(完整版)变化率与导数、导数的运算

让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。

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第十节变化率与导数、导数的运算

1．导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

.

(2)导数的几何意义：

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

2.基本初等函数的导数公式

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )](g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[小题体验]

1．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．

1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α

－1

与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a

混淆．

2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

[小题纠偏]

1．函数y ＝ln x

e

x 的导函数为________________．

2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1

a

·e x 图象的切线，则实数a ＝________.

考点一 导数的运算(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1

x ；

(3)y ＝cos x e

x ；

(4)(易错题)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (5)y ＝ln(2x －5)．

[谨记通法] 求函数导数的3种原则

[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元．如“题组练透”第(4)题易错．

考点二 导数的几何意义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：

让青春之光闪耀在为梦想奋斗的道路上。

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(1)求切线方程； (2)求切点坐标；

(3)求参数的值(范围)．

[题点全练]

角度一：求切线方程

1．(2017·广州五校联考)曲线y ＝e 1

2x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.9

2e 2 B ．4e 2 C ．2e 2

D ．e 2

角度二：求切点坐标

2．(2016·郑州质检)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)

B ．(－1,3)

C ．(1,3)和(－1,3)

D ．(1，－3)

角度三：求参数的值(范围)

3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e

-12

B ．2e

-

12

C ．e 12

D ．2e 12

[通法在握]

与切线有关问题的处理策略

(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .

(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.

[演练冲关]

1．(2017·郑州质量预测)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y －1＝0

2．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)

D ．3(x 2＋a 2)

2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0