向量的数量积(二)

§ 2.4 向量的数量积（二）

编写：唐肖准 审核：顾冬梅 2015-1-8

【学习目标】：

1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用；

2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式.

【重点与难点】：

重点：数量积的坐标表达式及其简单应用；

难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.

【教学思路】：

活动一

1. 两向量共线的坐标表示；

2. 如何用坐标表示a b ⋅？

活动二

1．向量数量积的坐标表示：

设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用a 和b 的坐标

表示a b ⋅.

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b ⋅2121y y x x +=

2．长度、夹角、垂直的坐标表示： （1）长度：设(,)a x y =，则2||a = ||a ⇒=

（2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB −−→= ；

（3）夹角：cos θ= ；（πθ≤≤0）

（4）垂直的等价条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a

⊥⇔

活动三

例1. 已知(2,1),(3,2)a b =-=-，求(3)(2)a b a b -⋅-.

例2. 设(6,2),(3,)a b k ==-，当k 为何值时：

（1）//a b ？ （2）a b ⊥ （3）a b 与的夹角是钝角？

变式1：已知1,3,(3,1)a b a b ==+=，试求：

（1）a b +； （2）a b +与a b -的夹角。

例3. 在ABC ∆中，设)3,2(=−→−AB ，),1(k AC =−→

−，且ABC ∆是直角三角形，求k 的值。

变式1：已知(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=，求证ABC ∆是等腰直角三角形。

变式2： 如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=， 求点B 和向量−→−AB 的坐标。

活动四、巩固深化，反馈矫正

1、给定两个向量)2,1(=a ，)1,(x b =，若)2(b a +与)22(b a 平行，则x 的值等于

2、(1,1),(13,13)a b ==-+两个向量,a b 的夹角

3、已知平面内三个点A )7,1(、B )0,0(、C )3,8(、D 为线段BC 上一点，且)(DA CA BA ++⊥BC ，求D 点坐标。

活动五、归纳整理，整体认识

1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件．

2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式；

活动六.课后作业 班级 姓名

1.已知(1,2),(3,2),(2,1)a b c ==-=-，求a a ⋅= .a b ⋅= a c ⋅=

2.已知(2,8),(8,16)a b a b +=--=-，a b ⋅= .

3.两个向量(3,1),(23,2)a b ==-的夹角

4. 已知(1,2),(3,2)a b ==-.a b += ；a b -=

k= ，向量ka b +与3a b -垂直k= 时，向量ka b +与3a b -平行

5．若(4,3),||1,5a b a b =-=⋅=，则向量b =

6.已知点A(-2，3),B(2，3),C(-2，-1),则三角形ABC 的形状为

7．已知(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不大于5，则k 的取值范围为

8．与(3,2)a =垂直的单位向量为

9．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值是 、

最小值分别是

10.设(,3),(2,1)a x b ==-，若a b 与的夹角为钝角，求x 的取值范围。

10.已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，0αβπ<<<，（1）求证：()()a b a b +⊥- （2）若ka b +与a kb -的模相等，且0k ≠，求βα-的值。

2014级高一数学集体备课讲义 编号：055 11.已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求y x ,的值使(x a +y b )⊥a ，且|x a +y b |=1.

12、已知△ABC 中，A )1,2(-、B )2,3(、C )1,3(--，BC 边上的高为AD ，求D 点坐标及AD 的坐标。

13、已知平面向量a =(3,-1)，b =(21,2

3)， (1)证明：a ⊥ b ；

(2)若存在不同时为零的实数k 和g ，使x =a +(g 2-3)b ，y =-k a +g b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (g )；

(3)椐(2)的结论，讨论关于g 的方程f (g )-k =0的解的情况