全国高考复数复习专题(20200616224412)

2
z1 z2 0 ；（ 6） z
z2
2
z
2
z.
其中正确的命题是 ____________；
7
例 15：是否存在复数 z 同时满足条件： ① 1
10 z
6 ；② z 的实部、 虚部为整数。 若存在 ,
求出复数 z ,
若
z
不存在 ,
说明理由。
例 16：设 z1是已知复数 ,
z 为任意复数且 z 1, z z z1 ,
1 (x 3)2 1上运动 , 2
求复数 z 所对应的点 P( x, y) 的轨迹方程；
( 3 ,1) 方向平移 , 2
得到新的轨迹 C,
求 C 的方程。
（ 3）轨迹 C 上任意一点 A（异于顶点） 作其切线 l ,l 交 y 轴于点 B。问：以 AB 为直径的圆是否恒过 x 轴上一定点？
若存在 ,
（ 2）将 x, y 作为点 P 的坐标 ,
a, b 作为点 Q 的坐标 ,
上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：
它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q,
当点 P 在直线 y x 1 上移动时 ,
试求点 P 经该变换后得到的点
Q 的轨迹方程； （ 3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在
则复数 对应的点的轨迹是 (
)
A 、以 z1 的对应点为圆心、 1 为半径的圆；
B 、以 z1的对应点为圆心 ,
1 为半径的圆；
1 C、以 z1 的对应点为圆心、
2
1
D 、以
z1 的对应点为圆心
2
1
为半径的圆；
2
,
1 为半径的圆；
2
例 17：满足方程 z Re z 1的复数 z 对应的点的轨迹是 (
且满足 t1 t2 2 3 。
（ 2）当 a 0 时 ,
若对于任意 x R,
不等式 log a x2 a
k 2 2mk 2k 对于任意的 k
立,
求实数 m 的取值范围。
1 2, 恒成
2
例 5：已知复数 z1 满足 (1 i ) z1 求 a 的取值范围。
1 5i , z2 a 2 i ,
其中 i 为虚数单位 ,
9.在复平面内 ,
复数 6 5i, 2 3i 对应的点分别为 A, B ,若 C 为线段 AB 的中点 ,
则点 C 对应的复数是
10. 复数 z
(a 2
2a
3)
( a2
a
1 )i (a
R) 在复平面内对应点位于
象限
2
11. 已知复数 Z 满足 z 1,
求 z 1 3i 的最值
4
四、精选
2
2
例 1：已知 z 2 3i z 2 3i 40 ,
求 z；
例 2：已知 z
2
3 4i 2
10
31 i
22
4
,
3i
求z；
例 3：设 z 为虚数 ,
1 z 为实数 ,
且1
2。
z
（ 1）求 z 的值及 z 的实部的取值范围；
1z
（ 2）证明： u
为纯虚数；
1z
例 4：已知关于 t 的方程 t 2 2t a 0(a R) 有两个根 t1、 t2 , （ 1）求方程的两个根以及实数 a 的值；
1. 若 z 3 4i 2 ,
则 z 的最大值是
2. 下列各式不正确的是
2i
A． i
1
B.
1
i
C.
i
3. 对于两个复数
3
3 2,
13 i,
22 其中正确的结论的为（
2
ii i
13 i,
22 ）个
D
i 1i
有下列四个结论：①
（）
1；②
1 ；③
1 ；④
4. 设 f ( z) 1 z, z1 2 3i , z2 5 i, 则 f ( z1 z2 ) 5．若 z C 且 | z 2 2i | 1,则 | z 2 2i | 的最小值是
距离。 二、复数中的方程问题： 1、实系数一元二次方程的根的情况：
对方程
2
ax
bx
c
0 （其中 a, b, c
R且 a
0）,
当 0时,
当 =0 时,
方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实根；
2
令 b 4ac ,
当 0时,
方程有两个共轭虚根： x1
2、一元二次方程的根与系数的关系：
b
i
, x2
则 z＝
1
5. 复数 (1 1)4 的值是 i
考点 2：复数的模长运算
3i
1.已知复数 z (1
3i )2 ,
则 z 等于
2. 已知 0 a 2 ,
复数 z 的实部为 a ,
虚部为 1,
则 z 的取值范围是
考点 3：复数的实部与虚部
3
1. 复数 (1 i ) 的虚部为
考点 4：复数与复平面内的点关系
a 1 a19 ； 0 a 1时 , 1a
11、 95； 12、略； 13、 4； 14、（ 1）（ 4）； 15、存在、 z 1 3i 或 z 3 i ；
16、 D； 17、 D； 18、 C； 19、C ；
a2 2, a 2
20、 2a2 4a 2, a
；
2
a 21 ； 1a
22、（ 1） m
x' 3, y'
求一个根的模是 2,
求实数 a, b 的值。
例 10：设两复数 z1 , z2 满足 z12 a x z1z2
a 40 z22 4
0 （其中 a
0且 a 1,
x R）,
求 z1 是虚数。 z2
6
（ 1）求证： z1 是定值 , z2
求出此定值；
（ 2）当 x N 时 ,
求满足条件的虚数 z1 的实部的所有项的和。 z2
D 、两个圆
例 20：设复数 z ( 2x a) (2 x a)i , x、 a R ,
当 x 在 , 内变化时 ,
求 z 的最小值 g a 。
例 21：若复数 z1 和 z2 满足： z2 az1i (a 0) ,
且 z2 z1 z1 z2 8 4 2 。 z1 和 z2 在复平面中对应的点
为 Z1 和 Z 2 ,
1. 在复平面内 ,
1
复数
i 对应的点位于
i
2. 在复平面内 ,
复数 z sin 2 i cos2 对应的点位于
A．第一象限
B ．第二象限
C
．第三象限
D ．第四象限
3. 在复平面内 ,
2 复数
i 对应的点位于
1i
A. 第一象限
B. 第二象限
C.
第三象限
4. 若 z x 2 2 x 3 x 2 5x 6 i 对应的点在虚轴上 ,
() D. 第四象限
则实数 x
考点 5：共轭复数 1.复数 5 的共轭复数是
1 2i
2. 若 a 2 bi 与 3a i 互为共轭复数 ,
则实数 a、 b 的值分别为
（）
3. 把复数 z 的共轭复数记作 z ,
已知 (1 2i ) z 4 3i ,则 z 等于
考点 6：复数的周期
1.已知 f (n) i n i n (n N ) ,
（ 1）若 x1 x2 3 ,
求实数 p ；
（ 2）若 x1 x2 3 ,
求实数 p ；
p R。
例 8：已知复数 z a bi (a, b R ) 是方程பைடு நூலகம்x2 4x 5 0 的根 , 求 u 的取值范围。
复数 u 3i (u R) 满足
z 2 5,
例 9：关于 x 的方程 x2 (2a bi ) x a bi 0 有实根 ,
A． 2
B. 3
C.
则集合 f (n) 的元素个数是
4 D. 无数个
考点 7：复数相等 1. 已知 2x 1 ( y 1)i x y ( x y)i ,
求实数 x、 y 的值。
（）
2
2. 已知 x, y R ,
x
y
5
且
,
1 i 1 2i 1 3i
求 x、 y 的值。
(1 i )2 3(1 i )
3. 设 z
（ 3）除法： a bi ac bd bc c di c 2 d 2 c 2
3、复数的共轭与模： 共轭复数 :
（ 2）乘法具有交换律、结合律、分配律；
ad d2
i(c
di
0) 。
复数的模 :
复平面 : 复数 z a bi 与点 Z a, b 是一一对应关系 ,
另： z 与 z 关于 x 轴对称 ,
z 表示 z 对应点与原点的
复数 z m2 (1 i ) m(2 3i ) 4(2 i ) ,
当 m 取什么实数时 ,
z是
（ 1）实数；
（ 2）虚数；
（3）纯虚数；
（ 4）零。
2. 如果复数 (m2 i)(1 mi ) 是实数 ,
则实数 m
若复数 ( a2-3 a+2)+(a-1) i 是纯虚数 ,
则实数 a 的值为
3
考点 10：复数的综合问题
1 2 ；（ 2）①当 0 p 时 ,
4
方程无解； ②当 p 0
时,
p
2 ；③当 p
1
时,
9 p ；8、 u
2,6 ； 9、当 b 0 时 ,
4
4
a
或 a ；当 b 0 时 ,
4
4
5
3
a1 a1
,
。
b 3b 3
ax
10、（ 1）
2
a40 a2 x i,
2
定值 a 20 ；（ 2） a 1 时 , 2
坐标原点为 O,
且 OZ1 OZ2 ,
求 OZ1Z 2 面积的最大值 ,
并指出此时 a 的值。
8
例 22：已知复数 z0 1 mi m 0 , z x yi, a bi x , y, a,b R ,
i 为虚数单位 ,
且对于任意复数 z ,
有 z0 z, 2 z 。 （ 1）试求 m 的值 ,
并分别写出 a 和 b 用 x、 y 表示的关系式；
3
3
6 cos i sin
6
6
例 13：给定复数 z ,
在z,
z, z
z,
z,
z,
2
z,
2
z,
z2
这八个值中
,
不同值的个数至多是 ___________。
例 14：已知下列命题
（ 1） z z z R ；（ 2） z z z 为纯虚数；（3） z1 z2 0 z1 z2 ；
（ 4） z1 z2 0
z1 0或 z2 0；（ 5） z12 z22 0
2
b 2
若方程 ax2 bx c 0 （其中 a, b, c R 且 a 0 ）的两个根为 x1、 x2 ,
考点 1：复数的基本运算
1 3i
1. 复数
等于
3i
i
。
x1 x2
则
x1 x2
b a； c a
2. 已知复数 z 满足（ 3 ＋ 3i） z＝ 3i,
3.
3＝ (1－ i) 2
(1+i) 2 4.复数 1－ i 等于
6. 设复数 a R, z a i, p z z, , q z z ,
则 p、q 的关系是
A．不能比较大小
B ．p q
C ．p q D ． p q
（）
7.在复平面内 ,
若复数 z 满足 | z 1| | z i | ,
则 z 所对应的点的集合构成的图形是
8.已知 ABC 中 ,
AB, AC 对应的复数分别为 1 2i, 2 3i, 则 BC 对应的复数为
复数
一、复数的概念及运算：
1、复数的概念：
（ 1）虚数单位 i ；
（ 2）实部： a,
虚部： b；
实数 (b
有理数 0)
（ 3）复数的分类 ( z a bi )
无理数
a,b R ；
虚数 (b 0) 纯虚数 (a 0)
非纯虚数 (a 0)
（ 4）相等的复数： 2、复数的加、减、乘、除法则： （ 1）加减法具有交换律和结合律；
些直线；若不存在 ,
则说明理由。
,
试求出所有这
例 23：已知复数 z1 m ni , z2 2 2i 和 z x yi ,
其中 m, n, x, y 均为实数 ,
且 z z1i z2 。
（ 1）若复数 z1所对应的点 M (m, n) 在曲线 y （ 2）将（ 1）中点 P 的轨迹上每一点沿向量 a
a R,
若 z1 z2 z1 ,
5
例 6：设虚数 z 满足 2z 5 z 10 。
（ 1）求 z 的值；
（ 2）若 z
m
为实数 ,
mz
求实数 m 的值；
（ 3）若 1 2i z 在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上
,
求复数 z 。
例 7：已知方程 x 2 x p 0 有两个根 x1和 x2 ,
求出此定点坐标；若不存在 ,
则说明理由。
9
例题答案：
1
1 、 7 ； 2、 1 ； 3 、（ 1 ）
Re z 1 ；（ 2 ） 略 ； 5 、 a 1,7 ； 6 、（ 1 ） z 5 ；（ 2 ） m
2
5 ；（ 3 ）
10 3 10
z
i或 z
2
2
10 3 10
5
i ；7、（ 1）p 或 p
2
2
2
)。
A 、圆
B 、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
例 18：复平面内 ,
满足 z (1 i) z (1 i ) 2 的复数 z 所对应的点的轨迹是 (
)
A 、椭圆
B、双曲线
C、一条线段
D、不存在
2
例 19：满足方程 z 15 z 16 0 的复数 z 对应的点的轨迹是
(
)
A 、四个点
B 、四条直线
C 、一个圆
,
2i
若 z2 az b 1 i ,
求实数 a、b。
m
4. 已知
1 ni ，其中 m， n是实数， i 是虚数单位，则 m ni
1i
考点 8：复数比较大小
1.使得不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10成立的实数的值为 _______
考点 9：复数的各种特殊形式
1. 已知 i 是虚数单位 ,
例 11：设两个复数 z1、 z2 满足 100 z12 z22 kz1z2 k R ,
条件的虚数 z2 的实部之和。 z1
并且 z2 是虚数 , z1
当 k N 时,
求所以满足
例 12：计算：（ 1） 2 cos
i sin
3 cos i sin
12
12
6
6
5
（ 2） 3 cos i sin
5
5
（ 3） 12 cos i sin