第八章 双变量回归与相关

按公式（9-21）z 的 95%可信区间为 (1.3838-1.96/ 8 3 ,1.3838+1.96/ 8 3 ) =(0.5073,3.2749)
再按公式（9-22）将z作反变换，得到年龄与尿肌酐含 量的总体相关系数95%可信区间为（0.4678,0.9971）。
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14
四、决定系数(coefficient of determination)
第二节 直线回归
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22
一、直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数
关系。
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例9-1
某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿
肌酐含量（ mmol/24h ）如表9-1 。估计尿肌酐含量（ Y ）
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（二）总体相关系数的可信区间
不等于零时呈偏态分布 由于相关系数的抽样分布在 的可信区间需要先将其进行 （大样本情况下亦如此） ， 所以 某种变量变换， 使之服从正态分布， 然后再估计其可信区间。
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12
具体步骤如下
1．首先对 r 作如下 z 变换
z tanh r 或
1
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例如当样本足够大时，身高 Y 与家庭中的每月用电量 X 的线性回归关系具有统计学意义（回归系数的假设检验
P 0.05 ） ，但这种结果很难说有什么专业上可解释的实际
意义。 同理，相关系数的假设检验只是在冒一定风险情况下 说明 0 ，总体中仍然可能是 0.01, 0.04 等，这种 相关并不一定在专业上有意义。
估计方法。
102
19
3．资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布；
直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分布，
X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确测量和严格 控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估 计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）。
ˆ Y
计值， 称为回归方程的预测值 （predicted value） , 而 、b 分别为 和 的样本估计。
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a
例9-1
某地方病研究所调查了8名正
常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。
估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回
归方程。
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表9-1 8名正常儿童的年龄 X（岁）与尿肌酐含量 Y（mmol/24h）
102
16
1．根据分析目的选择变量及统计方法
直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程度，
X与Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量 Y对自变量X在数
值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求而定，可
以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机变量作Y，例 如用身高估计体表面积。 两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关联的 两种现象勉强作回归或相关分析。
3．对上一步计算出的 z 的上下限作如下变换，得到 r 1 的
可信区间
r tanh( z )
或
e2z 1 r 2z e 1
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（9-22） 13
例9-7 对例9-5所得r值，估计总体相
关系数的95%可信区间。
1 z tanh 0.8818 1.3838 按公式（9-20）
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20
4．结果解释及正确应用

反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统 计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是 假设检验的P值。

P 值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系
存在，而不能说关系越密切或越“显著”。另外，
直线回归用于预测时，其适用范围一般不应超出样
本中自变量的取值范围。
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(23.87) 2 72.2683 1.0462 8
lXY XY
( X )(Y ) n
(76)(23.87) 232.61 5.8450 8 102
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4．求回归系数 b 和截距 a
l XY 5.8450 b 0.1392 l XX 42
a Y bX 2.9838 (0.1392)(9.5) 1.6617
102
ˆ 为各X处Y的总体均数的估计。即Y Y
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1．a 为回归直线在 Y 轴上的截距。

a > 0 ，表示直线与 纵轴的交点在原点的 上方； a < 0 ，则交点在原 点的下方；
Y a<0

a=0 a>0

a = 0 ，则回归直线 通过原点。
0
X
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30
2. b为回归系数，即直线的斜率。

b>0，直线从左下方走向 右上方， Y 随 X 增大而 增大； b <0 ，直线从左上方走 向右下方， Y 随 X 增大 而减小； b=0，表示直线与 X 轴 平行，X 与Y 无直线关系。
定义为回归平方和与总平方和之比，计算公 式为：
2 2 SS l l l 2 回 R XY XX XY SS总 lYY l XX lYY
（9-2பைடு நூலகம்）
R 取值在0到1之间且无单位，其数值大 小反映了回归贡献的相对程度，也就是在Y的 总变异中回归关系所能解释的百分比。
102
2
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五、直线相关与回归应用的注意事项
上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线 回归（linear regression）,其方程叫直线回归方程，
以区别严格意义的直线方程。
双变量直线回归是回归分析中最基本、最简单的
一种，故又称简单回归。
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28
直线回归方程的一般表达式为
ˆ Y a bX
(9 1)
的估计值,也读作Y hat 。
差平方和l XX 、 lYY 与离均差积和 l XY 。
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3．计算有关指标
X X n 76 9.5 8
Y 23.87 Y 2.9838 n 8
l XX X 2 ( X ) n
2
(76) 2 764 42 8
lYY
Y
2

( Y ) 2 n
对其年龄（X）的回归方程。
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表9-1 8名正常儿童的年龄 X（岁）与尿肌酐含量 Y（mmol/24h）
编 号 年龄 X
1 13
2 11
3 9
4 6
5 8
6 10
7 12
8 7
尿肌酐含量 Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
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在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量 数量上的依存关系时，将年龄称为自变量
(independent variable)，用 X 表示；尿肌
酐含量称为应变量 (dependent variable) ，
用 Y 表示。
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由图9-1可见，尿肌酐含量 Y 随年龄 X 增加而
增大且呈直线趋势，但并非8个点子恰好全都在一直线
Y b>0

b=0

0
b<0 X
b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Y 平均 改变b个单位。
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二、直线回归方程的求法

残 差 (residual) 或 剩 余 值 ， 即实测值 Y 与假定回归线上 的估计值 Y ˆ 的纵向距 ˆ 。 离 Y Y 求解 a、 b 实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表 数据点分布趋势的直线。
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
ˆ 1.6617 0.1392 X Y
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此直线必然通过点( X , Y )且与纵坐标轴
相交于截距 a 。如果散点图没有从坐标系原
点开始，可在自变量实测范围内远端取易于读
数的 X 值代入回归方程得到一个点的坐标，
连接此点与点( X , Y )也可绘出回归直线。
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第一节
直线相关
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3
一、直线相关的概念
直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple
correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。其性质可由图9-6散点图直观的说明。
目的：研究 两个变量X,Y数量上的依存（或相关） 关系。 特点：统计关系
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2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现离群点（outlier）。
散点图对离群点的识别与处理需要从专业知识和现有
数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错
误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶 然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其 产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽 样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它
第八章
双变量相关与回归
Linear Regression and Correlation
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1
双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：相关与回归 简单、基本——直线相关、直线回归
编 号 年龄 X
1 13
2 11
3 9