；本题选择B 选项. 7．D 【分析】根据函数为偶函数去掉A,B ，再根据函数值去掉C. 【详解】 令()cos xx f x e=，则()()f x f x -=，函数为偶函数，排除AB 选项；当x →+∞时，110x xe e=→，而[]cos 1,1x ∈-，则()cos 0x x f x e=→，排除选项C . 本题选择D 选项. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 8．A 【解析】 由题意可得：()()()()x f x g x f x g x e --+-=-+=，① ()()x f x g x e +=，②①-②可得()()2,2x xxxe ef x e e f x ----=-∴=. 本题选择A 选项. 9．B 【解析】 【详解】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：sin sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯，A 选项正确；若sin 0a b a b θ⨯=⨯⨯=，则sin 0θ=，结合[]0,θπ∈可得：0θ=或θπ=，均有a b ，C 项正确；()()sin sin a b a b a b a b θπθ⨯=⨯⨯=-⨯⨯-=-⨯，D 选项正确；本题选择B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 10．C 【解析】211sin cos224παβαβ-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2211cos cos 2222παβπαβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[][],,,0,,0,2,02222ππππαβαπβπ⎡⎤⎡⎤∈-∈-∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，构造函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，很明显函数()f x 在区间[],0π-上单调递增，则：2,224παπαββ-=-=，据此可得：sin sin 24απβ⎛⎫-==⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 11．2a 3 【解析】由题意可得：2222log 9log 32log 32a ===，2log 3232a ==.12． 2 【解析】由题意可得：()()()31,312,4AB =---=,则22AB ==21,,24AB a m m∴==.13．2 6π【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为236T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合最小正周期公式有：222T ππωπ===； 令6x π=-有：()22,263x k k k Z ππωϕϕπϕπ⎛⎫+=⨯-+=∴=+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得：3πϕ=，函数的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭绘制函数()2sin 2sin 2g x x x ω==的图象如图所示，观察可得函数()f x 的图像可以由()2g x sin x ω=的图像向左平移至少6π个单位得到.14．2 3 【解析】由偶函数的性质可得：()()11122f f -===，关于x 的方程()24f x ⎡⎤-⎣⎦ ()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根， 方程的根为奇数个，结合()f x 为偶函数可知0x =为方程的一个实数根，而()0021f ==，则：21410,3a a -⨯+=∴=.15．1 【解析】设扇形的弧长和半径长为l ，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是1llα==. 16．2 【解析】由题意可得：1a =，则：cos 12cos 13a b a b πθ⋅=⨯⨯=⨯⨯=，则：()222222444142a b a ba ab b -=-=-⋅+=⨯-=.17．2524【解析】绘制函数()f x 的图象如图所示，观察可得：[)121,,1,2x x ⎛⎤∈-∞∈+∞ ⎥⎝⎦， 且：()()()12111165x f x x f x x x ==-+，原问题等价于考查二次函数：()65y x x =-+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上的最大值，函数的对称轴51,122x ⎛⎤=∈-∞ ⎥⎝⎦， 则函数的最大值为：max 55552565121212224y ⎛⎫=⨯-⨯+=⨯= ⎪⎝⎭. 综上可得：()12x f x ⋅的最大值为2524.点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．18．(Ⅰ){|30}x x -≤≤；(Ⅱ)34a ≤≤. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)当0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤.则{|30}A B x x ⋂=-≤≤. (Ⅱ)由题意可知C B ⊆，其中{|534}B y y a =-≤≤+，而3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤.求解不等式234a a ≤+结合题意可得34a ≤≤. 试题解析：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤. ∴{|30}A B x x ⋂=-≤≤.（Ⅱ）∵B C B ⋃=，∴C B ⊆，{|534}B y y a =-≤≤+.3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤.∴234a a ≤+，14a -≤≤. ∴34a ≤≤.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 19．(Ⅰ)π；(Ⅱ)max ()2f x =.此时6x π=.【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意整理三角函数的解析式可得()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合最小正周期公式可得函数()f x 的最小正周期T π=. (Ⅱ)由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质结合(Ⅰ)中函数的解析式可得当262x ππ+=即6x π=时函数取得最大值2.试题解析：（Ⅰ）()22f x x cos x =+ 226sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴()2max f x =. 此时262x ππ+=，∴6x π=.20．(Ⅰ)6；(Ⅱ)18. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算法则可得6AB AC ⋅=.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中建立的平面直角坐标系可知(AB AC +=，则()53AB AC AP x y +⋅=+，由线性规划的结论可知()AB AC AP +⋅的最大值为18.试题解析：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∴()2,0B ，(C ，()2,0AB =，(3,AC =.∴6AB AC ⋅=.（Ⅱ）(5,AB AC +=，设(),P x y ，∴()53AB AC AP x y +⋅=+.所以当点P 在点C 处时，()AB AC AP +⋅的值最大，最大值为18.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．21．(1)12；(2)存在6x π=，4y π=满足①②两式成立的条件.【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得cos α=，cos β=的余弦公式可得()12cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-=(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知23x y παβ+=+=，则2212xtan tanyx tan y x tan tany +⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅满足题意时32x tan tany +=则2x tan ，tany是方程(2320t t -+-=的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在6x π=，4y π=满足①②两式成立的条件.试题解析： （Ⅰ）∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，sin β=，∴cos α=，cos β=∴()12cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-= （Ⅱ）∵()0,αβπ+∈，∴3παβ+=，∴23x y παβ+=+=.∴2212xtan tanyx tan y x tan tany +⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅∵22x tan tany ⋅=∴32xtan tany +=∴2x tan ，tany是方程(2320t t -+=的两个根.∵,0,2x y π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴012x tan<<，∴22xtan =-1tany =. ∴4y π=，6x π=.即存在6x π=，4y π=满足①②两式成立的条件.22．(Ⅰ)0a =.()g x 在R 上单调递增.(Ⅱ)3522a ≤<. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)函数为奇函数，则()()()0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立.据此可得0a =.此时()g x x x =，在R 上单调递增.(Ⅱ)由题意可知()[)11,f x ∈+∞，而()22,,x ax x ag x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩.据此分类讨论：①当2a ≤时有322a ≤≤； ②当24a <<时有522a <<；③当4a ≥时不成立. 则正实数a 的取值范围是3522a ≤<. 试题解析：（Ⅰ）∵()g x 为奇函数，∴()()()0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立. ∴0a =.此时()g x x x =，在R 上单调递增.（Ⅱ）[)11,x ∈+∞，()()21f x log x =+，∴()[)11,f x ∈+∞()22,,x ax x ag x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩.①当2a ≤时，()2g x 在[)2,+∞上单调递增，∴()2421g a =-≤，32a ≥，∴322a ≤≤ ②当24a <<时，()2g x 在[]2,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增. ∴()2421g a =-+<，52a <，∴522a << ③当4a ≥时，()2g x 在2,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[),a +∞上单调递增.∴221222a a ag⎛⎫⎛⎫=-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22a-<<，不成立.综上可知，35 22a≤<.。
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C. 1 1 a 1 b 1
D.a b 0
6.直线ax 4 y 2 0与直线2x 5y b 0垂直，垂足为(1, c),则a b c
A. - 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.在ABC中，若A 60，a 3,则
abc
sin A sin B sin C
n
,
求证：6 5
1
2 3
n
Sn
21 . 13
命题：象山中学 李左杰 审题：余姚中学 俞萍
高一数学试题 第 4页 共 4 页
绝密★考试结束前
宁波市 2017 学年第二学期九校联考高一数学试题
选择题部分 (共 40 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1.圆C：x 2 y 2 2x 0的圆心坐标和半径分别为
A.(1,0),2
B.(1,0),1
19.(本题满分15分)已知ABC三边是连续的三个自然 数. (1)求最小边的取值范围； (2)是否存在这样的 ABC，使得其最大内角是最 小内角的两倍？若存在 ，试求出这个三角形 的三边；若不存在，请 说明理由.
20.(本题满分15分)已知圆O1 : x 2 y 2 2x 8 y 8 0,圆O2 : x 2 y 2 4x 4 y 2 0.
x 3y 3 0 4.若实数x, y满足不等式组2x y 3 0,则x 2 y的最大值为
x y 1 0
A.2
B.3
C.16
D.14
7
5.若a,b R, 且a b 0,则下列不等式成立的是
A.2ab 1
B.a 13 b 13
(1)试判断圆O1与圆O2的位置关系；
(2)在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A，使得对于圆O2上任意一点P都有
PO1 PA
为同
一常数.
高一数学试题 第 3页 共 4 页
21.(本题满分15分)已知函数f (x) (m 1)x 2 mx m 1(m R).
(1)当m 2时，解关于x的不等式f (x) m;
三、解答题：本大题有 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)已知函数f
(x)
(sin
x
cos
x)2
2 cos 2
x,
x
0,
2
(1)求函数f (x)的最大值、最大值以及相应的x的值；
(2)解关于x的方程f (x) 2 . 2
41 . 2
41
2
C.
85 , 2
85
2
D. 85, 85
非选择题部分 (共 110 分)
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11.已知直线l1 : ax 2 y 1 0,直线l2 : 3x y 2 0,则l1过定点
；
当a
时，l1与l 2 平行.
12.若直线l : x 3y m 0被圆O : x 2 y 2 4截得的弦长为2，则圆心O到直线l的距离是：
；m
.
13.在ABC中，若 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4,,则cos C
的面积等于
.
;当BC 1时，则ABC
(2)若不等式f (x) 0的解集为D，且1，1 D，求m的取值范围.
22.(本题满分15分)已知数列an 满足a1
2 5
, an an1
2an
3an1
0, n
N .
(1)求证：
1
an
1是等比数列，并写出an 的通项公式；
(2)设an
的前n项和为S
log 8
5, b
log 4
3, c
2 3
,则a,b, c的大小顺序为
A.a b c
B.b a c C.c b a
D.b c a
10.已知等差数列an 中，a12 a52 10,则a3 a4的取值范围是
A. 10, 10
B.
14.已知数列an 成等差数列，且a1
a2
a3
a4
a5
5 2
, 则a3
;
若函数f (x) sin 2x 2 cos2
x 2
,
记y
n
f (an ),则数列yn 的前5项和
y1 y2 y3 y4 y5
.
15.已知点A(2a,1), B(2,3 a)在直线x 2ay 1 0的两侧，则实数a的取值范围是
A. 1
B. 3
C. 3
D.2
2
2
8.设x表示不超过x的最大整数，如 3.14 4,3.14 3.已知数列an 满足：
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a1 1, an1ann
1,
则
1 a1
1 a2
1 an
A.1
B.2
C.3
D4
9.设a
C.(1,0),2
D.(1,0),1
2.已知sin( ) 3 ,则sin 2 43
A. 1
B. 2
3
3
C. 2 3 3
D. 2 3 3
3.已知Sn为等比数列an 的前n项和，且Sn 2 A 2n1,则S8
A.510
B. 510
C.1022
D. 1022
.
x2
16.已知实数a,b, x, y满足：a 2
b2
1,
x
y
2
, 则ax
by的最大值为
.
x 2 y 4
17.设ABC的三边a,b, c所对的角分别为A, B,C.已知a 2 4b2 c 2 ,则 tan B的最大值为： .
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