2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)
简单的线性规划(高三复习课)
课题：简单的线性规划（高三复习课）点明课题：本节课是北师大版全日制普通高级中学数学教科书（试验修订本·必修5）第三章第4节“简单的线性规划”.本节课是高三第一轮复习课，内容包括二元一次不等式表示平面区域、线性规则及线性规划的实际应用.下面我从三方面来说说对这节课的分析和设计.1. 教材地位分析一教学背景分析 2. 学生特征分析3. 教学目标分析1. 教学重点、难点分析二教学展开分析 2. 教学策略和方法指导3. 教学媒体选择4. 教学实施三教学结果分析一、教学背景分析1、教材地位分析（1）“简单的线性规划”是在复习了直线方程的基础上而再度学习的. 因线性规划的应用性广泛，“简单线性规划”不仅是“新大纲”中增加的新内容，也是“新课标”的必修内容；说明了教材重视数学知识的应用.（2）“简单的线性规划”体现了数学应用性的同时，还渗透了化归、数形结合等数学思想和数学建模法.（3）“简单的线性规划”内容从2003年江苏高考卷选择题开始，已成为近年来高考数学命题的一个亮点. 几乎每年必考。
考查的题型有选择题，填空题、解答题，.2、学生特征分析（1）学习任务分析：通过第一轮复习，学生对不等式、直线方程知识有了更系统的理解；这是复习“简单的线性规划”的起点能力.（2）认知能力分析：学生能应用不等式、直线方程知识来解决问题，加之，体会过“简单的线性规划”应用性；这有益于“简单的线性规划”的“同化”和“顺应”.（3）认知结构变量分析：“不等式”、“直线方程”与“简单的线性规划”是“类属关系”，故“简单的线性规划”的复习是“下位学习”，说明认知结构的可利用性和可分辩性. 但是，由于“简单的线性规划”在教材上的编排简约、图解方法的动态且有错误之处（例3的答案），影响到认知结构的稳固性；这要求通过创设问题情境、自主探究等来促进认知结构的稳固性，进行意义建构.3、教学目标分析（1）知识技能：掌握二元一次不等式表示平面区域，进一步了解线性规划的意义，并能应用其解决一些简单的实际问题.（2）过程与方法：通过自主探究，师生会话，体验数学发现和创造的历程；经历线性规划的实际应用，提高数学建模能力.（3）情感态度：通过自主探究，师生会话，养成批判性的思维品质，形成良好的合作交流品质，提高“应用数学”的意识.以上三个目标确定是基于教材地位分析和学生特征分析.二、教学展开分析1、教学重点与难点分析重点：掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解.难点：实际问题转化为线性规划问题及其整数最优解、最优近似解的求解.利用例题、变式训练，求线性规划最优解的两种有效的方法——“调整优值法”、“换元取优法”的应用，以及“简单的线性规划解答器”的应用，来突出重点，突破难点.2、教学策略与方法指导（1）教学策略：本节课采用基于建构主义理论的“建构式教学方法”，即由“创设问题情境——自主探究——师生会话——意义建构”四个环节组成. 以学生为主体，并根据教学中的实际情况及时调整教学方案.（2）学法指导：教师平等地参与“师生会话”，间或参与“自主探究”并适时点拨指导；引导学生全员、全过程参与；自主探究的形式可以是小组学习，也可以是“学习共同体”等，引导学生反思评价.3、教学媒体的选择与运用使用多媒体辅助教学，运用“简单的线性规划解答器”.4、教学实施按照“建构式教学法”的思想，围绕突出重点，解决难点，不断设置问题情境，激发学生自主探究，并由师生会话促进意义建构. 我把本节课的教学实施分成三大部分，即（1）概念“同化”,（2）例题研讨,（3）反思评价.Ⅱ例题研讨三、教学结果分析通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果.1、学生能掌握并灵活运用二元一次不等式的平面区域，能够求出最优解；但在数学建模方面，估计有少部分学生会有一定的困惑. 另外，对线性规划和其它知识的交汇题的求解以及实际问题的整数最优解、近似最优解的求解仍会有学生感到陌生，故须督促学生课后加强消化.2、学生基本思想能力得到一定的提高，但良好的数学素养有待进一步提高.3、由于学生层次不同，已有的数学知识、观念不同，体验和认识也不同，对于学习层次较高的学生，应鼓励其严谨、谦虚、锲而不舍的求学态度；而对学习欠佳的同学，应多鼓励，并辅之以师生的帮助促进其进步.附：板书设计【设计说明】1．高三复习课，不仅仅是以前所学知识的重复，而是要在“问题解决”中对知识进行“同化”、“顺应”，进行意义建构. 故应帮助学生建立明晰的知识结构. 所以本节课的设计采取“建构式教学法”即“设置问题情境”、“自主探究”、“师生会话”、“意义建构”四环节教学；利用题型面广的例、变式题的研讨、探究，形成知识的完整性、系统性.2．高三复习既要依据教学大纲、也要依据考试大纲，还要根据近几年高考对本节内容的考查方向. 故此，在例、变式题中渗透“二元一次不等式表示平面区域”、“线性规划最优解”的问题，做到“重点”突出；而“难点”也随着二种有效方法即“调整优值法”、“换元取优法”及“线性规划解答器”的应用而完成了“顺应”.3．课堂上的例1、例2的解决以学生“自主探究”、“师生会话”为主；例3以师生“共同探究”为主；变式题则由学生理清解题思路完成，教师可在关键的地方点拨. 这其中借助多媒体和“线性规划解答器”予以辅助. 体现了信息技术与教学内容的有机整合.4．课后作业注重基础性、交汇性及新颖性.。
2015届高考数学总复习第六章不等式第2课时二元一次不等式(组)与简单教学案(含最新模拟、试题改编)
第六章 不 等 式第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)1. (必修5P 74练习题1改编)若点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则实数a 的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则2a ＋3<3，解得a<0.2. (必修5P 77练习题2改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC ＝12×5×10＝25. 3. (必修5P 84习题4改编) 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案：1解析：如图所示作出可行域，可知当z ＝2x ＋y 过点A(－1，3)时z 最小，此时z ＝1.4. (必修5P 80练习题2改编)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k ＝________．答案：73解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域，y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．(2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域①任选一个不在直线上的点；②检验它的坐标是否满足所给的不等式；③若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2. 线性规划中的基本概念[备课札记]题型1 二元一次不等式表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如下图所示．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)，表示的平面区域的面积为9，那么实数a 的值为________．答案：1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>0，x －y ＋4≥0，x ≤a 表示的平面区域如图阴影部分．S ＝12|BC|×(a ＋2)＝12(2a ＋4)×(a ＋2)＝9.又a>－2，∴ a ＝1.题型2 线性规划问题例2 设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值． 解：变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．(如图)作一组与l 0：2x ＋y ＝0平行的直线l ：2x ＋y ＝t.t ∈R 可知：当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点(x ，y)满足2x ＋y ＞0，即t ＞0，而且直线l 往右平移时，t 随之增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A(5，2)的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B(1，1)的直线l 1所对应的t 最小．所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________．答案：[－1，1]解析：作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴ －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.题型3 线性规划的实际应用 例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1 kg 、B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，画可行域如图所示，目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x ＋z400，这是随z 变化的一簇平行直线，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A(4，4)，∴ z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元． 备选变式（教师专享）某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3000x ＋2000y.二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：3000x ＋2000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.记点M 的坐标为(100，200)．平移直线l ，易知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． ∴z max ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)． 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．1. (2013·南通模拟)已知0＜a ＜1，log a (2x －y ＋1)＞log a (3y －x ＋2)，且λ＜x ＋y ，则λ的最大值为________．答案：－2解析：2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －1<0，2x －y ＋1>0，作出可行域，则z ＝x ＋y 经过点(－1，－1)时最小，故x ＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2. 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案：1解析：可行域如下：所以，若直线y ＝2x 上存在点(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则3－m ≥2m ，即m ≤1.3. 设变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值是________．答案：55解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15得A(5，15)，且A 为最大解，∴ z max ＝2×5＋3×15＝55.4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________． 答案：30亩、20亩解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 、y ，则总利润z ＝(4×0.55－1.2)x ＋(6×0.3－0.9)y ＝x ＋0.9y ，此时x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，画出可行域知，最优解为(30，20)．5. 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案：1解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为直线2x ＋y －10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5，0)．1. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．答案：1<a ≤3解析：先画出如图所示的可行域，当函数a x 的图象过点A(2，9)时，有a 2＝9，∴a ＝3.又a ＞1，∴1＜a ≤3.2. 设z ＝2y －2x ＋4，其中x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示作直线l ：2y －2x ＝t.当l 过点A(0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8，当l 过点B(1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.3. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，试求解下列问题．(1) z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2) z ＝yx ＋2的最大值和最小值；(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|的最大值和最小值．解：(1) z ＝x 2＋y 2表示的几何意义是区域中的点(x ，y)到原点(0，0)的距离，则z max ＝5，z min ＝12.(2) z ＝y x ＋2表示区域中的点(x ，y)与点(－2，0)连线的斜率，则z max ＝1，z min ＝14.(3) z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|3x ＋4y ＋3|5，而|3x ＋4y ＋3|5表示区域中的点(x ，y)到直线3x ＋4y＋3＝0的距离，则z max ＝14，z min ＝5.4. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分的整数点．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的求解步骤① 作出可行域；② 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；③ 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点；④ 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值．3. 常见的非线性目标函数的几何意义：① x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；②（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；③ yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；④y －bx －a表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值． 请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.。
2015年高考数学总复习精品课件：第5章 第4讲 简单的线性规划
第二页，编辑于星期五：十一点 二十七分。
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，直线 l：Ax＋By＋C＝0 把直角坐标平面分成了
三个部分：
①直线 l 上的点(x，y)的坐标满足_____A_x_＋__B_y_＋__C_＝；0
②直线 l 一侧的平面区域内的点(x ，y) 的坐标满足 Ax ＋ By＋C＞0；
给定．若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A
的坐标为( 2，1)，则 z＝O→M·O→A的最大值为( )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
第十七页，编辑于星期五：十一点 二十七分。
解析：z＝ 2x＋y，即 y＝－ 2x＋z，画出不等式组表示的 平面区域如图 D14，易知当直线 y＝－ 2x＋z 经过点( 2，2)时， z 取得最大值，∴zmax＝ 2× 2＋2＝4.
y≥0，y∈N，
z＝300x＋400y，画出可行域如图
D17：作直线 l：3x＋4y＝0，然后把直线向可行区域平移，当目 标函数直线经过 x＋2y＝12 与 2x＋y＝12 的交点时 z 有最大值．
由2x＋x＋2yy＝＝1122，， 得yx＝＝44.， 此时 z＝2800.故选 C.
第二十九页，编辑于星期五：十一点 二十七分。
可行解 满足__线__性_约__束__条_件______的解
可行域 最优解
由所有___可_行__解____组成的集合
使目标函数取得__最__大_值___ 或__最__小_值___ 的点的坐 标
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的___最__大_值__ 或__最__小_值___问题
第五页，编辑于星期五：十一点 二十七分。
答案：A
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1 ＝－ ，故选 C. 3 答案：C
题型二 求线性目标函数的最值 (2013· 课标全国Ⅱ)已知 a＞0，x，y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， y≥ax－3.
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝ ( )
1 A. 4 C ．1
1 B. 2 D．2
• 【解析】
由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC)，
• 答案：5
1．二元一次不等式表示平面区域的确定方法 (1)方法一：直线定界，特殊点定域． (2)方法二：对于二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0(或＜0)， A C ①当 B≠0 时，若不等式可化为 y＞－Bx－ B，则原不等式表示 直线 Ax＋By＋C＝0 上方的平面区域；
A C 若不等式可化为 y＜－ x－ ，则原不等式表示直线 Ax＋By＋C＝ B B 0 下方的平面区域； C ②当 B＝0 时，若不等式可化为 x＞－ ，则表示直线右侧的平面 A 区域； C 若不等式可化为 x＜－A，则表示直线左侧的平面区域．
不包括
包括 实线
• (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x， y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都 ，所以只需在此直线的 某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的 即可判断Ax 相同 ＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
• 【归纳提升】 1.与线性规划有关的应用问题解题步骤是：(1)设未 知数，确定线性约束条件及目标函数；(2)转化为线性规划模型；(3) 解该线性规划问题，求出最优解；(4)调整最优解．
• 2．求解线性规划应用题的注意点： • (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能 够取到等号． • (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围， 特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等． • (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
高考理科第一轮复习课件(6.4简单线性规划)
域的面积为_______. 【解析】作可行域为
∴所求面积为 1 6 3 1 3 1 1 3 3 3.
2 2 2
答案：3
考向 1
平面区域的相关问题
3x y 0， 【典例1】（1）（2013·太原模拟）已知不等式组 x ay 2 (a>0)表示的平面区域的面积是 3 ， 则a等于( ) 2
) (B) 2 2 (C)8 (D)10
(A) 10
【解析】选D.画出不等式组对应的
可行域如图所示：易得A（1，1）， OA＝ 2，B（2，2）， OB 2 2， C（1，3），OC 10， 故|OP|的 最大值为 10， 2+y2的最大值 即x 等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和
（O为坐标原点）的最大值为( (A)8 (B)6 (C)4
) (D)2
y x 1， （2）设变量x,y满足约束条件： y x 1， 则 z y x2 0 y 1 ，
的最
大值为( (A)
1 4
)
(B)
1 2
(C)1
(D)不存在
（3）（2013·宁波模拟）已知实数x,y满足 x 2y 2 0， 目标
0 x 4， 0 y 8， 所花运费为 20x 10y 100，
z=400x+300y.画出可行域（如图）， 由图可)时，z取最小值，最 小值为zmin=2 200，故选B.
x 2y 3 0， 5.已知实数x，y满足 则此不等式组表示的平面区 y x ，
(3)由于对直线ax+by+c=0同一侧的所有点（x,y），把点的坐 相同 标（x,y）代入ax+by+c,所得到实数的符号都_____，所以只需 正 在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），从ax0+by0+c的___ 负 ___即可判断ax+by+c >0（＜0）表示直线哪一侧的平面区域. 原点 当c≠0时，常取_____作为特殊点.
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
高考数学一轮总复习名师精讲 第34讲简单的线性规划课件
y 轴上的截距为5t ，l 只有过可行域中与直线 7x＋5y＝3445距离最近
的点，在 y 轴上的截距5t 才最大，即 t 最大，使 S＝7x＋5y 达到最
另外，此题在可行域中整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共 12 个．结合图形 便知离直线 7x＋5y＝3445距离较近的点有(1,5)，(2,4)，(3,2)，(4,1)， 可以代入 S＝7x＋5y 进行验证，则得点(2,4)为最优解，使 S 最大．
v 不等式1＜|x－2|≤3可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平 行线x＝－1和x＝1之间或在两平行线x＝3和x＝5之间的带状区 域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点．
v ∴原不等式组表示的区域如图所示．
v 类型二 求线性目标函数的最值问题
v 解题准备：1.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步 骤是：第一步：画：在平面直角坐标系内作出可行域；第二步： 移：利用平移直线的方法在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：求：将最优解代入目标函数求出最大值或最小值；
v 第三十四讲 简单的线性规划
v 回归课本
v 1.二元一次不等式表示平面的区域：直线Ax＋By＋C＝0将平面 划分为三部分，即点在直线上；点在直线的上方区域；点在直 线的下方区域，若满足B(Ax＋By＋C)＞0，则点P(x，y)在直线 Ax＋By＋C＝0的上方；若满足B(Ax＋By＋C)＜0，则点P(x，y) 在直线Ax＋By＋C＝0的下方．
所以，不等式组xx－＋yy＋≥50≥0 x≤3
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得 x∈[－52，3 ]，y∈[－3,8]．
简单线性规划问题复习(公开课)
x＋3y＝27
O
x＋2y＝18
x
复习回顾（三）
目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。
线性约 束条件
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1 最优解 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
理论迁移（一）
例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y
1
4 O
4x－3y≤12
x O
y x 3
x＋4y＜4
－4
复习回顾（二）
1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.
4 5 6 7 x
ｚ的值最小，当
过A(5,2)时， O -1 -1
zmin 2 1 1 3 zmax 2 5 2 12
l
l1
l2
l3
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0， 作直线
y x=1
6
x 2y 0
平移，使之与可行域有交点。 5• 22 最大截距为过C (1, ) C• 5 4 的直线 l1 最小截距为过A(5,2) 的直线 l 2
归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)
• 常见题型 • 一、求线性目标函数的取值范围 • 二、求可行域的面积 • 三、求可行域中整点个数 • 四、求线性目标函数中参数的取值范围 • 五、求非线性目标函数的最值 • 六、有关线性规划的实际问题
第13页，共13页。
•画直线2x-y=0并平移得点A使Z 最大，点C使Z最小。
y 5C
x 4y 3 0
•由 ）
3x
5
y
25
0
可得A为 （5,2
B
x 1
O1
•由 3x 5y 25 0 可得C为（1,4.4） x=1
zmax 25 2 8
zmin 21 4.4 2.4
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
第3页，共13页。
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的 集合 ． (2)由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得到实数的符号都 相同 ， 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0 ＋C 的 符号 即可判断 Ax＋By＋C>0 表示直线哪一侧的平面区 域．
B
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
第11页，共13页。
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型；
y－a (2)形如 z＝ 的斜率型；
6-3第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(2015年高考总复习)
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第六章
第三节
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新课标A版数学
高考这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或 取值范围)． 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案.
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x－y≥－1， 2．若实数x，y满足不等式组 x＋y≥1， 3x－y≤3， 所围成的平面区域的面积是( A．3 C．2 5 B. 2 D．2 2 )
则该约束条件
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疑 点 清 源 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一 次不等式标准化． 2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直 线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时， z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最 小，在y轴上截距最小时，z值最大．
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4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ________．
解析 (－2，t)在2x－3y＋6＝0上方，则2×(－2)－3t＋6<0， 2 ∴t>3.
2 答案 t> 3
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2015年高考数学(文)一轮课件：2-4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
答案：B
x－y＋2≥0， 4．设变量x，y满足约束条件 x－5y＋10≤0， x＋y－8≤0. ＝3x－4y的最大值和最小值分别为( A．3，－11 C．11，－3 B．－3，－11 D．11,3 )
则目标函数z
解析：作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，z＝3x－4y 经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)， B(5,3)． ∴z最小＝3×3－4×5＝－11，z最大＝3×5－4×3＝3.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可 行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上 的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝ －3－52＋2－22＝8. ∴16≤z≤64.
2 答案：(1) ；(2)2≤z≤29；(3)16≤z≤64 5
3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)作出目标函数的等值线； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而 7 __________； 确定□ (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小 值．
1 原点 答案： □
2 Ax＋By＋C＞0 □ 3 Ax＋By＋C＜0 □
y－0 思维启迪：(x，y)是可行域内的点．(1)z＝ 可以理解为点 x－0 (x，y)与点(0,0)连线的斜率．(2)x2＋y2可以理解为点(x，y)与点(0,0) 连线距离的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以 理解为点(x，y)与(－3,2)的距离的平方．结合图形确定最值．
解得B(5,2)．
y y－0 (1)∵z＝x＝ . x－0 ∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率． 2 观察图形可知zmin＝kOB＝5. (2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平 方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC| ＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29. ∴2≤z≤29.
2015高考数学真题分类 考点24 简单的线性规划
考点24 简单的线性规划1.（2015.北京.理，2）若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．32D ．22.（2015.北京.文，13）如图，ABC △及其内部的点组成的集合记为D ，(),P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 .3.（2015.天津.理，2）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（ ） A ． 3 B ． 4 C ． 18 D ． 404.（2015.天津.文，2）设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=3x+y 的最大值为（ ） A ． 7B ． 8C ． 9D ． 1 45.（2015.上海.文，9）若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 .6.（2015.重庆.文，10）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为（ ） A ． ﹣3B ． 1C ．D ． 37.（2015.湖南.理，4）4.若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………，则3z x y =-的最小值为（）.A.7-B.1-C.1D.2y xC 0,2()A 2,1()B 1,0()O8.（2015.湖南.文，4）若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z =2x -y 的最小值为( )A. -1B. 0C. 1D. 29.（2015.湖北.文，12）若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．10.（2015.陕西.理文，10）某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.（2015.广东.理，6）若变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（ ）A ． 4B ．C ． 61．12.（2015.广东.文，4）若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A.2B.5C.8D.1013.（2015.四川.文，9）设实数x,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为(A)252 (B) 492(C)12 (D)14 14.（2015.浙江.文，14）已知实数x ，y 满足221x y +…，则|24||63|x y x y +-+--的最大值是________.15.（2015.山东.理，6）已知满足,x y 约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z a x y =+的最大值为4，则a =A. 3B. 2C. 2-D. 3-16.（2015.山东.文，12）若x ，y 满足约束条件131y x x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，，，则3z x y =+的最大值为 .17.（2015.安徽.文，5）已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是( )（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）118.（2015.福建.理，5）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于（B ）A.52-B.2-C.32-D.219.（2015.福建.文，10）变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+.0,022,0y mx y x y x 若z=2x-y 的最大值为2，则实数m 等于（ ）（C ）A.-2B.-1C.1D.220.（2015.全国I.理，15）若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-,04,0,01y x y x x 则x y 的最大值为21.（2015.全国I.文，15）若x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为22.（2015.全国II.理，14）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ，则z= x ＋y 的最大值为____________..23.（2015.全国II.文，14）．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．。
2015届高考数学总复习 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时精练试题 文(含解析)
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)解析：将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，∴t >1. 答案：B2．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．26B ．24C ．16D ．14答案：D3．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，B (2,3)，C (0，－1)，E (0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE ＋S △BCE ＝12×|CE |×(x B －x A )＝83.答案：B4．(2013·四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.选C. 答案：C5．(2013·汕头二模)给出平面区域G ，如图所示，其中A (5,3)，B (2,1)，C (1,5)．若使目标函数P ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A ．4B ．2 C.12 D.23解析：∵目标函数P ＝ax ＋y ，∴y ＝－ax ＋P .故目标函数值P 是直线y ＝－ax ＋P 的截距，当直线y ＝－ax ＋P 的斜率与边界AC 的斜率相等时，目标函数P ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时，－a ＝5－31－5＝－12，即a ＝12，故选C.答案：C6．(2013·韶关二模)4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24元，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要( )A ．15元B ．22元C ．36元D ．72元解析：设一件A 商品的价格为x 元，一件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (0,4)，B (0, 8)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，43.设z ＝F (x ，y )＝3x ＋9y ，将直线l ：z ＝3x ＋9y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，∴z 最小值＝F (103，43)＝3×103＋9×43＝22.因此，当一件A 商品的价格为103元，一件B 商品的价格为43元时，可使得买3件A 商品与9件B 商品费用最小，最小费用为22元．故选B.答案：B7．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为：22＝ 2.答案： 28．(2013·大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：已知不等式组表示的平面区域如图中的三角形ABC 及其内部，直线y ＝a (x ＋1)是过定点(－1,0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A (1,1)，B (0,4)，故MA 的斜率等于1－01－－＝12，MB 的斜率等于4－00－－＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，49．(2012·厦门模拟)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为z 元，x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ≥10，x ＋2y ≥14，x ≥0，y ≥0.作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4,5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2 300元．答案：2 30010．(2012·中山四校联考)某工厂有A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8 h 计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问：如何安排生产才能使利润最大？解析：设甲、乙两种产品分别生产x 件、y 件，工厂获得的利润为z ，由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝2x ＋3y .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线．当z变化时，可以得到一组互相平行的直线，当截距z3最大时，z 取得最大值．由上图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，最大值为143，这时2x ＋3y ＝14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．11．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解析： (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。
2015届高考数学一轮总复习 7-3简单的线性规划问题
则目标函数 z＝4x＋y 的最大值为________．
如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故 z＝4x＋y 在 P(2,3)处取得最大值， 最大值为 11. 三、解答题 10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元组成；进取型组合投资每份由金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成．已知每份稳健型 组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元．若可作投资用的资金中， 金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才 能使一年获利总额最多？ [解析] 设稳健型投资 x 份，进取型投资 y 份，利润总额为 z(单位：10 万元，则目标函数为 z 20x＋40y≤160， ＝x＋1.5y(单位：10 万元)，线性约束条件为：30x＋30y≤180， x≥0，y≥0x∈N，y∈N，
2 2
→ → 则OM· ON的最大值为(
)
B．2 2
C. 3
D．2 3
[答案] B [解析]
→ → → 如图， 点 N 在图中阴影部分区域内， 当 O， M， N 共线， 且|ON|＝2 时， OM· ON最大， 此时 N( 2， → → 2)，OM· ON＝(1,1)· ( 2， 2)＝2 2，故选 B. x＋y－3≤0， 12．(文)(2012· 福建文，10)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件x－2y－3≤0， x≥m，
x＋y＝3000， 由 得 x＝2000，y＝1000，即点 B 的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资 0.24x＋0.36y＝840，
2000 万元，乙项目投资 1000 万元时，GDP 增长得最多. 能力拓展提升 一、选择题 11．(2013· 东北师大附中二模)O 为坐标原点，点 M 的坐标为(1,1)，若点 N(x，y)的坐标满足 x ＋y ≤4， 2x－y>0， y>0， A. 2
【绿色通道】高考数学总复习-6-3一元二次不等式组与简单线性规划问题课件-新人教A版
(2)过原点(0,0)作直线 l 垂直于直线 x＋y－3＝0， 垂足为 N，则直线 l 的方程为 y＝x，
由yx＝ ＋xy， －3＝0， 得yx＝＝3232， ，
∴N(32，32)，
点 N(32，32)在线段 AB 上，也在可行域内．
第二十五页，编辑于星期四：十六点 六分。
第二十二页，编辑于星期四：十六点 六分。
由xx＝＋2y－，3＝0， 得xy＝ ＝21， ， ∴B(2,1)； 由xx＝－2y＋，1＝0， 得xy＝ ＝23， ， ∴M(2,3)．
第二十三页，编辑于星期四：十六点 六分。
(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z， 当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时， 直线在y轴上的截距最大，z也最大， 此时zmax＝2×2＋3＝7. 当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时， 直线在y轴上的截距最小，z也最小． 此时zmin＝2×1＋2＝4. 所以z的最大值为7，最小值为4.
第四页，编辑于星期四：十六点 六分。
2．线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值 的问题，统称为线性规划问题．
满足线性约束条件的解(x，y) 叫做可行解， 由所有可行解组成的集合 叫做可行域(类似函数的 定义域)， 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫 做最优解.
第五页，编辑于星期四：十六点 六分。
本题若利用线性规划的方法求最优解也是很简便的， 而用不等式求解时，主要考虑较复杂的约束条件(如本例中 的③、④)，而较简单的约束条件(如本例中的①、②则用来 检验最优解是否符合即可).
第三十四页，编辑于星期四：十六点 六分。
变式迁移 3 (2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第41讲 简单的线性规划问题
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文数
x－y＋5≥0 所以，不等式组x＋y≥0 x≤3
表示的平面区域如图
所示． 5 结合图中可行域得 x∈[－ ，3]，y∈[－3,8]． 2
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文数
－x≤y≤x＋5 ②由图形及不等式组知 . －2≤x≤3，且x∈Z
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点． 所以平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝ 42(个)． 5 ③由(1)知，x∈[－ ，3]，y∈[－3,8]， 2 1 5 121 所以 S＝ (3＋ )(3＋8)＝ . 2 2 4
4
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文数
解析：由已知两点在直线的两侧， 则(2＋3＋m)(－8－2＋m)<0， 即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10，选 C.
5
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x≥1 3．已知实数x、y满足 y≤2 x－y≤0
文数
，则此不等式组表示的平
面区域的面积是( A ) 1 A.2 C．1 1 B.4 1 D.8
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文数
(2)画出满足约束条件的平面区域，由图可知平面区域图形 为边长为 2的正方形，故其周长为 4 2.
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文数
二
线性规划下的最值
x－y＋2≥0 【例2】已知x＋y－4≥0 2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．
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x
•由 x 4 y 3 0 。
x 1
求出B为（1，1)
zmin 2, zmax 29.
•若z=(x-3)2+(y-1)2,求z的最值.
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
•(4)若 z
二元一次不等式(组)的解 与简单的线性规划
2015•高考考纲要求
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下 的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主. 新课改后， 线性规划理科每年必有 1 题，只有文科 2012 年未考及。但为了避免很多同学解出交 点带入的情况，以后高考估计会加大“形’的考察力度,故在线性规划的学习中，要 注意加强含参线性规划、非线性目标函数处理方法。
•(6)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有 无穷多个，求a的值
y
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型； y－a (2)形如 z＝ 的斜率型； x－b (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． 3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．
•(1)若z=2x+y,求z的最值.
•画出直线 2x+y=0 并平移得点 y A使Z最大，点B使Z最小。 5
•由
x 4y 3 0 3x 5 y 25 0
x 1 x 4y 3 0
求出 A 为（5,2)
O 求出B 为（1，1)。
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
•由
x
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
2x+y=0
•(2)若z=2x-y,求z的最值.
•解：画出可行域如图：
•画直线2x-y=0并平移得点A使 Z最大，点C使Z最小。
x 4y 3 0 •由 3x 5 y 25 0
• 常见题型 • 一、求线性目标函数的取值范围
• 二、求可行域的面积
• 三、求可行域中整点个数 • 四、求线性目标函数中参数的取值范围 • 五、求非线性目标函数的最值 • 六、有关线性规划的实际问题
所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0 ＋C 的 符号 即可判断 Ax＋By＋C>0 表示直线哪一侧的平面区 域．
2.线性规划中的基本概念
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
y
5
S 1 | BC | h 2 1 3.4 4 6.8. 2
4 2 2 1 1 10
O
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
y
5
y , 求z 的最值. x
• 表示可行域内的点 （ • x,y)与原点连线的斜率， 由图可
得点C使Z最大，点A使Z最小。
z
y , x
C
x-4yx 5 y 25 0
O
x 4y 3 0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
•由
x 1 3x 5 y 25 0
•解：画出可行域如图：
2 2 z x y • 表示可行域内的点 （ • x,y)到原点的距离的平方， 由图 可得点A使Z最大，点B 使Z最 小。
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
•由
求出A 为（5,2)。 3 x 5 y 25 0
x 4y 3 0
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的 集合 ． (2)由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得到实数的符号都
相同 ，
x 1
5
y C
x-4y+3=0
可得A为 （5,2）
O
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
•由 3x 5 y 25 0 可得C为（1,4.4）
zmax 2 5 2 8
zmin 2 1 4.4 2.4
x 4 y ≤ 3, •(3)若z=x2+y2,求z的最值. 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
可得C为（1,4.4）
zmax kOC 4.4 4.4, 1
zmax kOA 2 0.4. 5
x 4 y ≤ 3, •(5)求可行域的面积 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. 和整点个数. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图： •求A出为（5,2），B为(1，1) ，C为( 1 , 4.4）。