反比例函数(意义与解析式)个性化辅导讲义
个性化辅导讲义
学生： 科目： 数学 第 单元第 节第 课时 教师： 唐永海
课 题 反比例函数的意义和解析式
教学目标 1、反比例函数的概念
2、用待定系数法求反比例函数的解析式 重点、难点
1、反比例函数的概念
2、用待定系数法求反比例函数的解析式 考点及考试要求
1、反比函数的意义
2、反比函数的解析式
教学内容 知识框架
1.反比例函数的定义:
一般地,如果有两个变量 x 和y 之间关系可以表示成 的形式, 那么称y 是x 的 反比例函数.
2.反比例函数的两个变式：
变式① 变式②
思考：请观察反比例函数的关系式，说出自变量x 的取值范围__________，相应地，因变量y 的取值范围___________.
考点一：反比函数的概念（重点）
一般地，函数x
k
y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：（1）反比函数的自变量x 不能为0，k 不能为0，y 也不能为0；
（2）反比函数也可以写成1
-=kx y （k 为常数，k ≠0）与k=xy （k 为常数，k ≠0）的形式 例1、下列函数中，是反比例函数的为（ ） A ． y =2x+1 B ． y= C ． y= D ． 2y=x
分析： 根据反比例函数的定义，解析式符合（k ≠0）这一形式的为反比例函数．
解答：
解：A 、是一次函数，错误；
B 、不是反比例函数，错误；
C 、符合反比例函数的定义，正确；
D 、是正比例函数，错误． 故选C ．
点评：
本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式（k ≠0）中，特别注意不要忽略
这个条件．
针对性练习：（2012?滨州）下列函数：①y=2x ﹣1；②y=﹣；③y=x 2
+8x ﹣2；④y=；⑤y=；
⑥y=中，y 是x 的反比例函数的有 ②⑤ （填序号）
例题2、当m 取何值时，函数是反比例函数？
分析： 根据反比例函数的定义．即y=（k ≠0），只需令2m+1=1即可． 解答：
解：∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1， 解得：m=0．
点评：
本题主要考查了反比例函数的定义，重点是记住反比例函数一般式（k ≠0）．
针对性练习：当m 取何值时，函数m
x
m 21y -=是反比例函数？
例题3、当m= 时，函数是反比例函数．
分析： 让x 的指数为﹣1，系数不为0列式求值即可． 解答：
解：∵函数
是反比例函数，
∴m 2
+2m ﹣1=﹣1，m ≠0， 解得m=0或m=﹣1，m ≠0， ∴m=﹣2， 故答案为﹣2．
点评： 考查反比例函数定义的运用；一般形式也可以表示成y=kx ﹣1
（k ≠0）的形式．
针对性练习：
练习1、如果函数y=x2m﹣1为反比例函数，则m的值是（ B ）
A．﹣1 B．0C．D．1
练习2、．已知是反比例函数，则a的值为多少？(答案a=2)
练习3、已知函数是一个反比例函数，求m的值和反比例函数的解析式．
例题4、给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假．
（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；
（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；
（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；
（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例．
分析：
根据反比例函数的定义及形式y=（k≠0）可判断各个命题的真假．
解答：解：（1）∵等腰三角形的面积一定，∴底边长和底边上的高的乘积为非零常数．∴命题正确；
（2）∵菱形的面积是它的对角线长的乘积的一半，∴当菱形的面积一定时，对角线长的
也一定．
∴它们成反比例．故正确．
（3）∵矩形的面积一定时，它的对角线长的乘积并不一定，∴两对角线长不成反比例，
∴命题（3）为假命题；
（4）∵直角三角形的面积为直角边乘积的一半，∴当它的面积一定时，其直角边长的乘
一定．∴两直角边长成反比例，
∴命题（4）正确．
点评：
本题考查了反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式
（k≠0）．
针对性练习：当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ B ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．无法确定
例题5、在函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≠0 B．x＞0 C．x＜0 D．一切实数
分析：
此题对函数y=中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0．
上，不能为0．
解答：
解：在函数中，自变量x的取值范围是x≠0．
故选A．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
点评：
本题考查了反比例函数的定义：函数y=（k ≠0）叫反比例函数．
针对练习：.已知y 是x 的反比例函数，且当x=-2时，y=1
2
,求这个反比例函数关系式和自变量x 的取值范围；
易误易混点：1、对反比例函数的概念理解不透； 2、对反比例函数
x k
y =
，容易漏掉隐含条件k ≠0。
考点二：确定反比例函数的解析式（重、难点）
确定函数解析式一般用待定系数法，由于在反比例函数
x k
y =
（k 是常数，k ≠0）中只有一个
待定的系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
例题6、已知y 是x 的反比例函数，当x=3时，y=2，则y 与x 的函数关系式为 _________． 分析： 把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式． 解答：
解：设反比例函数的解析式为y=（k ≠0），因为x=3时，y=2，
∴2=，得k=6，
∴反比例函数解析式为y=． 故答案为：y=．
点评： 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容
针对练习：已知y 是x 的反比例函数，当x=4时，y=2，则y 与x 的函数关系式是 ． 答案：y=
例题7、已知y=y 1+y 2，且y 1与x 2
成反比例，y 2与（x+2）成正比例，当x=1时，y=9；当x=﹣1时，y=5．求y 与x 之间的函数关系式，并求当x=﹣3时，y 的值．
专题： 计算题． 分析： （1）先算括号里的，再把除法转化成乘法计算即可；
（2）先让方程两边同乘以2（x ﹣1），可得整式方程，可求出x ，再进行验根即可；
（3）根据题意可得y 1=
，y 2=k 2（x+2），进而可求y=
+k 2（x+2），再把（1，9）、（
5）代入可得关于k1、k2的方程组，解即可求y的解析式，最后再把x=﹣3代入解析式，即
可求y．
解答：解：
（3）根据题意可得y1=，y2=k2（x+2），
∴y=+k2（x+2），
把（1，9），（﹣1，5）代入上面的解析式可得
，
解得，
∴y=+2x+4，
当x=﹣3时，y=﹣．
点评：本题考查了分式的混合运算、解分式方程、正比例函数、反比例函数，解题的关键是对分分子分母要因式分解，解分式方程要验根．
针对性练习：已知函数y=2y1﹣y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2
时，y=3，求y与x的函数关系式。
答案：y=x++
典型例题剖析
题型一求反比函数的解析式（如例题6、例题7）
题型二应用反比函数解决物理问题
例题8 如图，放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上底面积是下底面积的，此时圆台对桌面
的压强为100Pa，若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是多大呢？
分析：
设下底面积为s ，则上底面积s ，根据：压强×受力面积=压力，设压强为y ，受力面积为x 台如图所示放置时，压力=100×s=100s ，则xy=100s （定值），故x 与y 是反比例函数关系求值即可．
解答：
解：设压强为y ，受力面积为x 下底面积为s ，则上底面积s ，依题意得 xy=100s ，即y=
，
当x=s 时，y=400Pa ，故此时的压强是400Pa ．
点评：
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用这个函数关系式解答实际问题．
例题9（2001?）在某一电路中，保持电压不变，电流I （安培）与电阻R （欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培． （1）求I 与R 之间的函数关系式；（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R 的值．
分析： 此题直接根据题意可以求出函数关系式，然后根据函数关系式把I=0.5安培代入解析式可
出电阻R 的值．
解答：
解：（1）设
∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培． ∴U=10
∴I 与R 之间的函数关系式为；
（2）当I=0.5安培时，
解得R=20（欧姆）．
点评：
此题主要考查反比例函数在物理方面的应用，利用待定系数法求函数解析式是需要掌握的数学能力．
规律总结：
在物理学科中，我们可以根据物理学公式建立函数关系：
S F
P =
(P 表示电压，F 表示压力，S 表示受力面积); R U
I = (I 表示电流，U 表示电压，R 表示电阻）；
表示体积）表示质量，表示密度，V m (V m
=；
表示时间）表示路程，表示速度，（t s v t s
v =。
当上述等式等号右边分子表示常数时，另两个量之间就成了反比例，要注意各关系式的变形应用。
题型三 应用反比函数解决生活实际问题
例题10近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知小明的眼镜800度，镜片焦距为0.125m ．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）小华在配眼镜时，经过光学检测得知，她所需眼镜镜片的焦距大约是0.4m～0.5m之间，小华
选择眼镜镜片的度数范围应是什么？
分析：此题可以根据已知条件直接求出函数关系式，然后根据函数关系式可以求出眼镜镜片的围．
解答：
解：（1）设反比例函数的解析式为y=，根据题意得
800=
∴k=100
∴y与x的函数关系式是y=．
（2）∵0.4m＜x＜0.5m
∴200＜y＜250
答：（1）y与x的函数关系式是y=；
（2）小华眼镜镜片焦距的大小范围是200～250度之间．
点评：此题是考查反比例函数在物理方面的应用，会利用待定系数求函数解析式是基本的计算例题11 某地2007年电价为0.8元/度，全年用电1亿度．现供电部门计划2008年把电价降至0.55
元﹣0.75元/度．经测算电价下调至每度x元，本年度新增用电是y（亿度）与x﹣0.4成反比例关系．并
且，当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度．
（1）求y关于x的函数式．
（2）若每度电成本0.3元，则当电价为多少时，电力部门2008年收入比2007年增加20%？
分析：
（1）因为本年度新增用电是y（亿度）与x﹣0.4成反比例关系，所以y=，根据
度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度可确定k的值．
（2）设当电价为x元时，电力部门2008年收入比2007年增加20%，根据某地2007年
0.8元/度，全年用电1亿度，每度电成本0.3元，可列方程求解．
解答：解：（1）∵本年度新增用电是y（亿度）与x﹣0.4成反比例关系，
∴y=，
∵当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度，
∴0.8=
k=0.2．
∴y==．
（2）设当电价为x元时，电力部门2008年收入比2007年增加20%，
（0.8﹣0.3）（1+20%）=（+1）（x﹣0.3）
x=0.6或x=0.5（舍去）．
若每度电成本0.3元，则当电价为0.6元时，电力部门2008年收入比2007年增加20%．点评：本题考查反比例函数的应用，关键设出函数式，代入自变量确定的函数值，确定函数式
6.函数y=y1+y2与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x= 3 时y的值都等于19，求y关于x 的函数关系式．