有趣的概率问题

有趣的概率问题

保险业的兴起

18世纪的欧洲，因工商业的迅速发展，加之概率论的研究，兴起了一门崭新的行业――保险业. 保险公司为了获取利润，必须先调查统计火灾、水灾、意外死亡等事件的概率，据此来确定保险的价格.

例如，要确定人寿保险的价格，先统计各年龄段死亡的人数，如右表. 然后算出死亡概率，如40岁，死亡概率为765÷78 106≈0.009 8，如有一万个40岁的人参加保险，每人付A元保险金，死亡可得B元人寿保险金，预期这1万个人中死亡数是9.8人，因此，保险公司需付出9.8×B元人寿保险金，其收支差额10 000×A-9.8×B（元）就是公司的利润.

扑克牌中的概率

四条（四张同点数的牌）出现概率≈0.0 002 401；

同花（四张同花色的牌）出现概率≈0.001 981；

顺子（五张连续点数的牌）出现概率≈0.00 394；

同花顺（五张同花色的顺子）出现概率≈0.00 001 539；

葫芦（三张同点数，二张另同点数）出现概率≈0.00 144.

按照概率的大小，决定打牌的游戏规则：

同花顺>四条>葫芦>同花>顺子.

两个骰子的概率

装错信封

概率计算往往与组合计数有关，这里介绍一下“装错信封”问题.

装错信封问题由法国数学家蒙莫尔于1713年提出，并给出解法. 后来瑞士数学家伯努利提出等价命题. 大数学家欧拉称赞该问题是组合数学的妙题.

某人写了4封信，并在4只信封上写下4个收信人的地址与姓名. 但匆忙之中，他把所有信笺装错了信封. 问有几种可能的错装情况？

我们把信封记为A、B、C、D，

相应的信笺记为a、b、c、d.

两封信装错的可能性只有1种：Ab Ba

三封信装错的可能性只有2种：

Ab Bc Ca 和Ac Ba Cb

四封信装错的可能性共有9种：

Ab Ba Cd Dc Ac Ba Cd Db Ad Ba Cb Dc

Ab Bc Cd Da Ac Bd Ca Db Ad Bc Ca Db

Ab Bd Ca Dc Ac Bd Cb Da Ad Bc Cb Da

同学的生日会相同吗

如果我说“班上一定有两个同学的生日是相同的！”你

肯定不相信.但是，我告诉你，这是极可能发生的事.为什么呢？我们可以分析，1号同学与你的生日不同，那他的生日只能在一年365天中的另外364天中，即生日选择可能性为364/365；而2号同学与你和1号同学的生日不同，可能性为363/365；3号同学不同，可能性为362/365；如此类推，得到全班50名同学生日都不同的概率为365×364×…×316÷36550≈0.029 5，而50人中有人生日相同的概率为1-0.029 5=0.970 5. 这一算，你会相信了，生日相同的把握有97%呢！

路边的骗局

路边有人“摆地摊”，摊主拿了黑白各8个围棋子放进袋子里，然后对围观者说，凡愿摸彩的，每人先交1元钱，然后一次从袋中摸出5个棋子.奖励办法是摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到3个白子得小纪念品.不少人都想拿1元钱去碰碰“运气”，结果均大失所望.其实这是一个低级的骗局，只要计算一下得奖的可能性，你就会明白.

原来只有1/3的人可能得个几角钱的纪念品，想得20

元钱的奖可要千里挑一.

汽车与山羊

这是一个美国的电视有奖参与游戏节目，主持人是蒙帝?霍尔.如果你被选中参加竞猜，便有机会赢得一辆汽车.节目现场有三扇门，后面藏着一辆汽车和两只山羊.如果你选择1

号门，此时主持人（他知道汽车藏在哪儿）会按规则打开另一扇门，让大家看到一只山羊.同时会给你改变刚才选择的机会.你说改变不改变呢？究竟哪一种情况概率大呢？

这个问题引起公众和学者的广泛关注，解答更是众说纷纭.

正确的举措是选择“改变”，理由是选择改变，赢得汽

车的概率为，选择不改变，概率仅有，同学们可以自己算一算.

睡美人的故事

这是根据法国童话故事《睡美人》编的一道概率趣题：一位美丽的公主中了邪魔的诅咒，昏睡不醒.国王想尽方法进行治疗，却毫无效果，只好将她安放在城堡的密室之中.若干年后，一群求婚者慕名而来，不但闯入了城堡，而且找到了一串相关的钥匙.他们询问看门老人，只知道有一把钥匙能打开密室，却不知是哪一把.恰好钥匙数与求婚者人数相等，每人只可任取一把试开.谁有机会进入密室，以真爱唤醒公主呢？求婚者争先恐后，唯恐落在后面，失去了机会.

问题是，每人取一把钥匙试开是：1. 先开的概率大？2. 后开的概率大？3. 各人的概率都一样大？