一格林公式及其应用
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5
注： 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向，则
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 边界必须是区域的整个边界。
证明：(1)特殊情形
设区域 D 既是 X 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L至 多交于两点.
y E
y 2 ( x)
d 型x 1 ( y) A c o a
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b}
D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
第九节 各种积分间的关系
一 格林（Green)公式及其应用
二 高斯(Gauss)公式
Fra Baidu bibliotek
格林 （Green.George） 简介 磨坊工数学家
格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家
8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅
力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表
了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却
y2
y2
,
y
1 B D A
应用格林公式,有
o
y2
1
x
e D
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
dy
1 1 dx (1 e ). 2
xe
OA
dy xe
15
x2
例3
xdy ydx 计算 ,其中 L为一条 2 2 L x y
函数P x, y , Q x, y 在D上有一阶连续
偏导数，则有 Q P ( ) dxdy Pdx Qdy L x y D
其中L取正向.
?4
格林公式
y
L
D
y
L1
D
L2
L2
x
x o L正向：逆时针
o
L由L1与L2组成
规 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界 定 行走时,区域D总在他的左边.
2 2
17
(1) 当(0, 0) D 时, xdy ydx 由格林公式知 L x2 y2 0
y L
D
(2) 当(0,0) D 时,
2 2
o
2
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
记 D1 由 L和 l 所围成,
y
L
应用格林公式,得
Q P x y dxdy Pdx Qdy D1 L l
( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
10
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证: 令 P 2 x y , Q x , 则
7
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
Q dxdy Q( x , y )dx L x D
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy
1 2 3
9
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D1 D2 D3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
一 格林公式及其应用
1.区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成
的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为
复连通区域.
D D
有洞
单连通区域
3
复连通区域
2.格林公式
定理1
二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
2
利用格林公式 , 得
2x y d x x
L
2
d y 0 d x d y 0
D
13
(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e
D
y2
D 是 dxdy ,其中
以O ( 0,0), A(1,1), B( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域.
14
解
令 P 0, Q xe Q P y2 e , 则 x y
18 o
l
D1
r
x
0
Q P Pdx Qdy dxdy Pdx Qdy x y L l D1 L l
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
L3 D3 D2 L2
若区域 D 由分段光 滑的闭曲线围成.如图,
将 D 分成三个既是 X 型又 是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 .
D1
L1
D
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
无重点,分段光滑且不经过原点的连续 闭曲线, L的方向为逆时针方向.
16
xdy ydx L x 2 y 2
解 记 L所围成的闭区域为 D ,
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y
则当 x 2 y 2 0时,
Q y x P 有 2 . 2 2 x ( x y ) y
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
y
d
d
d x 1 ( y)
A C
E D B
x 2 ( y)
L Q ( x , y )dy
c
P 同理可证 dxdy L P ( x , y )dx D y
8
o
x
两式相加得 证明(2)
注： 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向，则
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 边界必须是区域的整个边界。
证明：(1)特殊情形
设区域 D 既是 X 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L至 多交于两点.
y E
y 2 ( x)
d 型x 1 ( y) A c o a
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b}
D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
第九节 各种积分间的关系
一 格林（Green)公式及其应用
二 高斯(Gauss)公式
Fra Baidu bibliotek
格林 （Green.George） 简介 磨坊工数学家
格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家
8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅
力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表
了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却
y2
y2
,
y
1 B D A
应用格林公式,有
o
y2
1
x
e D
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
dy
1 1 dx (1 e ). 2
xe
OA
dy xe
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x2
例3
xdy ydx 计算 ,其中 L为一条 2 2 L x y
函数P x, y , Q x, y 在D上有一阶连续
偏导数，则有 Q P ( ) dxdy Pdx Qdy L x y D
其中L取正向.
?4
格林公式
y
L
D
y
L1
D
L2
L2
x
x o L正向：逆时针
o
L由L1与L2组成
规 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界 定 行走时,区域D总在他的左边.
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(1) 当(0, 0) D 时, xdy ydx 由格林公式知 L x2 y2 0
y L
D
(2) 当(0,0) D 时,
2 2
o
2
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
记 D1 由 L和 l 所围成,
y
L
应用格林公式,得
Q P x y dxdy Pdx Qdy D1 L l
( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
10
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
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3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证: 令 P 2 x y , Q x , 则
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d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
Q dxdy Q( x , y )dx L x D
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy
1 2 3
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Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D1 D2 D3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
一 格林公式及其应用
1.区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成
的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为
复连通区域.
D D
有洞
单连通区域
3
复连通区域
2.格林公式
定理1
二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
2
利用格林公式 , 得
2x y d x x
L
2
d y 0 d x d y 0
D
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(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e
D
y2
D 是 dxdy ,其中
以O ( 0,0), A(1,1), B( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域.
14
解
令 P 0, Q xe Q P y2 e , 则 x y
18 o
l
D1
r
x
0
Q P Pdx Qdy dxdy Pdx Qdy x y L l D1 L l
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
L3 D3 D2 L2
若区域 D 由分段光 滑的闭曲线围成.如图,
将 D 分成三个既是 X 型又 是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 .
D1
L1
D
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
无重点,分段光滑且不经过原点的连续 闭曲线, L的方向为逆时针方向.
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xdy ydx L x 2 y 2
解 记 L所围成的闭区域为 D ,
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y
则当 x 2 y 2 0时,
Q y x P 有 2 . 2 2 x ( x y ) y
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
y
d
d
d x 1 ( y)
A C
E D B
x 2 ( y)
L Q ( x , y )dy
c
P 同理可证 dxdy L P ( x , y )dx D y
8
o
x
两式相加得 证明(2)