高中数学必修二同步练习题库：空间几何体的表面积和体积(困难)

空间几何体的表面积和体积（困难）

1、一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）

A． B． C． D．

2、已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，

，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.

3、已知求的直径是该球球面上的点，，则棱锥的体积为__________．

4、(数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考第16题)现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解

球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于

______．

5、(2017届高三第二次湖北八校文数试卷第16题)祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相

等.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体

（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______．

6、已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

7、若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为．

8、已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．

9、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．

10、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）若M为CB中点，证明：；

（Ⅱ）求这个几何体的体积．

11、如图，在三棱锥中，，，，平面平面

，，分别为，中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积．

12、如图，直三棱柱中，，，分别为和上的点，且.

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积.

13、如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且

AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．

14、如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，

,, 分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．

15、如图（1）所示，在直角梯形中，，，，

,分别为线段的中点，现将△折起，使平面⊥平面（图（2））．

（1）求证：平面∥平面；

（2）若点是线段的中点，求证：⊥平面；

（3）求三棱锥的体积．

16、如图为一个几何体的三视图

（1）画出该几何体的直观图．

（2）求该几何体的的体积．

（3）求该几何体的的表面积．

17、如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱

上，且．

（1）求三棱锥的体积;

（2）求异面直线与所成的角的大小．

18、如图，在四棱锥中，，平面，平面，，

，．

（Ⅰ）求棱锥的体积；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19、在三棱锥中，是等边三角形，．

（1）证明：；

（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．

20、如图，在几何体中，四边形均为边长为1的正方形．

（1）求证：．

（2）求该几何体的体积．

21、（本小题满分15分）如图，正方形的边长为1，正方形所在平面与平面互相垂直，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积．

22、已知四棱锥，其中面，，

为的中点.

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求证：面面；

（Ⅲ）求四棱锥的体积.

23、（本小题满分12分）已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，（Ⅰ）求正方体的内切球的半径与外接球的半径之比；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

24、如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G 分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．

（1）求证：平面EFG∥平面PAB；

（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；

（3）求三棱锥C－EFG的体积．

25、（14分）如图，在三棱柱中，侧棱底面,为的中

点,．

（1）求证：平面；

（2）若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值．

26、（本小题满分13分）如图，菱形的边长为，现将沿对角线折起至位置，并使平面平面．

（1）求证：；

（2）在菱形中，若，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求四面体体积的最大值．

27、如图1，在直角梯形中，，是的中点，

是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.