瑕积分的收敛判别法..

1 若 a g( x )dx 收敛 a f ( x )dx 收敛;
o b b
2 若 a f ( x )dx 发散 a g( x )dx 发散.
o
b
b
常用的比较对象：

b
a
当 p 1 时收敛； dx (a 0) p ( x a) 当 p 1 时发散．
4. 定理4.4（比较判别法极限形式）
b b

上的积分为
a
f ( x )dx lim
0+ a
f ( x )dx,
( 2) 若c (a,b), 且f ( x )在c点无界，则f ( x )在[a,b]

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
lim
c
0+ a
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 . 二. 瑕积分的性质
则当瑕积分a f 1 ( x )dx与a f 2 ( x )dx都收敛时， 瑕积分a [k1 f 1 ( x ) k 2 f 2 ( x )]dx也收敛，且
b b b
性质１若f 1 ( x ), f 1 ( x )的瑕点同为x a , k1 ,k2为任意常数，
设a是f ( x ) 的瑕点, 作代换x a 1 , 则 y
0 a
lim
b
f ( x )dx lim
0
1 b a 1

1 1 f (a ) 2 dy y y

1 b a
1 1 f (a ) 2 dy y y
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f ( x ), g( x ) R[a , b]
f ( x )dx lim
0+ c

b
f ( x )dx
当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛； 当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.
1 的收敛性. 例1 讨论瑕积分 0 p dx ( p 0) x 解: 由于x 0是瑕点，且
1
1 (1 1 p ), p 1, 11 (0 1), x p dx 1 p ln , p 1.
a a a
b
b
绝对收敛 收敛.
收敛 绝对收敛.

3. 定理4.3（比较判别法）
设f ( x )，g( x )在(a,b]上有定义，瑕点同为 x a, 且对
0, f ( x ), g( x )在[a ε,b]上可积，对充分靠近 a的
x ( x a), 如果有0 f ( x) g( x), 则

故当0 p 1时， 瑕积分收敛， 且

1
0
1 1 1 1 dx lim dx ; p p 0 x x 1 p
当p 1时, 瑕积分发散于 .
例2 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
1 3
2 3
.
所以 解： 由于x 1为瑕点，
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
0
.
故原广义积分发散.
注意
（1） 瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区
间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
（2） 瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分
公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。
性? 问题： 如何判断瑕积分的敛散
b
记 为a f ( x )dx. (a,b]上的广义积分（也称瑕积分），
b
即：

b
a
f ( x )dx lim
b
Βιβλιοθήκη Baidu
0+ a
f ( x )dx ,
这时也称瑕积分收敛, a称为瑕点.
当上述的极限不存在时, 称瑕积分发散.
类似地，可以定义
(1) f ( x )在区间[a , b)上瑕积分，b为瑕点，
[k f ( x ) k f ( x )]dx k f ( x )dx k f ( x )dx.
a 1 1 2 2 1 a 1 2 a 2
b
b
b
性质２若f ( x )的瑕点为x a, 且 c (a,b)为任意常数，
则瑕积分 f ( x )dx与 f ( x )dx同敛散，且
a a b c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx.
a a c
b
c
b
三、瑕积分收敛的判别法
１.定理4.1(柯西准则)
若f ( x )在(a,b]上有定义，且lim f ( x ) , 0, f ( x )在
x a
[a ,b]上可积，则 a f ( x )dx (a为瑕点)收敛的充要条件是
b
0, 0,只要当a u1 u2 a δ, 有
f ( x )dx .
2. 定理4.2
b
u2 u1
若f ( x )在(a,b]上有定义,a为瑕点, 且 f ( x )dx 收敛，
a
b
则 f ( x )dx 收敛,| f ( x )dx | f ( x ) dx.
§8.4 瑕积分的收敛与计算
一、无界函数的广义积分
定义4.1 设f ( x )在区间(a , b]上有定义，而在点a的右
邻域内无界, 但对 (0 ,b a ), f ( x )在[a ε,b]上
可积，若 lim a f ( x )dx存在, 则称此极限为f ( x )在
0+
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
例3 计算广义积分 1 解
2
dx . x ln x
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )
0 1
dx ( x 1)
2 3
0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1