2021年大连市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

合集下载

2021高考数学总复习专题系列——直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生版 Word版缺答案

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b +=>>争辩）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：c e a =，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是假如直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x x y y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：假如12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点动身，利用根与系数的关系来进行争辩，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时留意在适当时利用图形的平面几何性质． ②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】直线2y kx =+与椭圆2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求k 的值．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P和Q ．⑴求k 的取值范围；⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明理由．典例分析板块一.直线与椭圆(1)。

2021届高考数学二轮复习重点练之圆锥曲线

2021届高考数学二轮复习重点练之圆锥曲线（2）双曲线1.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y =B.y =±C.y =D.y =±2.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是( )A.2214y x -=B.2214x y -= C.2214y x -=D.2214x y -=3.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠等于( ) A.14B.35C.34D.454.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b =（）A.1B.C.D.25.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.326.已知双曲线22:1,3x C y O -=为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N .若OMN 为直角三角形，则MN =( )A.32B.3C.D.47.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为( )A.2B. C.3D.8.已知双曲线22:18x C y -=的右焦点为F ，渐近线为12,l l ，过点F 的直线l 与12,l l 的交点分别为,A B .若2AB l ⊥，则AB =( ) A.167B.187C.115D.1359.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于,A B 两点.若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( )C.2D.310.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +(c 为双曲线的半焦距)，1π3F MO ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( )A.2y x =±B.12y x=±C.y =D.y =11.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是__________.12.已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且焦距是______________.13.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于,A B 两点.若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.14.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，与双曲线的渐近线交于,C D 两点.若5||||13AB CD ≥，则该双曲线离心率的取值范围为_____________.15.已知12(,0),(,0)F c F c -为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过点2F 作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒. (1)求双曲线C 的方程；(2)过圆222:O x y b +=上任意一点()00,Q x y 作圆O 的切线l ，交双曲线C 于,A B 两个不同的点，AB 的中点为N ，证明：||2||AB ON =.答案以及解析1.答案：B解析：由3e =，知3c a =，则b =，∴渐近线方程为by x a=±=±.2.答案：C解析：由题意，选项A ，B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A ，B ；C 项表示的双曲线的渐近线方程为2y x =±，D 项表示的双曲线的渐近线方程为12y x =±.故选C.3.答案：C解析：将双曲线C 化为标准方程22122x y -=，则a =b 2c =.由双曲线定义，知12PF PF -=.又122PF PF =，2PF ∴=，1PF =1224F F c ==，222121212123cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∴∠===.故选C. 4.答案：B解析：双曲线222102()x y b b-=>是焦点在x 轴上的双曲线，a =y x =，1=，即b =. 5.答案：B解析：由题意知双曲线的渐近线方程为by x a=±，因为D E ，分别为直线x a =与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设()D a b ，，()E a b -，，所以11||2822ODESa DE ab ab =⨯⨯=⨯⨯==，所以222216c a b ab ≥=+=，所以4c ≥，所以28c ≥，所以C 的焦距的最小值为8，故选B. 6.答案：B解析：因为双曲线2213x y -=的渐近线方程为y x =，所以60MON ∠=︒.不妨设过点F的直线与渐近线y =交于点M ，且90OMN ∠=︒，则60MFO ∠=︒，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)y x =-，由2),y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得3,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点M的坐标为32⎛ ⎝⎭，所以||OM ==|||3MN OM ==.故选B. 7.答案：C解析：由题意知2222,()()2()8c a b b c a c a c a c a -===-=+-=+=，即4c a +=，所以1a =，3c =，所以331c e a ===.故选C. 8.答案：A解析：由题意知(3,0)F ，不妨令12,l l的方程分别为,y x y ==，过F 且与2l 垂直的直线AB的方程为3)y x =--.由,3)y y x ==--联立可得24,77A ⎛- ⎝⎭.由,3)4y x y x ==--联立可得83B ⎛ ⎝⎭，所以16||7AB =.故选A. 9.答案：B解析：如图所示，设AB t =，由于2ABF 为等边三角形，所以22||AB AF BF t ===，所以1212BF BF AF t t a -=+-=，即12AF a =.又2122AF AF t a a -=-=，所以4t a =.在12AF F 中，2211212,4,2,120AF a AF a F F c F AF ===∠=︒，根据余弦定理得222(2)(4)(2)1cos1202242a a c a a +-︒==-⋅⋅，整理得22252a c a -=-，即227c a =，所以离心率ce a==.故选B.10.答案：C解析：连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知221||||,//2OM PF OM PF =，由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，因为1OF M △周长为111211||||||||||322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以12||||6PF PF a +=，解得12||4,||2PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222π(2)(4)(2)242cos 3c a a a a =+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E的渐近线方程为y =，故选C. 11.答案：解析：由题意可得22222341,19,0,0,a b b e a a b ⎧-=⎪⎪⎪=+=⎨⎪>>⎪⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩因此，该双曲线的虚轴长为2b =12.答案：22194x y -=或22149y x -=解析：由题意，设双曲线方程为22(0)94x y λλ-=≠.若0λ>，则222229,4,13a b c a b λλλ===+=.由题设知21c λ==，故所求双曲线的方程为22194x y -=.若0λ<，则222224,9,13a b c a b λλλ=-=-=+=-.由2c =1λ=-，故所求双曲线的方程为22149y x -=.综上，所求双曲线的方程为22194x y -=或22149y x -=.13.答案：2y x = 解析：设()()1122,,,A x y B x y .由22x py =得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线的准线方程为2p y =-.由抛物线定义得12||||AF BF y y p +=++.||2pOF =，结合||||4||2AF BF OF p +==，得12y y p +=.将22x py =代入22221x y a b -=得22221py y a b -=，即222210y py b a-+=，则221222221p b p a y y p a b+===.2221b a∴=，222,a b ∴=∴双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为2y x =±.14.答案：13,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：易知22||b AB a =，因为渐近线方程为y b x a =±，所以2||bcCD a=.由225213b bc a a ≥⋅化简得513b c ≥，即2225169b c ≥，所以22225169c a c ≥-，从而2169144c a ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得该双曲线的离心率1312c e a =≥. 15.答案：(1)根据已知条件，得1,a c ==所以())12,F F .因为2MF x ⊥轴，所以)2Mb .在12Rt MF F中，22212tan 302MF b F F c ====︒，得22b =.所以双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)①当直线l 的斜率不存在时，则12AB F F ⊥，于是|||AB ON ==||2||AB ON =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为()()1122(,,,y kx m k A x y B x y =+≠.联立得22,1,2y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得()2222220k x kmx m ----=.则12221222,22,2km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩且N N y kx m =+. 因为N 为AB 的中点，所以122N x x x +=，即 N 点的坐标为222,22kmm k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.则||ON =||AB =又点O 到直线l的距离d =，所以||m =()2221m k =+.所以||AB =||ON ==，由此得||2||AB ON =. 综上，||2||AB ON =.。

高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析法一由题意可知F (1，0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案－3解析法一依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|，所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线，所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°，所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6，解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134，所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1，即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124，又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ，所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上，设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |，所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′，又因为2|OF |＝|AB |＝2c ，可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55，可得|MK ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′，而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°，所以直线AB 的斜率为1，所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2，设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2，因为线段AB 中点的横坐标为2，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ，则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3，则b a ＝33，所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形，又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ，即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)，于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确；令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边，故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误；对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ，由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20，故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ，则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误；由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0，根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3，整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1，所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。

高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题

高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题1．已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且经过点M．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1A Q 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．3．已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为点,A B ，其中2AB =，且双曲线过点()2,3C ．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点()1,1P 的直线分别交Γ的左、右支于,D E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF FG =．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．4．已知双曲线C 的渐近线方程是y =，点()2,3M在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()10F ,（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径r =l 的方程．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C经过点2⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q ．7．已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点．（1）若12m =-，求AB ；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S的取值范围．第8题图第9题图9．如图，已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F，椭圆C 的上、下顶点分别为,A B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定AOM （O 为坐标原点）与ADN △的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10．已知双曲线过点(A ，它的渐近线方程是20x y ±=．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的倾斜角互补，求直线l 的斜率．11．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，平面内一动点M 满足直线AM 与BM 的斜率乘积为14-．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 交轨迹C 于,P Q 两点，若直线AP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍，求坐标原点O 到直线l 的距离的取值范围．12．若双曲线E ：2221(0)x y a a-=>y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若AB =，点C 是双曲线上一点，且()OC m OA OB =+，求k ，m 的值．13．已知1F ，2F 分别是椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点，且焦距为MN 平行于x 轴，且114F M F N +=．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线:4l x =上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得ACD BCD S S λ= 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．14．平面上的动点(,)P x y 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1y =-的距离，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:l y x m =+与曲线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ，使得MF AB ⊥，若存在，求实数m 的值，若不存在，请说明理由．15．已知双曲线()22:1,,24x C y M m -=，斜率为k 的直线l 过点M ．（1）若0m =，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；（2）已知点(2,0)T ，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ，直线,TA TB 的斜率分别为12,k k ，若12k k +为定值，求实数m 的值．16．已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左焦点F 与原点O 的距离为1，正方形PQMN 的边PQ ，MN 与x 轴平行，边PN ，QM 与y 轴平行，2112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ，且0k >．（1）若直线l 过点P ，求k 的值；（2）若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ，QM 上，l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ，求sAB的取值范围．17．已知F 是椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，点13,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且12OA OB k k +=-(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．参考答案1．（1）2212x y -=（2）2m =±2．（1）2211612x y +=（2）（i ）34-；（ii ）950,2⎛ ⎝⎭3．（1）2213y x -=（2）证明略，(1,0)B 4．（1）2（2）是，35．（1）2212x y +=（2）1x y =±+6．（1）2212x y +=（2）证明略7．（1（2）7⎡-+⎣8．（1）2214x y +=（2）()0,19．（1）2212x y +=（2210．（1）2214x y -=（2）11．（1）2214x y +=(0)y ≠（2）6(0,)512．（1）(（2）51,24k m ==±13．（1）2214x y +=（2）存在，314．（1）24x y =；（2）不存在15．（1）12k =±或k =（2）2m =.16．（1）1k =（2）12,78⎛ ⎝⎦17．（1）2214x y +=（2）1[,0)(1,)4-+∞。

2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题

3k2＋2
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4，易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0，所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0，则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3，所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，

2021高考数学专题复习：圆锥曲线(1)

12021高考数学专题复习:椭圆 2021.2.101.定义:2.标准方程:()()F x F y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩在轴在轴3.长轴长: 短轴长: 焦距: 通径:4.勾股关系: ,1BF =5.离心率: 取值范围:6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为 ,最小值为(1)2212516x y +=:=a =b =c 顶点坐标 , ,焦点坐标 ,离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距椭圆上点P 到左焦点距离最大值为 ,最小值为2(2)2211810y x +=:=a =b =c 顶点坐标 , ,焦点坐标 ,离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距椭圆上点P 到上焦点距离最大值为 ,最小值为7.椭圆22221+=x y a b的左右焦点为,,21F F 过点1F 的弦,AB 则2ABF ∆的周长为，直线m x =与椭圆交于D C ,两点,当=m 时CD F 1,∆的周长最大值为()()()()()211211121121221211222422442244PF x l PF PF aPT x l PT PF PF PF a l a P M x l PM PF PF PF a l a⊥⇒=+=⊥⇒=+<+=⇒<⊥⇒=+<+=⇒<8.已知椭圆焦点在x 轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个直角三角形,椭圆离心率为9.已知椭圆22221+=x y a b满足,,a b c 成等差数列,则椭圆离心率为10.圆锥曲线与直线b kx y +=交于B A ,两点,则=AB11.圆锥曲线与直线l 交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点,已知,t x x BA=则有韦达定理关系式 12.椭圆22221+=x y a b的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上满足12,F PF θ∠=则21PF F ∆的面积12F PF S ∆=()()23895230.5e e e e =+-=⇒=3练习:1.椭圆63222=+y x 标准方程: 的顶点坐标 , ,焦点坐标 , 离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距 ,通径：2.椭圆1162522=+y x 上一点P 到一焦点距离为7,则P 到另一焦点距离为3.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点,则B A ,与椭圆的另一焦点2F 构成22,ABF ABF ∆∆的周长是（） A.22 B.2 C.2 D.14.椭圆()3,19222>=+a y a x 的两个焦点为,,21F F 且,821=F F 弦AB 过点1,F 则2ABF ∆的周长是5.椭圆焦点为()(),0,4,0,421F F -弦AB 过点1,F 且2ABF ∆的周长为24,那么该椭圆的方程为6.求椭圆标准方程：(1)椭圆上点P 到左焦点距离最大值为,7最小值为,3焦点在x 轴上的椭圆:(2)椭圆长轴长为12,离心率为31，焦点在x 轴:4(3)两焦点的坐标为()()0,3,0,321F F -椭圆上一点P 到21,F F 的距离之和等于10:(4)求焦点在x 轴上,焦距等于4,且经过点()62,3-P 的椭圆方程: 方法一:定义法()(),,21F F =+=212PF PFa +(5)求与12722=+y x 焦点相同,且经过点()2,3-P 的椭圆方程: 方法一:定义法()(),,21F F =+=212PF PFa +方法二:待定系数法()⇒-=+2,3,122P ty x(6)经过两点()()33,0,0,3Q P -的椭圆标准方程: 设122=+ny mx(7)椭圆经过两点()()2,3,1,6-Q P : ,离心率=e设122=+ny mx(8)求焦点在y 轴上,焦距等于12,且椭圆方程长轴与短轴长之比为,7:4椭圆方程:(9)焦点在x 轴与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点()3,2-的椭圆:5(10)椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32,点(在C 上.求C 的方程(11)椭圆焦点21,F F 在x 轴上()3,2,P 是椭圆上一点2211,,,PF F F PF 成等差数列,椭圆方程为( )A. 221164x y += B.221166x y += C.22184x y += D. 22186x y +=7.椭圆C 的焦点12,F F 在x 轴上,离心率为,22过1F 的直线交C 于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为16, 则C 的方程为8.椭圆193622=+y x 的焦点P F F ,,21为椭圆上的一点，当12F PF θ∠=时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆=(1)当21PF PF ⊥时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+⇒=+mn S mn n m n m 2122 (2)当021120=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⇒==+00120sin 21120cos mn S mn n m6(3)当02160=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+S n m 060cos 9.(1)点P 在椭圆1822=+y x 上,21,F F 分别是椭圆的两焦点,当01212120,F PF F PF ∠=∆的面积是当0121260,F PF F PF ∠=∆的面积是当01212150,F PF F PF ∠=∆的面积是=075tan=075tan(2)21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点,P 在椭圆上满足1212,PF PF ⋅=则=∠21PF F10.()()0,3,0,321F F -是椭圆122=+ny m x 的两个焦点P ,是椭圆上的点,当2121,32PF F PF F ∆=∠π 的面积最大,求m n +=711.14922=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标取值范围12.已知()(),0,5,0,5B A -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅PB PA 且,PB PA >则=PBPA13.(1)如果122=+ky x 当∈k 表示焦点在x 轴上椭圆,当∈k 表示焦点在y 轴上椭圆(2)直线01:=--kx y l 与椭圆1522=+my x 恒有公共点,则m 的取值范围是（） A.()1,0 B.()5,0C.[)()+∞,55,1D.[)+∞,18 14.设P 是椭圆192522=+yx上一点,,M N分别是两圆()14:221=++yxF和()14:222=+-yxF上的点,则PNPM+的最小值最大值的分别为（）A.12,9 B.11,8 C.12,8 D.12,1015.已知椭圆1422=+ymx的离心率为2,2则此椭圆的长轴长为16.已知椭圆的标准方程为,16422=+ymx椭圆的离心率为=m,5317.椭圆左焦点为,F直线x m=与椭圆相交于点,,A B当FAB∆的周长最大时, FAB∆的面积是918.点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是19.把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于,,,,,54321P P P P P76,P P 七个点1,F 是椭圆的一个焦点，则=++++++17161514131211F P F P F P F P F P F P F P20.椭圆131222=+y x 的一个焦点为1,F 点P 在椭圆上,如果1PF 的中点M 在y 轴上,点M 的坐标21.设直线l 过椭圆C 的一个焦点,且与焦点所在轴垂直,l 与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的长轴长的一半，则C 的离心率为22.设直线l 过椭圆C 的右焦点,且与焦点所在轴垂直,l 与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的焦距的一半，则C 的离心率为1023.12,F F 是椭圆2214+=x y 的左右焦点,点P 在椭圆上运动,则21PF PF ⋅的最大值为， 21PF PF ⋅的取值范围是24.已知动点()y x P ,在椭圆1162522=+y x 上,若点A 坐标为()3,0,1,AM =且0,PM AM ⋅=的最小值为25.设P 是椭圆192522=+y x 上一点,椭圆左右焦点为21,F F (),3,0,A 则PA PF +1的最大值为此时P 点坐标为[]()(()[][][][][]()()()2222222222222221 1.,0,,1,0,2222,.322107 3.314.114244,3520.56,420 1.3620761 1.26,232 1.3252136323210x y b A B F e a b c a PF x y a l a A c b a x y a c b a c x y x y a c c a c a +=±=====-=+=⇒=⇒==⇒==⇒=⇒==⇒=⇒+=+=⎧⇒+===⇒=⇒+=⎨-=⎩=()()()()()()()()2222222222222222222225,34 1.251642,027512 1.36325110 1.5151061 1.7119279338::43,68, 1.642891,434x y a c b x y F a x y x y t t t x y x y a mx ny mx ny e b y x a b c c a b x y x t t ⇒==⇒=⇒+=±⇒=+=⇒+=+=⇒=⇒+=+⎧=⎪+=⇒+=+=⇒+=⇒=⎨=⎪⎩==⇒==+=+=+(()(()([][]()()()()2222222222222222222,2,2 1.386210:3:1,513954525431142::221.8674 1.16812144214428:1y x y t t x y x y e a b t x y t x yc a a b c t D x y a c b m n m n m n mn m n c ⎛⎫=⇒=⇒+= ⎪⎝⎭=⇒=⇒+=⇒=⇒+=⎧⇒+=⎪=⇒=⇒⇒=⇒+=⇒⎨⎪⎩=⇒=⇒=⇒+=+=⇒+=⇒++=+=方法一()()()()22222200222200181089121236210841cos12022221sin12021212210841cos 6022221sin 602mn m n S S mn m n mn m n mn m n c S mn mn S mn m n mn m n mn m n c mn mn S mn ⎧⎫⎪⎪⇒=⎬⎪⇒+=⎪⇒=⎭⎨⎪=⎪⎩⎧+=⎫⎪⎪⇒=⎬+--+-⎪⎪=⇒-=⎪⇒=⎨⎭⎪⎪=⋅⎪⎩⎧+=⎫⎪⎪⇒=⎬+--+-⎪⎪=⇒=⎪⎨⎭⎪=⋅⎩()()()2000123:tan19tan459.29tan6039tan302S S b S S S θ⇒=⎪⎪=⋅⇒=⋅==⋅==⋅=方法二[]()()()()()(000123220121212022max 2012911tan 601tan 301tan 7522464242812cos cos 60.22421060::2315.1114tan 452p p S S S m n mn c F PF F PF F PF mn S F PO a b c c a b m n a b PF PF S y y x =⋅==⋅==⋅=++----∠==⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒==⇒==+=+=⊥⇒=⋅=⋅⇒=()()[]()()()()()()2222221max 2max .6384112220 2.9462111311101,,100,1.1110,112.5114p x x y m n a mn m m b m n m n n n c PA PBx y k k k kky kx l C m PM PF PN PF ⎛=⇒∈ ⎝⎭⎧+=⇒==⎧⎧=⎧⇒+=⎪⎪⎪⇒=⇒⇒+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎨+===⎪⎪⎩⎩⎩⎪⊥⎩+=⇒>>⇒∈+∞<>⇒∈⎧=+⇒∈⇒⎪⇒⎨≠⎪⎩=+=+()()()()()()12max min 222222222128.1221415:::2:1242241251003166416::5:4:3:25:16.2564102451625171,48,PM PN PF PF a PM PN C a a a a b c a b a a a m mmm e a b c a b m mm c l a AB ⎧⎪⇒+=++=+=⇒+=⇒⎨⎪⎩⎧=⇒==⎪⎪=⇒=⇒⎨⎪==⇒=⇒=⎪⎩⎧=⇒=⎪⎪=⇒=⇒=⇒⎨⎪=⇒=⎪⎩====()(()()()()()()()22711211711112411171222211332 3.1812.24219210,5735.203,0,0,33,0,.212122::2212222p a S a a P F PF PF P F PF PF a P F a PF P F a F M y x P M b a a b a b c e a b c a =⇒=⋅⋅=+<⇒<⇒∈=⇒+=+====⇒++==⎛⎛-⇒=⇒⇒ ⎝⎭⎝⎭=⋅⇒=⇒=⇒==⋅⇒()()()()()())()()222222121222222122122222202202:::422314 4.42,,,33143 2.4ac b ac a c c ac a e e e c AF AF F F e a m n m n m n x P x y PF PF x y x y x y x PF PF x x =⇒=-⇒+-=⇒+-=⇒==⇒===++=⇒+≤⎛⎫⇒⋅=--⋅-=-+=-+-=⎪⎝⎭⇒⋅=-∈方法二[][]()()()()()222221222max 2222,22,1.241132510101015.3320027412000,44141916225y AM MP PM PA AM PA a c PF PA PF PA PA PF AF y x x x P x y -⇒∈-⊥⇒=-=-≥--=⇒+=-+=-+=+=⎡⎤⎣⎦⎧=-+⎪⎛⎫⇒-=⇒-⎨⎪⎝⎭⎪+=⎩2021高考数学专题复习:双曲线1.定义:2.标准方程()()F x F y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩在轴在轴3.实轴: 虚轴: 焦距: 通径:4.勾股关系:5.离心率: 取值范围: 等轴双曲线离心率6.渐近线()(),F x y kx F y ⎧=⇒⎪⎨⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为双曲线上点P 到焦点距离最小值为(1)22143x y -=:=a =b =c 实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标、离心率渐近线方程双曲线上点P 到焦点距离最小值为(2)22139y x -=:=a =b =c 实轴长、虚轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标、离心率渐近线方程双曲线上点P 到焦点距离最小值为8.双曲线12222=-by a x 的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,m 2AF =2BF = ,=+22BF AF = ,2ABF ∆的周长为双曲线221916x y -=的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,122ABF ∆的周长为9.双曲线12222=-by a x 的焦点为12,,F F 点P 在双曲线上满足θ=∠21PF F ,则21PF F ∆的面积12F PF S ∆=10.双曲线12222=-by a x 满足,2a c b =-则离心率=e11.双曲线12222=-by a x 虚轴一个端点和两顶点构成等边三角形,则离心率=e12.双曲线12222=-by a x 虚轴一个端点和两焦点构成底角为030的等腰三角形,则离心率=e13. 过双曲线12222=-by a x 焦点向渐近线作垂线,FM FM = 垂足M 坐标为(1)过双曲线116922=-y x 焦点向渐近线作垂线,FM FM =(2)过双曲线14222=-by x 焦点向渐近线作垂线,3,FM FM =则离心率=e14.双曲线12222=-by a x 渐近线与圆222x y c +=在第一象限交点E 坐标()()()()()()()()()()()21221121222284424236.29.tan25103250.311:3::32 2.3612:3::1:3221313,,14214,AF AF aAF BF AF BF a a m l a m BF BF a b S e e e b a b a c e b c b c a e a ab FM b M FMe c c E a b θ=+⎧⇒+=++=+⇒=+=⎨=+⎩=--=⇒==⇒=⇒===⇒==⎛⎫===⎪⎝⎭1.双曲线14491622=-y x 标准方程: ,实轴长2a = 、虚轴长2b = 、焦距2c = 、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程2.双曲线19422=-x y ,实轴长2a = 、虚轴长2b = 、焦距2c = 、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程3.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为21,,023F F y x =-分别是双曲线的左右焦点.若,31=PF 则=2PF4.双曲线116922=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离为P ,7到另一个焦点的距离等于5.设双曲线1922=-y x 的两焦点是A F F ,,21为双曲线的一点,且,71=AF 则=2AF6.求双曲线方程：(1),3,4==b a 焦点在x 轴(2)两焦点()(),0,5,0,521F F -双曲线上一点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6(3)焦点为(),6,0±F 经过点()5,2-P 方法一:定义法 ()(),,21F F =a2-=a 2(4)与双曲线141622=-y x 有公共焦点,且过点()2,23的双曲线方法一:定义法 ()(),,21FF -=a 2方法二:待定系数法 122=-ty x(5)双曲线上两点21,P P 坐标分别为()()3,2,23,3-B A 它的离心率为设122=+ny mx(6)双曲线上两点21,P P 坐标分别为()()3,72,26,7B A -- 它的离心率为设122=+ny mx(7)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且过点()32,3-的双曲线(8)焦点在x 轴与双曲线1321822=-y x 具有相同的离心率且过点()22,3-(9)双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为3,点)2-在C 上.求C 的方程7.双曲线191622=-y x 的左焦点到渐近线的距离为8.已知双曲线22221-=x y a b 两渐近线夹角为,3π离心率=e9.已知双曲线22221-=x y a b的实轴长为2,焦距为4,求该双曲线方程10.双曲线1:2222=-b y a x C 的焦距为10,点()1,2P 在C 的渐近线上,则C 的方程为（）A.152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x11.若点()5,0F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点,则=m12. 若点()5,0F 是双曲线22+112y x n=的一个焦点,则=n13.设双曲线()0.19222>=-a y ax 的渐近线方程为,032=±y x 则=a14.焦点在x 轴等轴双曲线过点(),1,3求该双曲线方程离心率为15.已知点()3,2在双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 上,双曲线焦距为4,则它的离心率为16.双曲线192522=-y x 的焦点为,,21F F 在左支上过点1F 的弦AB 的长为,10则2ABF ∆的周长为17.21,F F为双曲线1422=-y x 焦点,P 在双曲线上,当12F PF θ∠=时,21PF F ∆面积12F PF S ∆=(1)当21PF PF ⊥时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=-S n m n m 22 (2)当021120=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-S n m 0120cos (3)当02160=∠PF F 时,21PF F ∆的面积12F PF S ∆= ，12F PF S ∆=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-S n m 060cos 18.21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点P ,在双曲线上(1)当P满足3221=⋅PF PF 时,=∠21PF F(2)当02130=∠PF F 时,21PF F ∆的面积为2119.12,F F 为双曲线:C 222x y -=的左右焦点,点P 在C 上,2,21PF PF =则12cos FPF ∠=（） A.14 B.35 C.34 D.4520.14522=-y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点,当21PF F ∠为锐角时P ,纵坐标取值范围21.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C 上012,120,F PF ∠=则P 到x 轴的距离为22.设21,F F 是双曲线2213x y -=的焦点，P 在双曲线上，当12F PF ∆的面积为2时,12PF PF ⋅=2223.12,F F 为双曲线:C 221x y -=的左右焦点,点P 在C 右支上,I 为12PF F ∆的内心,若,120021=∠IF F12PF F ∆的面积为24.已知点P 是双曲线221169x y -=右支上一点,21,F F 分别为双曲线的左右焦点,I 为12PF F ∆的内心,若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立,则λ的值为25.P 是双曲线116922=-y x 左支上一点N M ,,分别是两圆()15:221=++y x F 和()45:222=+-y x F上的点,则PM PN -的最大值为 ,最小值为26.过原点的直线l ,如果它与双曲线14322=-x y 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围2327.已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F P ,点是双曲线右支上一点,且,212F F PF = 12PF F ∆的面积为28.直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与该焦点所在轴垂直l ,与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的实轴长，则C 的离心率为29.直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与该焦点所在轴垂直l ,与C 交于B A ,两点,若弦长AB 等于C 的焦距，则C 的离心率为30.21,F F 为双曲线221169x y -=的左右焦点(),1,3,A -点P 在双曲线左支上,则2PF PA +最小值为2431.双曲线()221222:10,0,,x y C a b F F a b -=>>为其左、右焦点,线段2F A 垂直直线by x a=,垂足为点,A与C 交于点,B 若2F B BA =,则C 的离心率为32.已知12,F F 为双曲线22:12y C x -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值范围()()()[]()()()()()()()()())[]22222222222222222222222237.413.51,1361 1.2 1.3 1.16991620164 1.51 2.61212839257514127 1.8191649418324988:,24 1.12487 3.x y x y y x x y x y x y e e x y x y x y x y t t t t x y x y e a b t t d b F -=-=-=-=-=⇒=-=⇒=-=⇒=⇒-=-=⇒=⇒-==⇒=⇒-=-⇒=⇒-===-()()()()()()()()()()0022225,0,:34038tan 602,tan 3091,2 1.10.1116.1213.3913.141,152.164240.222l x y d b b e e a a y a c x A x y e l a m -=⇒===⇒===⇒===⇒-=--===+=25[]()()()[]()()()()()()12322121202221222171 1.232416181cos 0.23222tan1524319cos .2414442046,,233321122p p pS S S m n mn c F PF F PFS mn m n m m n c F PF C mn m n n S y y y x y π===-+-∠==⇒∠===+⎧=⎧=+-⎪⎪⇒∠==⇒⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎩⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⇒=⇒∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒12021124tan 6022F PF p p pS c y y d y ∆===⋅⋅⇒=⋅⋅⇒==()(()()()2121222120001221122112012121212241143222tan tan cos 5322352tan21236012060.tan 30122412PFFIPF IPF IF F mnc mn PF PF mnIFF IF F PF F PF F F PF S PF PF r S S PF PF S F F F F r θθθθλ∆∆∆∆+-=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒⋅=∠+∠=⇒∠+∠=⇒∠=⇒==⋅-⋅--===⋅⋅()()()()()()()()2121max min max 2121min maxmin21211224.25252, 1.32392, 1.3233326,,.21275101664822282a c PN PF PM PF PN PM PF PF a PN PF PMPF PN PM PF PFa a kb cPF F F PF h S PFh b a a===+=--=-+=+==-=+-=--=-=⎛⎛⎫=±=⇒-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒==⇒=⇒=⇒=⋅⋅==::a b a b c e ⇒=⇒=⇒=()()()()()()()2222222121221121min 2222222229201021:::22222258133031,,.224b c ac bac c a c ac a e e e ac AF AF F Fe a PF PA PF a c F A ba ab ac ab A B O a PA PA P A a c F a PF PA AF a c c c =⇒=⇒=-⇒--=⇒--=⇒+=⎛⎫⎛⎫⎧+==⇒===+=++=++⇒+=+=+⇒⇒⇒⎨⎪ ⎪==⎩⎝⎭⎝⎭方法二()(()12422222232tan 1,1124b PF PF OP c P x a c a c a a e c a α⎛⎫⊥⇒-=⇒=⇒====⇒⇒∈- ⎪⎝⎭262021高考数学专题复习:圆锥曲线定义1.方程122=+ny m x 表示曲线,C 讨论图像特征 (1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆: (2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆: (3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线: (5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线: (6)曲线C 为椭圆: (7)曲线C 为双曲线:2.讨论181622=-+-k y k x 表示何种曲线？ (1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆:(2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆:(3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线:(5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线:(6)曲线C 为椭圆:(7)曲线C 为双曲线:273.讨论()()12822=-+-y k x k 表示何种曲线？(1)曲线C 为焦点在x 轴椭圆:(2)曲线C 为焦点在y 轴椭圆:(3)曲线C 为圆:(4)曲线C 为焦点在x 轴双曲线:(5)曲线C 为焦点在y 轴双曲线:(6)曲线C 为椭圆:(7)曲线C 为双曲线:4.已知方程11222=-+-k y k x 的图像是双曲线,k 的取值范围是5.已知方程11222=-+-k y k x 的图像是椭圆,k 的取值范围是6.对于曲线:C 1422-+-k y k x 1=，给出下面四个命题： (1)曲线C 不可能表示椭圆(2)若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<k (3)若曲线C 表示双曲线，则1<k 或4>k(4)当41<<k 时曲线C 表示椭圆，其中正确的是 ( ) A.(2)(3) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(3)(4)287.已知曲线C ：2221()2x y m R m m+=∈+，则下列结论正确的是 ( )A ．若m<0，则曲线C 表示双曲线B ．曲线C 可能表示一个圆C ．若曲线C是椭圆，则其长轴长为 D ．若m=1，则曲线C[]()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]110.20.30.40.50.60,0,.70218,12.212,16.312.4,8.516,.68,1212,16.7,816,315,8.22,5.3 5.4,2.58,.65,82,5.7,28,4210120,12,.20510m n n m m n m n n m m n m n m n k k k k k k k k k >>>>=>>>>>>>≠⋅<=-∞+∞-∞+∞=-∞+∞-∞+∞--<⇒-->⇒∈-∞+∞->->[][]331,,2.22216.7.k k k A AD ⎧⎪⎛⎫⎛⎫⇒∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-≠-⎩2021高考数学专题复习:抛物线一.定义:求下列抛物线的焦点坐标，准线方程:()218y x=()22y x=-()234x y=()2144x y=-()258x y=()2166y x=-:F:l2930 抛物线pxy22=一点()AAyxA,焦半径==dAF抛物线pxy22-=一点()AAyxA,焦半径=AF抛物线pyx22=一点()AAyxA,焦半径=AF抛物线pyx22-=一点()AAyxA,焦半径=AF1.(1)双曲线2221xya-=()0>a的一个焦点与抛物线212y x=-的焦点重合,则此双曲线的离心率为(2)抛物线28x y=-上一点P到焦点F的距离为6,则P的坐标为(3)若抛物线2y mx=的焦点与2211620x y-=的右焦点重合,则m=2.(1)准线方程为,2-=y求抛物线方程:(2)焦点(),0,32-F求抛物线方程:(3)抛物线241xy-=的准线方程是焦点坐标(4)已知抛物线22y px=的准线方程是2x=-,则=p焦点坐标31(5)抛物线x y 212=上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 到y 轴的距离是(6)抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5,则P 的坐标为(7)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点()0,2y M ,若点M 到该抛物线焦点的距离为,4则=OM （）A.C.4D.(8)抛物线x y 162=上一点P 到准线的距离等于到顶点的距离,则点P 的坐标为32二．过焦点的直线l与抛物线pxy22=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则: 焦半径==dAF ,=BF焦点弦=AB==过焦点的直线l与抛物线pxy22-=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB==过焦点的直线l与抛物线pyx22=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点，则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB=过焦点的直线l与抛物线pyx22-=交于()()BBAAyxByxA,,,两点()0,,yxM是AB的中点,则:焦半径=AF ,=BF焦点弦=AB==3.过抛物线xy62=的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,yxByxA两点,如果128x x+==AB,4.过抛物线yx42-=的焦点作直线交抛物线与BA,两点,若8=AB AB,中点的纵坐标为335.设抛物线y x122=的焦点为,F 经过点()2,3P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点且点P 恰为AB的中点,则=+BF AF（）A.14B.12C.11D.106.F 是抛物线x y =2焦点B A ,,是该抛物线上的两点,3,=+BF AF AB 中点到y 轴的距离为7.直线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41:x k y l 与抛物线2y x =交于,A B 两点,若,4=AB 则弦AB 的中点到直线1-=x 的距离为8.双曲线22154x y -=与x y 122-=准线交于B A ,两点=AB ,34 9.双曲线222x y m-=()0>m与28y x=准线交于BA,两点,32,=AB点A坐标实数=m10.已知点()4,3,A F为抛物线xy42=的焦点,点P在该抛物线上移动,PFPA+取得最小值为，此时点P的坐标为11.已知点P在抛物线24y x=上,则点P到直线1:4360l x y-+=的距离和到直线2:1l x=-的距离之和的最小值为 ,点P坐标为12.点P在抛物线28y x=-上,则P到直线1:60l x-=的距离和到y轴的距离之和的最小值为3513.已知点()2,3,A -点P 在抛物线y x 82-=上移动,M 是圆034:22=+++y y x F 上的动点,则PA PM +的最小值为14.抛物线()0,22>=p px y 焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为,K 点A 在抛物线上且,2AF AK =则A 点的横坐标为（）A. B.3C. D.415.抛物线x y 22=上一点M 到坐标原点O 的距离为,3则点M 到该抛物线焦点的距离为3616.设抛物线28y x =的焦点为,F 准线为P l ,为抛物线上一点A l PA ,,⊥为垂足,如果直线AF 斜率为3-,那么PF =（）A.43B.16C.83D.817.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米18.已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是 ( ) A.34 B.32C.3D.2319.定长为6的线段AB 的两个端点B A ,在x y 42=上移动，求AB 的中点M 到y 轴距离的最小值 xyOAB37[]()()()()[]()()()()()()()()()()()()()([]()[][]2222120001124.324.218.2.34:1,0,1.44,2,0.1751.886154,4.72482,4.284,0,22,.38311.4228 3.5246p p e P m x y y x y l y F p F x x x P py x M OM D F PO PF x P AB x x p y y AF BF y p =±-===-=-⇒=-=+=⇒=+=⇒±+=⇒=⇒±⇒==⇒=⇒±=++=+=-+=⇒=-+=+=+[][][]()[]([][]()()00002min 22min 10.15623.241711724.24428:3,3,092,83 5.910415,,3.2441,01211 2.98290,393:436014A D x x x x d b l x F AB a A m m p d x P y xF d x x P l x y y x =⇒+=⇒=+=⇒=⇒==⇒===-⇒-=⇒=⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎧=⎧⎪⎪⎛⎫⇒==⇒-+=⇒⎨⎨ -+==--⎝⎭⎪⎩⎪⎩[]()[]()[]()[](([]()()min 22min 2220002,0122 2.:6013:21321423,314312,3121315,231,1.22162,,2,04A p p AF p F d l x p F x y d y r x y A x x c y x AK xB y xM x x x M d yA y F k y ⎪-⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩⎛⎫++=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭⎧+=⇒+⎪⇒=⇒==⇒⇒=⇒⎨=⎪⎩⇒+=⇒⇒=+=-⇒===-[]()()[]()()()([]2222662817,2,222,33,1118,,1.4619226222p M M M x PF d x ay a x y y x A x ax y ax A x a y d B B x a x AB AF BF x x AF BF x =⇒==+==-⇒=-⇒=-=-⇒=-⇒⇒=⎧⎪=⇔⇒==⇒=⇒⎨+⇒=⎪⎩=≤+⎧⇒+≥⇒≥⎨+=+⎩382021高考数学专题复习:离心率通过勾股比例求离心率：1.(1)已知椭圆2222+=1,x ya b点⎪⎪⎭⎫⎝⎛bbP22,23在椭圆上,椭圆的离心率为(2)已知椭圆2222+=1,x ya b点⎪⎪⎭⎫⎝⎛aaP22,55在椭圆上,椭圆的离心率为(3)已知双曲线22221-=x ya b点()aaP,2在双曲线上,双曲线的离心率为(4)已知双曲线22221-=x ya b点()bbP3,2在双曲线上,双曲线的离心率为2.21,FF是椭圆2222:1x yCa b+=左右焦点B,是C短轴的顶点012,150,F BF∠=C的离心率为393.双曲线22221-=x y a b虚轴一个端点和两顶点构成底角为030的等腰三角形,则离心率=e4.双曲线虚轴上的一个端点为,M 两个焦点为21,F F ,120,021=∠MF F 则双曲线的离心率为5.已知椭圆的中心为原点,O 长轴在x 轴上,上顶点为,A 左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点分别为12,,B B 且21B AB ∆是直角三角形,该椭圆的离心率为6.点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点,O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,2,F F OP tan PF F =∠=则双曲线C 的离心率为407.设椭圆1:2222=+by a x C 的左右焦点分别为A F F ,,21是椭圆上的一点,,12AF AF ⊥原点O 到直线1AF 的距离为11,2OM OF =则椭圆的离心率为8.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的焦点F 到一条渐近线的距离,23OFd =点O 为坐标原点, 此双曲线的离心率为9.点A 是抛物线x y C 4:21=与双曲线()0,0,1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线1C的焦点的距离为2,则双曲线2C 的离心率为10.点P 在双曲线22221-=x y a b上21,,F F 是这条双曲线的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是4111.已知双曲线与椭圆有公共焦点,,M N 是双曲线的两顶点.若N O M ,,将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是12.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b 的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点2,ABF ∆是正三角形,则该双曲线的离心率是13.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b 的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是4214.设椭圆的两个焦点分别为,,21F F 过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,P 若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是15.(1)圆锥曲线两焦点为,,21F F 若曲线上点P 满足1122::4:3:2,PF F F PF =曲线的离心率=e(2)正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点,其余4个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率为．16.21,F F 是椭圆22221+=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点1221,5,PF F PF F ∠=∠ 则椭圆离心率为 A D F E CB4317.()()31322=-+-y x 与()0,0,12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线相切，双曲线离心率为 ( ) A.332 B.27 C.2 D.718.O 为坐标原点,双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的右焦点,F 以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的点,A 若(),0=⋅+OF AF AO 则双曲线的离心率=e19.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ,过点2F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于B A ,两点, 且与双曲线在第一象限交点为O P ,为坐标原点,若OP OA OB λμ=+,316λμ⋅=,双曲线离心率=e4420.过双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左焦点()(),0.0,F c c ->作圆4222a y x =+的切线,切点为,E 延长FE 交曲线右支于点,P 若(),21OP OF OE +=则双曲线的离心率为21.设21,F F 分别为双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足 212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为4522.过椭圆22221+=x y a b 的左焦点1F 的弦AB 的长为23,4AF =且,02=⋅AF AB 则椭圆的离心率为23.21,F F 是双曲线()0,0,1:2222>>=-b a b y a x C 的左右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于B A ,两点. 若11::3:4:5,AB BF AF =则双曲线的离心率为4624.双曲()0,0,12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为P F F F F ,4,,2121=是双曲线右支上的一点， P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为,Q 若,1=PQ 则双曲线的离心率是25.设双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的半焦距为,c 直线l 过()()b B a A ,0,0,两点，若原点O 到l 的距离为,43c 则双曲线的离心率为（） A.332或2 B.2 C.2或332 D.3324726.21,F F 是双曲线22221x y a b -=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点2,ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是27.已知21,F F 是双曲线22221x y a b -=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线分别交于B A , 两点2,ABF ∆是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是28.双曲线()0,1,12222>>=-b a b y a x 的焦距为,2c 直线l 过点()0,a 和(),,0b 且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和,54c d ≥求双曲线的离心率e 的取值范围4829.21,F F 为双曲线12222=-by a x 的焦点B A ,,分别为双曲线的左右顶点,以21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,M 且满足,300=∠MAB 则该双曲线的离心率为30.双曲线12222=-by a x 的左右焦点为P F F ,,21是双曲线左支上一点,=直线2PF 与圆222a y x =+相切,则双曲线的离心率e 为31.21,F F 是椭圆()2222+=1,0x y a b a b>>的左右焦点,点()b a P ,满足,212F F PF =离心率=e4932.21,F F 是双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的左右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a =对称,则该双曲线的离心率为33.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 过点F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为,A 且交 y 轴于,B 若,2AF BA =则双曲线的离心率为（）A.26B.23C.332 D.3634.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 直线l 过点2F 且与双曲线有且只有一个交点，直线l 与一条渐近线交于点,P 且,22112F PF F PF ∠=∠则双曲线离心率为50 35.设P为直线3by xa=与双曲线()0,0,12222>>=-babyax左支交点1,F是左焦点1,PF垂直于x轴, 则双曲线的离心率e=36.椭圆()1.1:222<<=+bbyxE的左右焦点分别是,,21FF过点1F的直线交椭圆E于BA,两点,若xAFBFAF⊥=211,3轴,椭圆E的离心率为37.设21,FF分别是双曲线()0,0,12222>>=-babyax的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()OPFOFOP,022=⋅+为坐标原点,=则该双曲线的离心率为。

高考数学复习：圆锥曲线7大题型及解答技巧总结

学好圆锥曲线的几个关键点1核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。

后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。

老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。

大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。

例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质

高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。

双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。

抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。

知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+．法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==．注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ．（1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围；（2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。

2021年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线第66课抛物线及其标性质(1)文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线第66课抛物线及其标性质（1）文（含解析）1．抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线练习：动点到点的距离比它到直线的距离大，则动点的轨迹是。

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解析】由题意，设抛物线方程为．设公共弦交轴于，则，且.∵，∴，∴．∵点在抛物线上，∴，即，故抛物线的方程为或.【变式】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点；（2）焦点在直线上．【解析】（1）当焦点在轴上时，设抛物线的方程为∵抛物线过点，∴，解得．当焦点在轴上时，设抛物线的方程为∵抛物线过点，∴，解得．∴抛物线的方程是或．（2）令，解得；令，解得；∴焦点是或．当焦点是时，则抛物线方程是．当焦点是时，则抛物线方程是．【例2】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为（2）抛物线上一点到焦点的距离为，则点的坐标为【解析】（1）抛物线方程为，，，焦点，准线方程为l M 1M F A P x y O （2）法1.抛物线，，，焦点，准线方程为，，所以点的坐标为或法2. 抛物线，，，焦点设，则，解得，所以点的坐标为或【变式】如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则________．【解析】由抛物线的定义，知所以()PF P F P F x x x p ++=+⋯+⋯+++1281284.又，，所以【例3】已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由，得，∵，∴点在抛物线内部，抛物线准线，如图，， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号，即点纵坐标与点的纵坐标相同．∴取得最小值，此时的坐标为．【变式1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，且，求取得最小值最小值时点的坐标．【解析】如图,∴.当且仅当、、三点共线时取等号，即点横坐标与点的横坐标相同．∴．【变式2】已知点在抛物线上，则点到直线：的距离和到直线的距离之和的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵点到直线的距离等于点到抛物线焦点的距离，如图：，∵的最小值就为点到直线的距离．∴，故选C ．第66课抛物线及其标性质（1）课后作业 1.抛物线的焦点坐标为（）A ． B. C. D.【答案】D【解析】抛物线标准方程为，，即，焦点坐标为 2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BP F x=14x 3y+6=0y 2=4A B xO y【解析】由题意设抛物线方程为，又∵其准线方程为，，所求抛物线方程为.故选B.3.若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为( )A． B． C． D．【解析】选A.直线与x轴的交点坐标为，即，故抛物线的准线方程为4.直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若的中点到抛物线的准线的距离是，则线段的长是( )A． B． C． D．【解析】由已知，得，，焦点为，准线设，，则的中点到抛物线的准线的距离是，.所以线段的长,故选B.5. 抛物线上一点到焦点的距离为2，则到轴的距离为________．【解析】设，因抛物线的准线方程为，则，∴.【答案】16．若抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为________【解析】由题意可知，点在抛物线上，所以，解得，得.由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以点到抛物线的焦点的距离为.【答案】7. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为【解析】焦点到准线的距离为，，所以抛物线的标准方程为或8. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点是双曲线的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴；（2）过点（3）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交、两点，且为等边三角形【解析】（1）双曲线标准方程为，其左顶点为设抛物线的标准方程为，则，即所以抛物线的标准方程为（2）当焦点在轴上时，设抛物线的方程为∵抛物线过点，∴，解得．当焦点在轴上时，设抛物线的方程为∵抛物线过点，∴，解得．∴抛物线的方程是或．（3）设抛物线的标准方程为，如图，在正三角形中，，，∴点坐标为.又点B在双曲线上，故，解得所以抛物线的标准方程为9.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽多少米？[解析]建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.10.在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，求到轴的距离与到点的距离之和的最小值【解析】如图所示，根据抛物线的定义有：到轴的距离与到点的距离之和，即，因此求距离之和的最小值可转化为求的最小值，即为连线与抛物线相交时取得，因为，所以到轴的距离与到点的距离之和的最小值为 40203 9D0B 鴋 29125 71C5 燅=) v32974 80CE 胎30018 7542 畂36715 8F6B 轫39841 9BA1 鮡31719 7BE7 篧Z27785 6C89 沉。

2021版新高考数学：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案

第八节圆锥曲线中的定点、定值问题
[考点要求]会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
(对应学生用书第164页)
考点1定点问题
直线过定点
在平面直角坐标系xOy 中、动点
E 到定点(1、0)的距离与它到直线x ＝－1的距离相等．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 相切于点P 、与直线x ＝－1相交于点Q 、证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
[解] (1)设动点E 的坐标为(x 、y )、由抛物线的定义知、动点E 的轨迹是以(1、0)为焦点、x ＝－1为准线的抛物线、所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：易知k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y2＝4x
、消去x 、得ky 2－4y ＋4b ＝0.因为直线l 与抛物线相切、所以Δ＝16－16kb ＝0、即b ＝1k 、所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1k 、令
x ＝－1、得y ＝－k ＋1k 、所以Q (－1、－k ＋1k ).设切点P (x 0、y 0)、则ky 20－4y 0＋4k ＝
0、解得P (1k2、2k )、设M (m 、0)、则MQ →·MP →＝(1k2－m )·(－1－m )＋2k (－k ＋1k )＝m 2
＋m －2－m －1k2、所以当⎩⎨⎧m2＋m －2＝0，m －1＝0，
即m ＝1时、MQ →·MP →＝0、即MQ ⊥MP . 所以、以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M (1、0).
考点2 定值问题。

高考数学复习知识点讲解教案第54讲圆锥曲线热点问题-第2课时定点、定值、探索性问题

设直线: = − 4 + 2 ≠ 0 ，由ቐ 2
4
2
得
− [ − 4 +
∵ 1 ,2
2
2
为方程
2
2] −4
2
2] −4
∴ − [ − 4 + 2] −4 = 1 −
∴
2
0
2
= 1,
= 0，
− [ − 4 +
2
−
பைடு நூலகம்
2
4
2
− [ 0 − 4 + 2] −4 = 1 −
1
− ，为定值.
3
=
1
− ，
3
=
1 −1 2 +2 + 2 −1 1 +2
1 2 +2 1 +2 +4
=
[总结反思]
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略:
（1）求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、
化简即可得出定值.
（2）求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利
−8 2+
2 =
3 2 +4
8 2+2− 2
1 +
,
所以൞
1 2 =
31
2
3 2 +4
,
且1 2 + 2 1 =
,
+ 3, 1 ，则 31 + 6 − 1 , 1 ，
则直线的方程为 − 2 =
1 −2
31 +6−1 −2
− 2 ，
−24
等式恒成立.此时要将关于与,的等式进行变形，直至易于找到0 ,0 .

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021年大连市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线
1．已知椭圆C ：
y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点S （−13，0）的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由椭圆定义可得 2a =2√2，则 a =√2
又椭圆 C 的离心率为 e =c a =√22，∴c ＝1，
则 b =2−c 2=1
因此，椭圆 C 的标准方程为 y 22+x 2=1
（2）当直线 l 不与 x 轴重合时，可设直线 l 的方程为 x =my −13，
设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
考虑直线 l 1：x =ky −13，l 2：x =−ky −13
如下图所示：
由题意可知，直线 l 1，l 2关于 x 轴对称，
则定点 T 是分别以 A 1B 1，A 2B 2为直径的圆的交点，
由椭圆的对称性可知，点 T 在 x 轴上，设点 T 的坐标为（t ，0），
联立 {x =my −13y 22+x 2=1，
消去 x 并整理得（18m 2+9）y 2﹣12my ﹣16＝0，
△＝144m 2+64（18m 2+9）＝144（9m 2+4）＞0 恒成立，
由韦达定理得 y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3，y 1y 2=−1618m 2+9
，由于以 AB 为直径的圆恒过点 T ，则 TA ⊥TB ，TA →=(my 1−t −13，y 1)，TB →=
(my 2−t −13，y 2)，
TA →⋅TB →=(my 1−t −13)(my 2−t −13)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2−m(t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2
=−16(m 2+1)−m(t+13)×12m 2+(t +13)2=(t +13)2−(12t+20)m 2+162=0，由于点 T 为定点，则 t 为定值，所以
12t+2018=169，解得 t ＝1 此吋 TA →⋅TB →=(43)2−169
=0，符合题意，当直线 l 与 x 轴重合时，则 AB 为椭圆的短轴，
此时，点 T 与点 A 或点 B 重合，符合题意．
综上所述，直线 l 恒过定点 T （1，0）．
2．已知椭圆C ：x 22+y 2=1，直线l ：y ＝x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．
（1）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△AOB 的面积；
（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的m 的范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得右焦点F （1，0），
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝x +m ，因为过椭圆的焦点，所以m ＝﹣1，
所以直线l 的方程：x ＝y +1，与椭圆方程联立{x =y +1
x 22+y 2=1，整理可得：3y 2+2y ﹣1＝0，解得y =13，或y ＝﹣1，。