运筹学基础及应用(第一二章习题解答)精品资料
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得:最优解为2、用图解法求解线性规划: Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解:由图可得:最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解:由图可得:最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得:最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示,在(4,2)这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式:Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解:令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0,引入剩余变量x 5≥0,并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束,321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解:令Z ’ = -z ,引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题及答案
当 0,目标函数在B点有最大值;
当 0,目标函数在原点最大值。
k 0时, , 同号。
当 0时,目标函数在A点有最大值
当 0时,目标函数在原点最大值。
k 0时, , 异号。
当 0, 0时,目标函数在A点有最大值;
当 0, 0时,目标函数在C点最大值。
k= 时, , 同号
当 0时,目标函数在AB线断上任一点有最大值
+ + 2000
化成标准形:
Max =-2 -3 - +0 +0 -M -M
S.T.
+4 +2 - + =4
3 +2 - + =6
, , , , , , 0
(单纯性表计算略)
线性规划最优解X=(4/5,9/5,0,0,0,0
目标函数最优值min z=7
非基变量 的检验数 =0,所以有无穷多最优解。
两阶段法:
第一阶段最优解X=(4/5,9/5,0,0,0,0 是基本可行解,min w=0
(1)min z=-3 +4 -2 +5
4 - +2 - =-2
+ +3 - 14
-2 +3 - +2 2
, , 0, 无约束
(2)max
0 (i=1…n; k=1,…,m)
(1)解:设z=- , = - , , 0
标准型:
Max =3 -4 +2 -5( - )+0 +0 -M -M
s. t .
-4 + -2 + - + =2
最大值为 =117/5;最优解 =(34/5,0,0,7/5 。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论P51.、区别决策中的定性分析和定量分析,试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时,定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时;或者是如此重要而复杂,以致需要全面分析(如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组)时,或者发生的问题可能是重复的和简单的,用计量过程可以节约企业的领导时间时,对这类情况就要使用这种方法。
举例:免了吧。
2、.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些?.观察待决策问题所处的环境;.分析和定义待决策的问题;.拟定模型;.选择输入资料;.提出解并验证它的合理性(注意敏感度试验);.实施最优解;3、.运筹学定义:利用计划方法和有关许多学科的要求,把复杂功能关系表示成数学模型,其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、.为了对商品的价格作出较正确的预测,为什么必须做到定量与定性预测的结合?即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中,关于权数以及平滑系数的确定,是否也带有定性的成分?答:(1)定量预测常常为决策提供了坚实的基础,使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差,因为市场千变万化,影响价格的因素很多,有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性,原始数据不一定充分,所用的模型也往往过于简化,所以还需要定性预测,在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时,就只能用定性预测了。
(2)加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分;指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5个年度的大米销售量的实际值(见下表),试用指数平滑法,取平滑系数α=0.9,预测第6年度的大米销售量(第一个年度的预测值,根据专家估计为4181.9千公斤)年度12345大米销售量实际值(千公斤)52025079393744533979。
答:F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F16=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据,列入下列表中(表略),计算:(1)回归参数a,b(2)写出一元线性回归方程。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章:线性规划一、选择题1. 线性规划问题中,目标函数可以是()A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案:C解析:线性规划问题中,目标函数可以是最大化也可以是最小化,关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中,约束条件通常表示为()A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案:C解析:线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案:线性性2. 线性规划问题中,若决策变量个数和约束条件个数相等,则该问题称为______。
答案:标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题:Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案:最优解为 x = 4, y = 2,最大值为 Z = 14。
解析:画出约束条件的图形,找到可行域,再求目标函数的最大值。
具体步骤如下:1) 将约束条件化为等式,画出直线;2) 找到可行域的顶点;3) 将顶点代入目标函数,求解最大值。
第二章:非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题()A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案:B解析:非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解,单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中,以下哪个条件不是K-T条件的必要条件()A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案:D解析:K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件,与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中,若目标函数和约束条件都是凸函数,则该问题称为______。
答案:凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中,K-T条件是求解______的必要条件。
运筹学基础和应用(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解,即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ,此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ,最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ,由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ,2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ,表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z (b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ,最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ,4P ,5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =,由此列出初始单纯形表21σσ>。
运筹学基础章节习题详解
章节习题详解第1章导论1.区别决策中的定性分析和定量分析,试各举出两例。
答:决策中的定性分析是决策人员根据自己的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策,在许多情况下这种做法是合适的。
例1 在评定“三好生”的条件中,评价一个学生是否热爱中国共产党,尊敬师长,团结同学,热爱劳动等属于定性分析,它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好而定。
在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%,这种比例是决策者们通过协商和主观意识得出的,它也属于定性分析的范畴。
决策中的定量分析是借助于某些正规的计量方法去作出决策的方法,它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采用的数学方法。
例2 在普通高等学校录取新生时,通常按该生的入学考试成绩是否够某档分数线而定,这就是一种典型的定量分析方法。
另外,在评价一个学生某一学期的学习属于“优秀”、“良好”、“一般”、“差”中的哪一类时,往往根据该生的各科成绩的总和属于哪一个档次,或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪一个档次而定。
这也是一种典型的定量分析方法。
2.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些?答:运用运筹学进行决策过程的几个步骤是:1.观察待决策问题所处的环境;2.分析和定义待决策的问题;3.拟定模型;4.选择输入资料;5.提出解并验证它的合理性;6.实施最优解。
3.简述运筹学的优点与不足之处。
答:运用运筹学处理决策问题有以下优点:(1)快速显示对有关问题寻求可行解时所需的数据方面的差距;(2)由于运筹学处理决策问题时一般先考察某种情况,然后评价由结局变化所产生的结果,所以不会造成各种损失和过大的费用;(3)使我们在众多方案中选择最优方案;(4)可以在建模后利用计算机求解;(5)通过处理那些构思得很好的问题,运筹学的运用就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题,而这些问题常常要依赖于足够的主观经验才能解决的;(6)某些复杂的运筹学问题,可以通过计算机及其软件予以解决。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章:引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科,旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域,如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划,优化供应链管理,提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题,优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域,如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中,可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局,提高货物的运输效率。
在生产计划中,可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期,降低生产成本。
在供应链管理中,可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理,提高供应链的效率。
在流程优化中,可以使用运筹学方法优化业务流程,提高整体效率。
习题2在物流管理中,可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划,以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中,可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量,以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中,可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度,以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中,可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配,以提高流程效率和客户满意度。
第二章:线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法,用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为:max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中,c是目标函数的系数向量,x是决策变量向量,A是约束矩阵,b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题,如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学1至6章习题参考答案
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj(j=1,2,…,6)分别为1~6月份的生产量和销售量,则数学模型为
(1)
(2)目标函数不变,前6个约束右端常数800改为1000,第7~11个约束右端常数200改为0,第12个约束“≤200”改为“=-200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资:
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
运筹学各章的作业题答案解析
《管理运筹学》各章的作业----复习思考题及作业题第一章绪论复习思考题1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点,结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
第二章线性规划建模及单纯形法复习思考题1、线性规划问题的一般形式有何特征?2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步?3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么?4、求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误?5、什么是线性规划的标准型,如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法?9、大M法中,M的作用是什么?对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取优质参考资料(2)x i3(1)什么?最大化问题呢?10、什么是单纯形法的两阶段法?两阶段法的第一段是为了解决什么问题?在怎样 的情况下,继续第二阶段?作业题:1 、把以下线性规划问题化为标准形式:(i) max z= x i -2x 2 +x 3s.t.x i +x 2 +x 3 w i2 2x i +x 2 -x 3> 6 -x i+3x 2=9x i , x 2,x 3> 0(2)min z= -2x i -x 2 +3x 3 -5x 4s.tx i +2x 2 +4x 3 -x 462x i +3x 2-x 3 +x 4 = i2x i+x 3+x 4w 4x i ,x 2,x 4maxz= x i+3x 2 +4x 3(3)s.t.3x i +2x 2w i3x 2 +3x 3w i72x i+x 2 +x 3 =i3x i ,x 3> 02 、用图解法求解以下线性规划问题max z= x 1+3x 2s.t.x i +X 2< 10-2x i +2x 2 w 12 X i w 7 x i ,X 2 > 0min z= x 1 -3x 2 s.t.2x 1 -x 2 w 4 x i +X 2> 3x2 w 5 w4x1, X2 > 03、在以下问题中,列出所有的基,指出其中的可行基,基础可行解以及最优解max z= 2x1 +x2 -x 3s.t. x1 + x2 +2x3 < 6x1 +4x2 -x 3 < 4x1, x2, x3 > 04、用单纯形表求解以下线性规划问题(1) max s.t. z= x1x12x 1-x 1x 1, -2x 2 +x3+X2 +X3 w 12 +X2 -x 3 w 6+3X2X2,w 9X3 > 0(2) min z= -2x 1 -X 2 +3X3 5X 4s.t x1 +2X 2 +4X3 -X 4 w 62x1 +3X 2 -X 3 +X4 w 12x1 +X3 +X4 w 4x1, X2, X3, X4 05、用大M法和两阶段法求解以下线性规划问题(1) MaX z= X1 +3X2 +4X3s.t. 3X 1 +2X2 w13X2 +3X3 w172X 1 +X2 +X3 =13X 1, X2, X3> 0(2) maX z= 2X 1 -X 2 +X3s.t. X1 +X2 -2X 3 w84X 1 -X 2 +X3 w22X 1 +3X2 -X 3 > 4X 1, X2, X3 > 06 、某饲养场饲养动物,设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100 毫克维生素。
运筹学1-2章答案
1.1解(1)用图1-1中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域,目标函数123z x x =+,即21133z x x =-+是斜率为13-的一族平行线,易知123,0x x ==为可行解,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线1233x x +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至A 点,A 点坐标为(2,4)。
所以 max 23414z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
(2)用图1-2中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域,目标函数121.5z x x =+,即212233x x z =-+是斜率为23-的一族平行线,易知123,0x x ==为可行解,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得。
将直线121.53x x +=沿其法线方向逐渐向下平移,直至B 点,B 点坐标为31(,)22。
所以 319max 1.5224z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
(3)用图1-3中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域,目标函数1222z x x =+,即212zx x =-+是斜率为1-的一族平行线,易知120,0x x ==为可行解。
在将直线12220x x +=沿其法线方向逐渐向上平移的过程中发现:目标函数的值可以增加到无穷大,故此线性规划问题为无界解。
(4)如图1-4所示,此问题的可行域为空集,故此线性规划问题无可行解。
1.4 (2)解法一:图解法图中的阴影部分为此线性规划问题的可行域,目标函数1225z x x =+,即21255z x x =-+是斜率为25-的一族平行线,易知120,0x x ==为可行解,将直线12250x x +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至B 点,B 点坐标为(2,6)。
所以 m a x22563z =⨯+⨯=解法2:单纯形法将上述问题化为标准型如下:12345max 25000z x x x x x =++++132412512345 + =4 212..3x 2 =18,,,,0x x x x s t x x x x x x x ⎧⎪+=⎪⎨++⎪⎪≥⎩表的最终结果表明:最优解 (2,6,2,0,0)T X =目标函数最优值 m a x34z = 迭代第一步得(1)(0,0,4,12,18)T X =表示图中原点。
运筹学基础与应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用习题解答习题一P461.1该问题有无穷多最优解1,即满足4X1 6X2 =6且0乞X2乞;2的所有X1,X2,此时目标函数值z =3。
(b)X2用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解1.3(1)图解法最优解即为严1 +4x2 -9的解X =h,?丨最大值Zu35 0X1 +2X2 =8 I 2 丿 2 (2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式max z =10x i 亠5x2 亠0x3 亠0x4丄3为+4X2 +刈=9st.』+2x2+x4=8则f,P4组成一个基。
令x i =x2 =0x = 0,0,9,8c c .「21 8 3■ -2 0, min ,-訂4 2丿2新的单纯形表为C j T10 5 0 0X1 X2 X3 X4C B基 b3 5 35 x 2 —0 12 2 14 1410 X1 1 1 21 07 75 25C j _Z j 0 014 143 * 35 ;「1,;「2 ::O 表明已找到冋题最优解X1 =1, X2 , X3 =0, X4 =0。
最大值z2 2(b)(1)图解法最优解即为6x1 2x2曲的解X = 7丄,最大值z上:X i +X2 =5 W2 丿 2(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式max z =2x1 x2 0x3 0x40疋st. 6x1 2x2 x4=24X i X2 X5 = 5则F3,F4,F5组成一个基。
令x i =X2 =0得基可行解x =[0,0,15,24,5 ,由此列出初始单纯形表Cj T 2 1 0 0 0\C B 基 b X1 X2 X3 X4 X5 \ \0 X 315 0 5 1 0 0X 4 24 ⑹ 2 0 1 00 X 55 1 1 0 0 1C j —Zj2 1 0 0 0日=min( 24 5^=4AO"2。
r 一-6 ‘1丿C j T210 0CB基bX 1X 2 X 3X 4X 5X 351151112X 4436■211X 51〔3」_6111C j 一Zj—33新的单纯形表为C j T21CB基b X 1X 2X 3X 4 X 515 015 15 0X 32 4 2711 2X 4 — 1—— 2 4 231 3 0X 51—■—— 24211 C j -Z j0 01 24二 min15訐,7 15二2 <0,表明已找到问题最优解X. =1 , X2 =2,冷巧,X“°, X. =0。
运筹学基础及应用第五版 胡运权资料
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,( i=1, 2, 3, 4,) 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
(2)若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
Y0
(1) 弱对偶性:
若 X0——原问题可行解,Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明: ∵ Y0 0, AX0 b, ∴ Y0 AX0 Y0 b,
而 Y0 A C , ∴ Y0AX0 CX0 ,
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
(2)最优性:
若 X0——原问题可行解,Y0——对偶问题可行解,且 CX0 = Y0b
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法1.用X j (j=1.2…5)分别代表5中饲料的采购数,线性规划模型:12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100(1,2,3,4,5,6)0j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解:设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数,z 表示所需的总人数,则123456161223344556min .607060502030(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3.解:设用i=1,2,3分别表示商品A ,B ,C ,j=1,2,3分别代表前,中,后舱,Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量,Z 表示总运费收入则:111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600().6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333122232112131132333865300086515008650.158658650.158658650.18650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. (1)Z = 4(2)12121212max .6101207051038z x x st x x x x x x =++≤+≥≤≥≤≥ 解:如图:由图可得: **(10,6)16T x Z == ; 即该问题具有唯一最优解*(10,6)Tx =(3)无可行解(4)12121212max 56.22232,0z x x st x x x x x x =+-≥-+≤≥ 如图:由图知,该问题具有无界解。
运筹学第一二章习题
1.11用单纯形法求解下列线性规划(1)123 123123max342312230,1,2,3jZ x x xx x xx x xx j=++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩(2)1234 123412341234max23553730 310 264200,1,,4jZ x x x x x x x xx x x xx x x xx j=+-+++-≤⎧⎪-++≤⎪⎨--+≤⎪⎪≥=⎩【解】单纯形表:因为λ7=3>0并且a i 7<0(i =1,2,3),故原问题具有无界解,即无最优解。
(3)1123812313123123max 32234421238410,,0Z x x x x x x x x x x x x x x =+--++≤⎧⎪-≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩原问题具有多重解。
基本最优解(1)(2)1273427237(3,,0,,0)(,0,,,0);841111114T X X Z ===及,最优解的通解可表示为)2()1()1(X a aXX -+=即3411227272(,,,,0),(01)1111811111111T X a a a a a =---≤≤(4)123123123max 3254625863240,1,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩1.14已知线性规划123412341234max 58742332203542300,1,,4jz x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≤⎪+++≤⎨⎪≥=⎩ 的最优基为B =⎡⎣⎢⎤⎦⎥2325,试用矩阵公式求(1)最优解;(2)单纯形乘子;(3)N N 13及;(4)λλ13和。
【解】1425344,(,)(4,8,),1122B B C c c -⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则 (1)14255(,)(,5)(0,5,0,),5022TTTB X x x B b X Z -=====,最优解 (2))1,1(1==-B C B π(3)1111335312444113122253334441141222N B P N B P --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)111333145(4,8)55012347(4,8)77012B B c C N c C N λλ⎡⎤⎢⎥=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦注:该题有多重解:X (1)=(0,5,0,5/2)X (2)=(0,10/3,10/3,0)X (3)=(10,0,0,0),x 2是基变量,X (3)是退化基本可行解 Z =501.15 已知某线性规划的单纯形表1-28, 求价值系数向量C 及目标函数值Z .【解】由j j i ijic c aλ=-有j j i ijic c aλ=+c 2=-1+(3×1+4×0+0×(-1))=2 c 3=-1+(3×2+4×(-1)+0×4)=1 c 5=1+(3×(-3)+4×2+0×(-4))=0 则λ=(4,2,1,3,0,0,0,),Z=C B X B =121.16 已知线性规划332211max x c x c x c Z ++= ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,32123232221211313212111x x x b x a x a x a b x a x a x a 的最优单纯形表如表1-29所示,求原线性规划矩阵C 、A 、及b ,最优基B 及B -1.【解】11162615,05105B B -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,c 4=c 5=0, 仿照第15题方法可求出c 1=12,c 2=11,c 3=14 由 1A BA -=得 621046230050130515A B A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由 1b B b -=得 6263205210b B b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 则有 623032(12,11,14),,051510C A b -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,11162615,05105B B -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.17 已知线性规划的单纯形表1-30.当1=( ),2=( ),a =( )时,21为唯一最优解. 当b 1=( ),b 2=( ),a =( )时,有多重解,此时λ=( )【解】(1)b 1≥0,b 2≥0,a <-3(2)b 1≥0,b 2≥0,a =-3, λ=(-2,0,0,0)2.3考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解;(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;(3)利用公式C B B -1求原问题的最优解; (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解. 【解】(1)原问题的对偶问题为123123123max 427212453200,1,2,3jw y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解,如X =(2,1)、Y =(1,0,1),由定理2.4知都有最优解。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
,其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性:X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性,设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T,为非基本可行解, ∵ X为可行解,
证:等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解, ∴ P1,P2,······,Pm线性相关,即有 1P1+2P2+······+mPm=0, 其中1,2,······,m不全为0,两端同乘≠0,得 1P1+2P2+······+mPm=0,······(2)
∵ >0, 1->0 ,当xj=0, 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
运筹学基础与应用(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解,即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ,此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1.3 (a) (1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ,最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ,由此列出初始单纯形表21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ,2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ 新的单纯形表为0,21<σσ,表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z(b) (1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ,最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩则3P ,4P ,5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =,由此列出初始单纯形表21=+x x 2621+x x21σσ>。
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及丨、V:用习题解答习题一 P461.1(a)2 = 3。
(b)用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公:it•范W,所以该问题无可行解。
1.2(a)约束方程组的系数矩阵最优解A.=(o,i a o,7,o,o)r(b)约束方程组的系数矩阵 f I 2 3 4、4 = l2 2 I 2,最优解1 = (^,0,11,0^ V55 )"1.3(a)(1)图解法⑵单纯形法首先在各约朿条件上添加松弛变铽,将问题转化为标准形式max z = 10a-, +5a'2 +0x3 +0a4[3a-. +4 义2 + A3 = 9 si.<[5a-j + 2X2 + a'4 = 8则A,P4组成个猫《=令 A = ;c2 = 0得-站可行解a_ = (0.0.9,8),山此列出初始单纯形表cr 2 >0, 0 - minj 2Ax2xi =~,a-3 =0, a 4最优解即为严+2X2=24的解x =卩,2V 最大值z : IA"i + X y =5I 2 2 /新的单纯形农为A', Xo X A14 14_5_ _25M ~T?q.qcO ,表明已找到问题垴优解.(b)(1)图解法17(2)单纯形法苘先在外约朿条件.h 添加松弛变M ,将问题转化为标准形式 max z = 2.v, + x 2 + Ox 3 + 0.v 4 + Oa 5 5a'2 + = 15 6.y, + 2x 2 + .v 4 = 240 00 --2 *^4o A :5、Q 0 一4(7,^2 <0,表明已找到问题最优解^ =1,X 2=- , A-32L估• 17Hi Z =——21.6(a)在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量,且令k = jc 2 -a :; (a*2 > 0,.v ; > o)Xx = ~X->该问题转化为max z' = -3a, - x 2 + .v 2 - 2a 3 + 0.v 4 + (Xv 5 2x | + 3a -2 - 3a 2+ 4a 3 +a 4 =12攀 M I4a'| +x 2 -A*2 -2a*3 —^5 =8 3a*, -X 2 +X 2 — 3a*3 = 6A*,, A '2,X 2, x 3,A-4 , A 3 ^ 0-K 约朿系数矩陴为23 -34 I 0 4 丨-1-20-13 -丨丨一3 0 0在A 屮人为地添加两列单位向虽/>7,2 3 -3 4 1 0 0 0 4 丨-1 -2 t) -1 丨 0 3-1 I -3 0 0 0 1令 max z'= -3a -i - x 2 +x 2- 2.v 3 + Oa:., + 0.v 5 - Mx 6 - Mx 7 得初始单纯形表15最大a 4 = 0,x 5SS ^ Xi x 2x 4 x 5 x 6-2 0 0M -M4 10 -I 0 00 0 0-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0-I-5(b)在约朿条件中添加松弛变M 或剩余变M ,.R 令a:3 (jc 3>0,.x ;>0)该问题转化为max z • = 一3^ - 5.v 2 + x ?- x ? + 0,v 4 + Ox 5 x, + 2X 2 + x^- x^-x 4 =6 2.v, + x 2- 3jc 3 - 3^:3 + a*5 = 16 x 2+ 5 a*3 一 5a*3= 10 •v p A :2,“x 4,A 5^0艽约柬系数矩阵为213-30-1 115-50 0v/ft A 屮人为地添加两列单位向觉p 7, 121-1-1010、2 13-30 100 115 -5 0 0 01、 /令 max z , = -3a*, 一 5,v 2 + .v 3 一 x 3 + 0x 4 + 0x s 一 Mx b - Mx 1衍初始单纯形表0 0 -M - M X. X, X,X, X, X, X, x n-A/ x 616-M x 7 10-3 + 2A/ 5 + 3M 1+6M -1-6M -M 0 0 0(a)解1:大\1法在上述线性规划问题中分别减去剩余变萤x 4,x 6,〜再加上人工变蛩15,17,',得max z = 2x t - x2 + 2x3 + 0,v4 - Mx s + 0,v6 - Mx7 + 0a8- Mx^-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0A', + X 2 + A :3 - + JC 5 = 6 -2x l + jc 3 — a*6 + x 1 —2 2x z — j c 3 - a *8+ j c 9 =0a-,,.v 2,a*3,j:4,a:5,^6,x 7,x 8,a-9 >0,r,其中MS 个任意人的正数-据此可列出单纯形表22MMMjc, x 2x 4X5 X6 A-M x s 6 -M x 7一2 —Ma 、00 0 0[2]0 M 02-M 3A/-1 2 + A/ -M 1/2 -1/2 0 0-1/2 -1/2x s-M x,—Ix\ [1]1/2^ 5M 3 … ^… A/ I 1 3A/ 2-M0 ----- + — - M0 -M 0 ------------------ 一十 ---2 2 2 2 2 2-M jr 5 3 2 .v 3 2 -I x 2 I 3/2 -3/2 1/2 -1/2 -11-1/2 1/2 -1/2 1/20 0 0 1 1 03/40 0?>M +3 -5M -3 M-3M4Af+5 0 ■M22 2x, 3/4 A 3 7/2 7/40 00 1 0| 43/8 - 8 8-5/4 -M8山单纯形表计算结果可以ft 出,ct 4 >0且%<0(/ =丨,2,3),所以该线性规划问题有无界解 解2:两阶段法。
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品,都需要经过前后两道工序加工,每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时,每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时.可供利用的前道工序有11小时,后道工序有17小时.
3
B1:2.0
3
需要量(套)
200
150
问怎样下料使得(1)用料最少;(2)余料最少.
【解】第一步:求下料方案,见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
1.1讨论下列问题:
运筹学习题习题解答
第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答:1、将下列线性规划问题变换成标准型,并列出初始单纯形表。
解:1)在约束条件(1)式两边同时乘以-1,得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4,且x'4,x"4≥0。
在(4)式中加入人工变量x5,在(2)式中加入松弛变量x6,在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8;把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4)-M x5+0x6+0x7-M x8。
则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表(其中M为充分大的正数):2)在上述问题2)的约束条件中加入人工变量x1,x2,…,x n得:初始单纯形表如下表所示:2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题,并指出属哪一类解:解:(1)大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4,x5,再分别加上人工变量x6,x7得:列出单纯形表如下表所示:由上表知:线性规划问题的最优解为,且标函数的值为7,且存在非基变量检验数σ3=0,故线性规划问题有无穷多最优解。
(2)两阶段法第一阶段数学模型为:第一阶段单纯形表间下表所示:上述线性规划问题最优解,且标函数的最优值为0。
第二阶段单纯形表为下表所示:由上表知:原线性规划问题的最优解为,且标函数的值为7,且存在非基变量检验数σ3=0,故线性规划问题有无穷多最优解。
3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量,a1,a2,a3,d,c1,c2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时,以下结论成立:(1)表中解为唯一最优解;(2)表中解为最优解,但存在无穷多最优解;(3)该线性规划问题具有无界解;(4)表中解非最优,为对解进行改进,换入变量为x1,换出变量为x6。
解:(1)上表中解为唯一最优解时,必有d>0,c1<0,c2<0。
(2)上表中解为最优解,但存在无穷多最优解,必有d>0,c1<0,c2=0或d>0,c1=0,c2<0。
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运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解,即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ,此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ,最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ,由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ,2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ,表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z (b) (1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x,最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ,4P ,5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =,由此列出初始单纯形表21σσ>。
245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭02>σ,1533min ,24,522θ⎛⎫== ⎪⎝⎭新的单纯形表为0,21<σσ,表明已找到问题最优解11x =,2 2x =,3152x =,40x =,50x =。
最大值 *172z = 1.6(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量,且令()0,0 ''2'2''2'22≥≥-=x x x x x ,z z x x -=-=' ,3'3该问题转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,633824124332x ..0023' max 54'3''2'21'3''2'215'3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z其约束系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=003113102114014332A在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'3''2'210023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量,且令()''''''33333 0,0x x x x x =-≥≥, 'z z =-该问题转化为'''123345'''12334'''12335'''1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪⎪≥⎩其约束系数矩阵为121110************A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭在A 中人为地添加两列单位向量87,P P121110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭令'''12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++-- 得初始单纯形表1.7(a)解1:大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪⎨--+=⎪⎪≥⎩由单纯形表计算结果可以看出,40σ>且40(1,2,3)i a i <=,所以该线性规划问题有无界解 解2:两阶段法。
现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得第一阶段的数学模型据此可列出单纯形表第一阶段求得的最优解*TX (,,,0,0,0,0,0,0)442=,目标函数的最优值*0ω=。
因人工变量5790x x x ===,所以*T 377(,,,0,0,0,0,0,0)442X =是原线性规划问题的基可行解。
于是可以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消,并填入原问题由表中计算结果可以看出,40σ>且40(1,2,3)i a i <=,所以原线性规划问题有无界解。
(b)解1:大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得1234567min 2300z x x x x x Mx Mx =+++++-123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩其中M 是一个任意大的正数。
据此可列出单纯形表由单纯形表计算结果可以看出,最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =,目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。
X 存在非基变量检验数30σ=,故该线性规划问题有无穷多最优解。
解2:两阶段法。
现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量45,,x x 再加上人工变量67,,x x 得第一阶段的数学模型67min x x ω=+123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩第一阶段求得的最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =,目标函数的最优值*0ω=。
因人工变量670x x ==,所以T49(,,0,0,0,0,0)55是原线性规划问题的基可行解。
于是可以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消,并填入原问题的目标函数的系数,进行第二阶段的运算,见下表。
由单纯形表计算结果可以看出,最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =,目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。
由于存在非基变量检验数30σ=,故该线性规划问题有无穷多最优解。
1.8习题二 P762.1 写出对偶问题 (a)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+++≥++++=无约束3213214321321321,0,534332243 ..422 min x x x x x x y x x x x x x t s x x x z 对偶问题为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≤++≤++++=无约束321321321321321,0,0433424322 ..532max y y y y y y y y y y y y t s y y y w (b)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522 ..365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束 对偶问题为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≥++=+-++=0,0,332675254 ..835 min 321321321321321y y y y y y y y y y y y t s y y y w 无约束 2.2(a)错误。
原问题存在可行解,对偶问题可能存在可行解,也可能无可行解。
(b)错误。
线性规划的对偶问题无可行解,则原问题可能无可行解,也可能为无界解。
(c)错误。
(d)正确。
2.6 对偶单纯形法 (a)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,522 33 ..18124 min 3213231321x x x x x x x t s x x x z 解:先将问题改写为求目标函数极大化,并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+---=+--++---=5,,10522 3 3 ..0018124'max 53243154321 i x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表,用对偶单纯形法求解,步骤如下最优解为Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,1,0, 目标值39=z 。
(b)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,1053642 3 ..425 min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z 解:先将问题改写为求目标函数极大化,并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+----=+---++---=5,,101053642 3 ..00425'max 5321432154321 i x x x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表,用对偶单纯形法求解最优解为()T x 2,0,0=, 目标值8=z 。
2.8 将该问题化为标准形式:()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=++-=++++++-=5,10426..002 max 521432154321 i x x x x x x x x t s x x x x x z i由于0<j σ,所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ,目标函数值12*=z (a) 令目标函数112233max 2z x x x λλλ=+++()(-1+)(1+)(1)令230λλ==,将1λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件:0-3-1≤λ,0- 1 -1≤λ,0-21≤-λ,从而11-≥λ (2)令031==λλ,将2λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件:0 3-2≤λ, 从而32≤λ (3) 令021==λλ,将3λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件:01-3≤λ, 从而13≤λ(b) 令线性规划问题为()⎪⎩⎪⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5214321321 i x x x x x x t s x x x z iλλ (1)先分析的变化⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*111101101λλλb B b使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∆+**λλb b ,从而61-≥λ(2)同理有01062≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ,从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*x 代入26231<-=+-x x ,所以将约束条件减去剩余变量后的方程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中因此增加约束条件后,新的最优解为1103x =,383x =,5223x =,最优值为2832.12(a) 线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,3054345536 ..43 max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z最优解为()()3,0,5,,321=x x x ,目标值27=z 。