声波的辐射(1)
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声波的辐射(一) The radiation of sound waves(1)
主 讲 刘世清
Keynotespeaker Dr. Shiqing Liu
浙江师范大学数理学院
College of Maths & Physics of Zhejiang Normal University
教学内容
类似光学中的Huygens-Fresnel积分。上式也反映了声压 随距离反比衰减的规律，即球面波。
注：点声源声压表达式可用于离散点声源（点源组）辐射声
压计算；上式适用于连续分布声源。
Homework
内容小结 作业布置
参考书目
[1] 杜功焕，朱哲民，龚秀芬. 等声学基础, 南京大学出版社,2003. [2] 何祚镛，赵玉芳. 声学理论基础,国防工业出版社. 1981. [3] D. E. Hall, Basic Acoustics. Harper & Row Publishers. Inc., 1987.
2 2
球面简谐波波动方程可写为 通解
2 (rp) 2 k 2 (rp) 0 2 r
A B p exp[ j (t kr )] exp[ j (t kr )] r r
对于无界空间，无反射波，有B=0，则 上式成为
A p exp[ j (t kr )] r
fs fr ZA RA jX A ua ua
RA——辐射阻；XA——辐射抗
ZA
RA
XA
说明：1）辐射阻吸收有功功率，实际中表现为声源的部分机械能转 换为向介质辐射的声能；2）辐射抗和机械系统中的无功阻抗相似， 它并不消耗系统能量，而是起到储能作用，表现为声场和力源之间的 能量交换。3）对于工作在介质中的单自由度辐射器，>0，若>0，则 辐射抗表现为惯性作用，可表示为，称为共振质量（辐射质量，同振 质量），即
s0 s0
若辐射面上法向振速等幅同 相（一般不同），称为“活 塞”声源，则上式为 一般声场中的波阻抗是空间 函数，且是复数，即
f r ua Z a ds
s0
Z a ra jxa
则上式写为 f r ua ( ra jxa )ds ua ( RA jX A ) ua Z A
k 2a 2 ka f r 0 c0 S 0 j 0 c0 S 0 u ZA u 2 2 2 2 1 k a 1 k a
则 辐射阻抗
k 2a2 ka Z A RA jX A 0c0 S0 j 0c0 S0 1 k 2a2 1 k 2a2
r
dp A
A r
2
dr
当
r
dp A 0
p
如在r=1m处，距离改变1m，声压 幅值相对变化100%，声压级改变 6dB；而在r=10m处，距离改变1m， 声压幅值相对改变10%，声压级变 化0.8dB
r
[例题] 已知脉动球源的半径为0.01m，向空气中辐射 频率为1000Hz声波，设脉动球源表面振速幅值为5cm/s， 求距球心50m处的声压及声压级是多少？该处质点位移幅 值和速度幅值分别是多少？辐射声功率为多少？
f s pa ds
s0
pa——辐射面处介质声压分布函数，一般非均匀，相位也不同
辐射面声压分布可表示为 ua辐射面处质点法向振速 . 声场对辐射器的作用力为（法向指向介质）
pa ua za
Za 辐射面处介质波阻抗,
f r f s pa ds ua Z a ds
脉动球源的辐射
辐射阻抗
点声源
教学目的
深刻理解辐射阻抗的概念，建立 起脉动球源（单极子）声辐射的物 理图像，明确声辐射与球源大小的 关系及其辐射声场的特点。
一、单极子声源的辐射
实际中，声源的形状各样，如人的 嘴，扬声器等。要求得形状不规则的 声源辐射声场的严格数学解很困难， 因此理论上往往将模型理想化，如近 似看作平面、球面等规则声源，数学 上处理较简单，且结果不失共性。单 极子声源，也称简单声源、脉动球， 是最简单声源。
解
A
0 c0 ka 2u A
1 ( ka )
2
0.0398156；
1 1 A pe pA 2 2 r
声压级：
pe Lp 20 log pref
（pref 20 Pa=2 105 Pa）
50m处有效声压 ：Pe=0.000563077Pa， Lp=66.7537dB 速度幅值 ：
u ( x, y, z ) u A ( x, y, z ) exp[ j (t )]
点源强度为
dQ u A ( x, y, z )dS 产生声压为
jk 0c0dQ dp exp[ j (t kr )] 4 r ( x, y, z )
通常是空间函数。 整个面声源S在该点的声压为
二、辐射阻抗
辐射阻抗是一个很重要的概念。当
振源振动向介质辐射声波时，振动面要 推动附近介质形变并把一部分机械能传 给介质，形成声场中的声能并由近及远 传播。显然，声源辐射声波时也要受到 介质对声源的反作用力。怎样描述这一 作用和反作用呢？
1.声场对辐射器面的作用
考虑为一般情况，设辐 射器振动面对介质作用 力为，可表示为
物理上的“点”通常具有相对性，如力 学的“质点”、电学中的“点电荷”等。
1．辐射声压
由脉动声源声压及 A 表达式， 当 并且
/2
ka 1 或 a / 2π
则声压表达式可写为
jk 0c0Q p exp[ j (t kr )] 4 r
其中 ， Q 4 a u A 称为脉动球源的体积速度幅值（总流速），或 称点源强度。是球源表面质点振速幅值。若是半空间辐射（如嵌入 无限大障板中的球源），则声压减半
其中
1 ( kr ) 2 vA r 0 c0 kr A
1 arctan kr
/
讨论： 当
ka 1 A Low 0c0 ka 2u A
当
ka 1
A High 0 c0 au A
且
A Low A High
说明 1）当球源几何尺寸较小或低频辐射时，声压较 小；2）当球源几何尺寸较大或高频辐射时，声压较 大。对一定频率，半径越大，辐射声压越大；半径越 小，辐射声压越小。如单根弦振动，声音微弱；加助 声膜时，声音较强，就是此道理。
vA
A r
1 ( kr ) 2 1.86494 10 6 m / s 0 c0 kr
位移幅值 ：
a va / 2.96815 1010 m
三、 点声源
Model：
数学上：一个没有大小的几何点； 物理上：线度远小于其辐射声波波长， 即满足 ka 1 的脉动球源。
p
S
jk 0 c0u A ( x, y, z ) exp[ j (t kr )]dS 4 r ( x, y, z )
上式原则上可以求解任意形状面声源的辐射声场问题。对 于远场辐射，面元各点到观察点的距离相差不大，则上式 可成为
jk 0c0 p 4 r
u
S
A
( x, y, z ) exp[ j (t kr )]dS
同振质量
ms
XA
物理含义：声场反作用于辐射器（声源）而附加于声源振动系统 的等效质量。换言之，表示声源辐射声波时推动周围介质需要克服 介质的某种惯性作用
3.脉动声源的辐射阻抗
脉动球振动时，处于自辐射声场中，其受到声场的反作用力为
f r S0 p r a
S0=4a2 为辐射表面积。将前面声压及振速表达式代入上式得到
2
脉动球源在低频辐射时可看作点声源。推广：任意形状的脉动声源 在低频辐射时都可当作点声源。任何复杂声源可以看作许多点声源 （小辐射面元，Huygens原理）的组合，声场中某点的声压即为这些 点源在此点产生声压的线性叠加。因此点声源是声源的基础。
2．瑞利积分公式
任意形状面声源，表面振幅、相位不一，视为许多面元dS，每一 dS看作点声源，设在（x,y,z）处点源振动是
1
0.8
0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10
ka
4．同振质量
ka 3 4 3 X A 4 a 0c0 a 2 2 1 k a 3 1 k 2a2
2
1 ms 3M 0 2 2 1 k a
讨论
当
XA
M0 为球源排开同体积介 质的质量
s0
其中 Z A RA jX A 为复数 说明声场对辐射器的作用力与辐射面的振速相位不同
可见，振源在介质中工作并辐射声波时，除受策动力之外，还 受到了声场（或介质）对它的反作用力fr，此外力可等效为一个 附加的机械阻抗，相当于声源的辐射负载。
2.辐射阻抗
定义：声源向介质辐射声波时，由于声场反作用所表现 出的附加于辐射系统的等效机械阻抗，称为辐射阻抗， 在量值上等于力与质点振速的比值，即
ka 1 或 a / 2π 低频辐射 ms 3M 0
辐射阻较小，辐射效率低。
当
ka 1 或 a / 2π 高频辐射 ms 0
辐射阻较大，辐射效率高。
5．辐射声功率
平均辐射声功率
2 Wr RAu Ae 2 uA (ka) 2 0c0 S0 2 1 (ka) 2
上式为向外辐射的均匀球面波表达式（扩散，声压振幅随距离反 比衰减），A是积分常数，一般是复数，A/r的模为声压振幅。不 计阻尼，质点的径向振速为
p A 1 v (1 ) exp[ j (t kr )] j0 r 0c0 r jkr 1
2. 声辐射与球源大小关系
令球源表面振速为。u u A exp[ j (t ka)] 球源表面处边界条 件： v u 。由（10）式结合边界条件得 r a
uae、 ua 分别为声源表面振速有效值及峰值
特点：低频辐射，Wr
高频辐射，Wr
1 2 0c0 S0 (ka)2 u A 2
与频率平方正比。
1 2 0c0 S0u A 2
高频极限值
6．声场辐射特点
1．声压随距离反比衰减，声场为均匀 球面波。 A 2．当r足够大时，球面波近乎平面波 p A
A
；
0 c0 ka
0 c0 ka 2u A
1 (kaห้องสมุดไป่ตู้)
2
2 2
1 (ka)
u A (ka j ) A exp( j )
;
其中
A
1 arctan ka
将A的表达式代入式声压及振速表达式，得脉动球 源辐射声压和辐射声场质点振速表达式 A / p exp[ j (t kr )] ; v v A exp[ j (t kr )] r
1. 球面声场
如图1所示，球面半径a，表 面沿径向作均匀微小简谐振 动，振幅为dr。由于球面振 动具有各向均匀的脉动性质， 因而向介质辐射的是均匀球 面波 声场具有球对称性， 取球坐标，且声压p将只是 r的函数与θ、φ无关，拉普 拉斯算符成为
a
r
图1 脉动球辐射模型
2 2 r r r
主 讲 刘世清
Keynotespeaker Dr. Shiqing Liu
浙江师范大学数理学院
College of Maths & Physics of Zhejiang Normal University
教学内容
类似光学中的Huygens-Fresnel积分。上式也反映了声压 随距离反比衰减的规律，即球面波。
注：点声源声压表达式可用于离散点声源（点源组）辐射声
压计算；上式适用于连续分布声源。
Homework
内容小结 作业布置
参考书目
[1] 杜功焕，朱哲民，龚秀芬. 等声学基础, 南京大学出版社,2003. [2] 何祚镛，赵玉芳. 声学理论基础,国防工业出版社. 1981. [3] D. E. Hall, Basic Acoustics. Harper & Row Publishers. Inc., 1987.
2 2
球面简谐波波动方程可写为 通解
2 (rp) 2 k 2 (rp) 0 2 r
A B p exp[ j (t kr )] exp[ j (t kr )] r r
对于无界空间，无反射波，有B=0，则 上式成为
A p exp[ j (t kr )] r
fs fr ZA RA jX A ua ua
RA——辐射阻；XA——辐射抗
ZA
RA
XA
说明：1）辐射阻吸收有功功率，实际中表现为声源的部分机械能转 换为向介质辐射的声能；2）辐射抗和机械系统中的无功阻抗相似， 它并不消耗系统能量，而是起到储能作用，表现为声场和力源之间的 能量交换。3）对于工作在介质中的单自由度辐射器，>0，若>0，则 辐射抗表现为惯性作用，可表示为，称为共振质量（辐射质量，同振 质量），即
s0 s0
若辐射面上法向振速等幅同 相（一般不同），称为“活 塞”声源，则上式为 一般声场中的波阻抗是空间 函数，且是复数，即
f r ua Z a ds
s0
Z a ra jxa
则上式写为 f r ua ( ra jxa )ds ua ( RA jX A ) ua Z A
k 2a 2 ka f r 0 c0 S 0 j 0 c0 S 0 u ZA u 2 2 2 2 1 k a 1 k a
则 辐射阻抗
k 2a2 ka Z A RA jX A 0c0 S0 j 0c0 S0 1 k 2a2 1 k 2a2
r
dp A
A r
2
dr
当
r
dp A 0
p
如在r=1m处，距离改变1m，声压 幅值相对变化100%，声压级改变 6dB；而在r=10m处，距离改变1m， 声压幅值相对改变10%，声压级变 化0.8dB
r
[例题] 已知脉动球源的半径为0.01m，向空气中辐射 频率为1000Hz声波，设脉动球源表面振速幅值为5cm/s， 求距球心50m处的声压及声压级是多少？该处质点位移幅 值和速度幅值分别是多少？辐射声功率为多少？
f s pa ds
s0
pa——辐射面处介质声压分布函数，一般非均匀，相位也不同
辐射面声压分布可表示为 ua辐射面处质点法向振速 . 声场对辐射器的作用力为（法向指向介质）
pa ua za
Za 辐射面处介质波阻抗,
f r f s pa ds ua Z a ds
脉动球源的辐射
辐射阻抗
点声源
教学目的
深刻理解辐射阻抗的概念，建立 起脉动球源（单极子）声辐射的物 理图像，明确声辐射与球源大小的 关系及其辐射声场的特点。
一、单极子声源的辐射
实际中，声源的形状各样，如人的 嘴，扬声器等。要求得形状不规则的 声源辐射声场的严格数学解很困难， 因此理论上往往将模型理想化，如近 似看作平面、球面等规则声源，数学 上处理较简单，且结果不失共性。单 极子声源，也称简单声源、脉动球， 是最简单声源。
解
A
0 c0 ka 2u A
1 ( ka )
2
0.0398156；
1 1 A pe pA 2 2 r
声压级：
pe Lp 20 log pref
（pref 20 Pa=2 105 Pa）
50m处有效声压 ：Pe=0.000563077Pa， Lp=66.7537dB 速度幅值 ：
u ( x, y, z ) u A ( x, y, z ) exp[ j (t )]
点源强度为
dQ u A ( x, y, z )dS 产生声压为
jk 0c0dQ dp exp[ j (t kr )] 4 r ( x, y, z )
通常是空间函数。 整个面声源S在该点的声压为
二、辐射阻抗
辐射阻抗是一个很重要的概念。当
振源振动向介质辐射声波时，振动面要 推动附近介质形变并把一部分机械能传 给介质，形成声场中的声能并由近及远 传播。显然，声源辐射声波时也要受到 介质对声源的反作用力。怎样描述这一 作用和反作用呢？
1.声场对辐射器面的作用
考虑为一般情况，设辐 射器振动面对介质作用 力为，可表示为
物理上的“点”通常具有相对性，如力 学的“质点”、电学中的“点电荷”等。
1．辐射声压
由脉动声源声压及 A 表达式， 当 并且
/2
ka 1 或 a / 2π
则声压表达式可写为
jk 0c0Q p exp[ j (t kr )] 4 r
其中 ， Q 4 a u A 称为脉动球源的体积速度幅值（总流速），或 称点源强度。是球源表面质点振速幅值。若是半空间辐射（如嵌入 无限大障板中的球源），则声压减半
其中
1 ( kr ) 2 vA r 0 c0 kr A
1 arctan kr
/
讨论： 当
ka 1 A Low 0c0 ka 2u A
当
ka 1
A High 0 c0 au A
且
A Low A High
说明 1）当球源几何尺寸较小或低频辐射时，声压较 小；2）当球源几何尺寸较大或高频辐射时，声压较 大。对一定频率，半径越大，辐射声压越大；半径越 小，辐射声压越小。如单根弦振动，声音微弱；加助 声膜时，声音较强，就是此道理。
vA
A r
1 ( kr ) 2 1.86494 10 6 m / s 0 c0 kr
位移幅值 ：
a va / 2.96815 1010 m
三、 点声源
Model：
数学上：一个没有大小的几何点； 物理上：线度远小于其辐射声波波长， 即满足 ka 1 的脉动球源。
p
S
jk 0 c0u A ( x, y, z ) exp[ j (t kr )]dS 4 r ( x, y, z )
上式原则上可以求解任意形状面声源的辐射声场问题。对 于远场辐射，面元各点到观察点的距离相差不大，则上式 可成为
jk 0c0 p 4 r
u
S
A
( x, y, z ) exp[ j (t kr )]dS
同振质量
ms
XA
物理含义：声场反作用于辐射器（声源）而附加于声源振动系统 的等效质量。换言之，表示声源辐射声波时推动周围介质需要克服 介质的某种惯性作用
3.脉动声源的辐射阻抗
脉动球振动时，处于自辐射声场中，其受到声场的反作用力为
f r S0 p r a
S0=4a2 为辐射表面积。将前面声压及振速表达式代入上式得到
2
脉动球源在低频辐射时可看作点声源。推广：任意形状的脉动声源 在低频辐射时都可当作点声源。任何复杂声源可以看作许多点声源 （小辐射面元，Huygens原理）的组合，声场中某点的声压即为这些 点源在此点产生声压的线性叠加。因此点声源是声源的基础。
2．瑞利积分公式
任意形状面声源，表面振幅、相位不一，视为许多面元dS，每一 dS看作点声源，设在（x,y,z）处点源振动是
1
0.8
0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10
ka
4．同振质量
ka 3 4 3 X A 4 a 0c0 a 2 2 1 k a 3 1 k 2a2
2
1 ms 3M 0 2 2 1 k a
讨论
当
XA
M0 为球源排开同体积介 质的质量
s0
其中 Z A RA jX A 为复数 说明声场对辐射器的作用力与辐射面的振速相位不同
可见，振源在介质中工作并辐射声波时，除受策动力之外，还 受到了声场（或介质）对它的反作用力fr，此外力可等效为一个 附加的机械阻抗，相当于声源的辐射负载。
2.辐射阻抗
定义：声源向介质辐射声波时，由于声场反作用所表现 出的附加于辐射系统的等效机械阻抗，称为辐射阻抗， 在量值上等于力与质点振速的比值，即
ka 1 或 a / 2π 低频辐射 ms 3M 0
辐射阻较小，辐射效率低。
当
ka 1 或 a / 2π 高频辐射 ms 0
辐射阻较大，辐射效率高。
5．辐射声功率
平均辐射声功率
2 Wr RAu Ae 2 uA (ka) 2 0c0 S0 2 1 (ka) 2
上式为向外辐射的均匀球面波表达式（扩散，声压振幅随距离反 比衰减），A是积分常数，一般是复数，A/r的模为声压振幅。不 计阻尼，质点的径向振速为
p A 1 v (1 ) exp[ j (t kr )] j0 r 0c0 r jkr 1
2. 声辐射与球源大小关系
令球源表面振速为。u u A exp[ j (t ka)] 球源表面处边界条 件： v u 。由（10）式结合边界条件得 r a
uae、 ua 分别为声源表面振速有效值及峰值
特点：低频辐射，Wr
高频辐射，Wr
1 2 0c0 S0 (ka)2 u A 2
与频率平方正比。
1 2 0c0 S0u A 2
高频极限值
6．声场辐射特点
1．声压随距离反比衰减，声场为均匀 球面波。 A 2．当r足够大时，球面波近乎平面波 p A
A
；
0 c0 ka
0 c0 ka 2u A
1 (kaห้องสมุดไป่ตู้)
2
2 2
1 (ka)
u A (ka j ) A exp( j )
;
其中
A
1 arctan ka
将A的表达式代入式声压及振速表达式，得脉动球 源辐射声压和辐射声场质点振速表达式 A / p exp[ j (t kr )] ; v v A exp[ j (t kr )] r
1. 球面声场
如图1所示，球面半径a，表 面沿径向作均匀微小简谐振 动，振幅为dr。由于球面振 动具有各向均匀的脉动性质， 因而向介质辐射的是均匀球 面波 声场具有球对称性， 取球坐标，且声压p将只是 r的函数与θ、φ无关，拉普 拉斯算符成为
a
r
图1 脉动球辐射模型
2 2 r r r