《不等式选讲》历年高考真题专项突破

《不等式选讲》历年高考真题专项突破

整理人:毛锦涛

命题角度1.含有绝对值不等式的解法

1.已知函数ｆ(ｘ）=｜2ｘ﹣1|+|2ｘ+a|，ｇ（x）＝x+３.

（Ⅰ）当a=﹣２时，求不等式f(x）<ｇ（x)的解集；

(Ⅱ)设a＞﹣1,且当时,ｆ（x）≤g（x）,求a的取值范围.

２.已知函数f(x）=｜x+a|＋|ｘ﹣２｜

（1）当a=﹣3时，求不等式f（x)≥3的解集;

(２）若f（x)≤|ｘ﹣４|的解集包含[１，2]，求ａ的取值范围.

３．设函数ｆ(x）=|ｘ﹣a|+3ｘ,其中a>0.

（Ⅰ）当ａ=１时，求不等式f(ｘ）≥３ｘ+2的解集

（Ⅱ)若不等式ｆ(ｘ）≤0的解集为{x｜ｘ≤﹣1｝,求a的值.

４．已知函数ｆ（x)=｜2ｘ﹣ａ｜+a．

（１)当a＝2时,求不等式ｆ(x）≤6的解集;

(2)设函数g（x）＝｜２x﹣1|,当x∈R时,ｆ（x）+g(x)≥３，求ａ的取值范围．

５．已知函数f（x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|．

（１)证明：﹣3≤f(x)≤3;

(2)求不等式f（ｘ）≥ｘ2﹣8x＋１5的解集．

命题角度2.含有绝对值的函数的图像与应用

６．已知函数f(x）=｜x+1|﹣2|x﹣a|，a＞０.

(Ⅰ)当ａ=1时,求不等式f（x)>1的解集;

(Ⅱ)若f(x)的图象与ｘ轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

7.设函数f（x）＝|2ｘ﹣4｜+1.

(Ⅰ)画出函数y＝f（x）的图象：

(Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空,求a的取值范围．

8.已知函数f（x）=|ｘ+1|﹣|2x﹣3|．

（Ⅰ）在图中画出y=ｆ(ｘ)的图象;

(Ⅱ）求不等式|f(ｘ)|＞1的解集．

命题角度３.不等式的证明与最值

9.设函数ｆ（x）＝|x+|+|x﹣a|（a>0）．

(Ⅰ）证明：ｆ（x）≥２；

（Ⅱ）若f（３)＜5,求ａ的取值范围．

1０.若a>0,b>0,且+=．

(Ⅰ)求a３+ｂ3的最小值；

(Ⅱ)是否存在a,b，使得2ａ＋3b=6？并说明理由．

１1.设a，b，c,d均为正数,且a＋b=c+d,证明:

(1）若aｂ＞cd,则+>＋；

（2)+>+是｜a﹣b｜<|ｃ﹣d|的充要条件．

12.设ａ，b ，ｃ均为正数，且a ＋b+c ＝1,证明： (Ⅰ)

（Ⅱ).

１3.已知函数ｆ（ｘ）＝|ｘ﹣|+|x+|，M 为不等式ｆ（x)＜2的解集． (Ⅰ)求M ；

(Ⅱ)证明:当a ，ｂ∈M 时,|a+b|＜|１+a ｂ|．

14.设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3

a

,求证:｜２ｘ＋ｙ－４｜＜a.

１５． 若函数()12f x x x a =++-的最小值为5,则实数a =＿____＿_．

16．已知ａ>0，ｂ＞0,c>0，函数f （x)=|ｘ+a|＋|x ﹣ｂ|＋ｃ的最小值为4. (1）求a+ｂ+c 的值；

（2)求a ２＋b 2＋c 2的最小值．（柯西不等式）

17.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I)求实数a ,b 的值;

（II 12at bt ++的最大值．（柯西不等式)

2０17年03月30日小毛的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题(共１３小题）

1.（２013•新课标Ⅰ)（选修4﹣５:不等式选讲)

已知函数f（x)=|２x﹣1｜+｜2x+a|，g(ｘ)=x+3．

（Ⅰ）当a＝﹣2时,求不等式ｆ(x)

(Ⅱ)设a>﹣1,且当时，ｆ(ｘ）≤ｇ(x）,求a的取值范围.

【解答】解：（Ⅰ)当ａ=﹣2时，求不等式f（x)＜g(x）化为|２ｘ﹣1|+|２x﹣2|﹣x﹣3<０.

设y=｜2x﹣1|+|2x﹣２｜﹣x﹣３，则 y=，它的图象如图

所示:

结合图象可得，y＜0的解集为(０,２），故原不等式的解集为（0，2）. (Ⅱ)设a>﹣1，且当时，ｆ(x)=1+a,不等式化为 1+ａ≤x+3，故 x ≥a﹣2对都成立.

故﹣≥a﹣2，解得 a≤,故a的取值范围为（﹣1，].

2．（201２•新课标）已知函数ｆ（x)=|x+ａ|+｜ｘ﹣2｜

（1）当a=﹣3时，求不等式f（x)≥3的解集;

（2）若f（ｘ)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求ａ的取值范围.

【解答】解：

（1)当a=﹣3时，f(x）≥3 即|x﹣3｜+｜x﹣2|≥3,即①,或②，

或③．

解①可得ｘ≤1,解②可得ｘ∈∅，解③可得x≥４．

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为｛ｘ｜x≤1或x≥４}. （2）原命题即f(ｘ）≤｜x﹣4|在[1，2]上恒成立,等价于｜x+a|+２﹣x≤４﹣ｘ在[1,２]上恒成立，

等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣ｘ≤ａ≤２﹣x在[1，2]上恒成立. 故当１≤x≤２时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣３，２﹣x的最小值为０，故ａ的取值范围为[﹣3,0]．

３．(2011•新课标）设函数f(x)=｜x﹣a|＋３x,其中ａ＞0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+２的解集

(Ⅱ）若不等式f（x)≤０的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.

【解答】解:（Ⅰ)当a＝１时，f(x）≥3x+2可化为

|x﹣1|≥2.

由此可得ｘ≥3或x≤﹣1.

故不等式f(x)≥3ｘ+2的解集为

｛x|ｘ≥3或ｘ≤﹣1}.

（Ⅱ）由f（x）≤0得

|x﹣a｜+３x≤0

此不等式化为不等式组

或

即或