2021年大连市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

2021年大连市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

1．已知椭圆C ：

y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点S （−13，0）的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由椭圆定义可得 2a =2√2，则 a =√2

又椭圆 C 的离心率为 e =c a =√22，∴c ＝1，

则 b =2−c 2=1

因此，椭圆 C 的标准方程为 y 22+x 2=1

（2）当直线 l 不与 x 轴重合时，可设直线 l 的方程为 x =my −13，

设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

考虑直线 l 1：x =ky −13，l 2：x =−ky −13

如下图所示：

由题意可知，直线 l 1，l 2关于 x 轴对称，

则定点 T 是分别以 A 1B 1，A 2B 2为直径的圆的交点，

由椭圆的对称性可知，点 T 在 x 轴上，设点 T 的坐标为 （t ，0），

联立 {x =my −13y 22+x 2=1，

消去 x 并整理得 （18m 2+9）y 2﹣12my ﹣16＝0，

△＝144m 2+64（18m 2+9）＝144（9m 2+4）＞0 恒成立，

由韦达定理得 y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3，y 1y 2=−1618m 2+9

， 由于以 AB 为直径的圆恒过点 T ，则 TA ⊥TB ，TA →=(my 1−t −13，y 1)，TB →=

(my 2−t −13，y 2)，

TA →⋅TB →=(my 1−t −13)(my 2−t −13)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2−m(t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2

=−16(m 2+1)−m(t+13)×12m 2+(t +13)2=(t +13)2−(12t+20)m 2+162=0， 由于点 T 为定点，则 t 为定值，所以

12t+2018=169， 解得 t ＝1 此吋 TA →⋅TB →=(43)2−169

=0，符合题意， 当直线 l 与 x 轴重合时，则 AB 为椭圆的短轴，

此时，点 T 与点 A 或点 B 重合，符合题意．

综上所述，直线 l 恒过定点 T （1，0）．

2．已知椭圆C ：x 22+y 2=1，直线l ：y ＝x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．

（1）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△AOB 的面积；

（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的m 的范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得右焦点F （1，0），

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝x +m ，因为过椭圆的焦点，所以m ＝﹣1，

所以直线l 的方程：x ＝y +1，与椭圆方程联立{x =y +1

x 22+y 2=1，整理可得：3y 2+2y ﹣1＝0，解得y =13，或y ＝﹣1，