双曲线经典教案

2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．
∵ ，∴把标准方程 中的“1”用“ ”替换即可得出渐近线方程．
3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：
①、渐近线方程为 的双曲线的方程为： （ 且为常数）．
②、与双曲线 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 （ 且为常数）．
二 例题分析
【题型一】 双曲线定义
A．4B．3C．2D．1
【变式3】（2012年天津文）设知双曲线 ： 和 ： 有相同的渐近线，且 的右焦点 ，则 ； .
【例6】（2012年山东）已知椭圆 ： 的离心率为 ，与双曲线 的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求该椭圆方程.
【题型三】 双曲线渐近线
【例1】（河西区2011年高考三模）.双曲线 的渐近线与圆 相切，则 的值为.
③、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点 ，他们是双曲线 的顶点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2） 实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长
④、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤、等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直
注意：以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
【例2】（2009年天津文4）．设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A B C D
【例3】.（2011年北京文10）已知双曲线 （ ＞0）的一条渐近线的方程为 ，则 =。
【例4】（2009年全国卷新课标）双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为
（A） （B）2 （C） （D）1
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．设双曲线的半焦距为 ，两条准线间的距离为 ，且 ，那么双曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．
3．过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 ， 是另一焦点，若∠ ，则双曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）
双曲线
一 基本概念
1. 双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：当P在右支时 ，当P在左支时
2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在 轴上
中心在原点，焦点在 轴上
标准方程
图 形
顶 点
对称轴
轴， 轴；虚轴为 ，实轴为
焦 点
焦 距
离心率
渐ຫໍສະໝຸດ Baidu线
椭圆和双曲线比较：
椭圆
双曲线
定义
方程
焦点
（2）双曲线的性质
①、范围：从标准方程 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。即 ， 即双曲线在两条直线 的外侧。
②、对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ，当 时交点在 轴，当 时焦点在 轴上
⑥、注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。
（3）、理解双曲线应注意的几点
1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于 ，当 从接近1逐渐增大时， 的值就从接近于 逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
题型四 双曲线离心率
【例1】（河东区2011年高考一模）已知双曲线 ，则该双线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【例2】（红桥区2011年高考一模）.双曲线 的一条渐近线方程为 ，则次双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
【例3】（2011·全国卷新课标）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A，B两点， 为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
5．双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，△PF1F2面积为1，且 则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如果方程 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_______________。
14、求适合下列条件的双曲线标准方程：
（1）虚轴长为12，离心率为 （2）顶点间距离为6，渐近线方程为y=
(3)求与双曲线 有公共渐近线，且过点M（2，-
2）的双曲线方程。
15、已知圆C：x .以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为？
习题练习：
1．动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（ ）
8．若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是。
9．若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点坐标是_________．
10.双曲线与椭圆有共同的焦点 ，点 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
【例1】（2010年天津理5).已知双曲线 的
渐近线方程是y= ,它的一个焦点在抛物线 的准线上，
则双曲线的方程为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例2】（2010年天津文13）.已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为.
【例3】（2011山东理）已知双曲线 的两条渐近线均和圆C: 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
7、一条双曲线 x - =1的左焦点为 ，点P在双曲线左支的下半支上（不含左顶点），则直线P 的斜率的取值范围是_________________
8、双曲线 - =1的两个焦点为 、 ，点P在双曲线上，若P P ,则点P到x轴的距离为________________
13、已知双曲线的方程为 - =1（a>0,b>0），点A.B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点 , AB=m, 为另一焦点，则 AB 的周长
【例1】（和平区2011高考一模）.设P是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左右焦点，若 ，则 （ ）
A.10 B.8 C.6 D.1
【例2】（2012年全国卷新课标）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）
【题型二】 双曲线标准方程
A B C D．
【例4】（2011山东文）已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
【例5】（2011安徽理）双曲线 的实轴长是（ ）
A．2B C．4D．
【变式1】（2011·上海理）设m是常数，若点F(0，5)是双曲线 的一个焦点，则m=。
【变式2】（2011·湖南文）设双曲线 的渐近线方程为 则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
1、已知圆C： ,定点A（-3,0），则过定点A且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程____________________
5、已知曲线方程为 + =1，当k的取值范围是________时，方程表示双曲线。
6、已知双曲线 - =1的焦点为 、 ,点M在双曲线上且M x轴，则 到直线 M的距离为_______________