第一章 空间几何体 1.3 多面体与球有关的切、接问题习题 新人教A2

B
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o'
C
A
C
OB OP 0C
同 理 ：O为RtPAC斜 边 的 中 点
B
OA OD OC 即 ： 点O为 三 棱 锥 外 接 球 的 球 心
巩固与练习：
配套训练6：
四 棱 锥P ABCD所 有 顶 点 都 在 同 一 个 球面 上 ， 若PA 面ABCD， AB BC , AD CD, PA BC CD 1，AB AD 2,则 该 球 的 体 积 为___43____
2016年Ⅰ：第7题（三视图）；第11题（所成角）；第18题 Ⅱ：第4题（多面体与球）；第7题（三视图）；第19题 Ⅲ：第10题（三视图）；第11题（多面体与球）；第19题
多面体与球有关的切、接问题 （一）
1
P
A
O•
C
H
B
知识回顾
1、多面体的外接球：
若多面体的各顶点都在一个球 的球面上，则称这个多面体是球的 内接多面体，球是多面体的外接球
度量关系：内切球的球心到多面体的各面的距 离均为半径
（一）正方体与球：
（1）正方体的内切球
（正方体的棱长为a，内切球的半径为r）
r 1a 2
（2）正方体的外接球
（正方体的棱长为a，外接球的半径为R）
R 3a 2
D
C
A
D1 A1
B O
C1
B1
常见法1:直接法 （二）长方体的外接球
（长方体的长宽高分别为a,b,c，外接球的半径为R）
近五年全国卷中立体几何题型考查及分布
2012年：第7题（三视图）；第8题（截面圆）；第19题
2013年Ⅰ：第11题（三视图）；15题（截面圆）；第19题 Ⅱ：第9题（三视图）；第15题（多面体与球）；第18题
2014年Ⅰ：第8题（三视图）；第19题 Ⅱ：第6题（三视图）；第7题（体积）；第18题
2015年Ⅰ：第6题（体积 ）；第11题（三视图）；第18题 Ⅱ：第6题（三视图）；第10题（多面体与球）；第19题
位置关系：多面体的各个顶点都在其外接球的球面上； 多面体的中心即为其外接球的球心
度量关系：外接球的球心到多面体各顶点的距离均 为半径
知识回顾
2、多面体的内切球：
若一个多面体的各面都与一个球 的球面相切，则称这个球是这个多面 体的内切球。
位置关系：多面体的各个面均与其内切球相切； 多面体的中心即为其内切球的球心
O
E
课堂小结
常见多面体与球的切、接关系求半径的方法： （1）直接法（适用正方体、长方体） （2）补形法（适用特殊棱锥） （3）确定球心法
（关键是找球心，构造与R有关的直角三角形）
除了以上特殊、简便方法之外，还有哪些方法呢？
再探：正四面体的外接球
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R
A
R 6a 4
O D
配套训练3：棱若长三分棱别锥为的1三,2条,3侧，棱则两其两外垂接直球，的且体侧积__73__1_4
配套训练4：一个正四面体的四个顶点都在同一个球
面上，且这个球的表面积为3 ，则正
四面体的棱长为____2____
配套训练5：已知 ABC 900，PA 面ABC，且PA AB BC 1，
则三棱锥P-ABC的外接球的表面积__3____
常见法3：确定球心法
探究4：已知 ABC 900，PA 面ABC，且PA AB BC 1，
则三棱锥P-ABC的外接球的表面积___3___
解析：取PC边的中点O,连接OA、OB
PA 面ABC BC PA BC AB BC 面PAB
P O
BC PB
RtPBC中 ，O为 斜 边 的 中 点
则其外接球的半径为 3 a
（其中三条侧棱均为a）
2
探究2：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，
则其外接球的半径为 a2 b2 c2
2
（其中三条侧棱分别为a,b,c）
a
探究3：若三棱锥为正四面体呢？其外
接球的半径？
R 6a 4
（三）正四面体的外接球
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R
R 6a 4
a
巩固与练习：
a2 b2 c2 R
2
巩固与练习：
配套训练1 (16年全国卷Ⅱ ） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则这
个球的表面积为____1_2___
配套训练2 (14年全国卷） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，
体积为16，则这个球的表面积为___2_4____
常见法2：补形法
探究1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，