高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题15函数函数模型和函数的综合应用文含解析

5.使用线性规划模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核 心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
（2）与函数模型的不同之处
℃ 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）
℃ 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的 最值。
二、知识概述： 1.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：
.
(2)反比例函数模型：
.
(3)二次函数模型：
.
(4)指数函数模型：
.
1
(5)对数函数模型：
源自文库
.
2.解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：
℃读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．
℃对涉及的相关公式，记忆错误．
保鲜时间是 小时，则该食品在 ℃的 保鲜时间是(
)
小时，在 ℃的
A.16 小时
B.20 小时
C.24 小时
D.21 小时
【解析】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学 生应用函数思想解决实际问题的能力.
2019 年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试
15 函数函数模型和函数的综合应用
【考点讲解】
一、具本目标：函数模型及其应用 （ 1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对
数增长等不同函数类型增长的含义. （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
℃ 正弦定理：设
三边
所对的角分别为
，则有
℃ 余弦定理（以 和对角 为例）， ℃ 三角函数表达式的化简与变形
℃ 函数
的值域
（3）解题技巧与注意事项：
℃ 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中
℃ 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示
℃ 在图形中要注意变量的取值范围
5）利用函数模型解决实际问题，通常有以下三种类型：（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建 立确定性函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题．
6）使用函数模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表 示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值 不等式等工具求出最值
3）y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 4）对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形 容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢． 公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择 对数模型增长．
【真题分析】
1.【2015 高考新课标 2 文理】如图，长方形
的边
，
， 是 的中点，点 沿着边
， 与 运动，记
．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数
，则
的图象大致为（ ）
4
【答案】B
2.【2014 高考北京文第 8 题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在
特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：分钟）满足的函数关系
℃在求解的过程中计算错误．
另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解 3.方法提示：1）指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞 分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
2）应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确 定函数模型．
型）的广泛应用. 考点解析：1.掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题 中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等 知识交汇，以解答题为主要形式出现． 2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
（ 、 、是
常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A. 分钟
B. 分钟
C. 分钟
D. 分钟
5
【答案】B
【变式】【2015 高考四川，文 8】某食品的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)满足函数关系
(
为自然对数的底数， 为常数).若该食品在 ℃的保鲜时间是
平行四边形面积 底 高
梯形面积
（上底 下底） 高
三角形面积
底高
℃ 商业问题：
总价 单价 数量 ℃ 利息问题：
利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本
利息 本金 利率
本息总和 本金 利息 本金 利率 本金
（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。 涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。
（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并
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列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几 对整点，代入到目标函数中并比较大小 6.使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点：
（2）需用到的数学工具与知识点：
℃ 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系， 在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。
2
℃ 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析 其单调性，进而求得最值 ℃ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。 ℃ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 （3）常见的数量关系： ℃ 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：