微分几何曲线论三维空间曲线从参数表示到求出特征从特征求(精)

说明：

1．任意参数t , 绘曲线。曲线方程可以取自题库，或自由输入。起点或终点可以自动调整。

2．改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。起点或终点s参数也可以自动调整。

3．活动标架应以弧长s 为参数。可先给定固定的某s，用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。s，κ(s)，ρ(s)显示于输出栏。

κ(s)，ρ(s)的图形也相应显示于相应窗口。按键可以弹出窗口，显示公式与评注。4．让s 从起点到终点，动起来。

5．把κ(s)，ρ(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。

文字描述与程序要求

微分几何知识结构网络

曲线论

参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。换参数与坐标系则换表达式。

条件约束：正则。即三阶以上连续可微。

活动标架：

运动公式：

本质特征：与坐标系，又与参数无关。存在唯一定理，决定曲线形状。

三维空间曲线

参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t) ] , t0 ≤t ≤T

换参数程序：s (t) = ∫|r ‘(t ) | dt, t = s –1 (t )

换坐标系程序：

活动标架：切向量α(s) α(s) = r ‘(t) / | r ‘(t)| 弧长参数则自动归一。

法向量β(s) β(s)=α‘(s) /|α‘(s)| 向量微商，一定正交。

从法向量γ(s) γ(s) =α(s) X β(s) 画曲线及其活动标架。

α(s) β(s) 张成密切平面。

β(s) γ(s) 张成主法平面。

γ(s) α(s) 张成从法平面。要画曲线在三个坐标平面上的投

影。

本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，未必单位长

ρ(s) = |γ‘(s)| 挠率，

存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线。

运动公式：局部关系

d r /ds = α(s)

dα(s)/ds =κ(s) β(s)

dβ(s)/ds =κdα(s)/ds + ρdγ(s)/ds

dγ(s)/ds = -ρ(s) β(s) 解方程组的数值计算程序。

给初始标架，解十二个变量的十二个方程组的初值问题。对比形状。结论。

二维平面曲线

参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t)=0 ] , t0 ≤t ≤T

活动标架：α(s)

β(s)

本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，

运动公式：局部关系

α(s) = d r /ds

dα(s)/ds =κ(s) β(s)

dβ(s)/ds = --κdα(s)/ds

给初始标架，解六个变量的六个方程组的初值问题。对比形状。结论。

曲面论

空间曲面

方法：对描述文件生成最后屏幕，还可以供操作。

转到SMIL 及JA V A 描述程序。还可以有中间文件。

对象窗口可以开关。

文本可能在上下位找，放在一定模版上。

程序可操作，

操作对象

程序必要参数，填上符号程序生成数据列表，图示的程序。

按钮说明

结果存放地方