小波变换

第五章 小波变换 Wavelet Transform小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。

小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。

由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。

目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。

小波变换的应用研究正方兴未艾。

小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜本章不对小波变换进行完整的数学讲述。

只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。

突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。

主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。

5.1 傅立叶变换到小波变换5.1.1傅立叶变换的局限性傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞-∞=⎰ （5-2）一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。

注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。

注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。

3.傅氏正变换将信号分解为不同的频率成分，但是各频率成分发生在什么时间都无法得知。

4逆变换将信号的不同频率成分组合为时间域表征的一个波形，但是某一时间包含那些频率成分也无法得知。

傅立叶变换——缺乏时域定位能力和局域性信息：.傅氏变换对信号的表征为：要么完全在时域，要么完全在频域，它不能揭示某种频率分量出现在什么时域以及随时间的变化情况。

傅氏变换可以满足平稳信号的分析要求，但对非平稳信号的分析处理就存在局限性。

5.1.2 测不准原理时频分析中，经常会遇到时间分辨率和频率分辨率的问题，一般情况下，可用信号()x t 的能量密度()2x t 和能量谱密度()2x ω的二阶矩来分别表示，它们是有效时宽t D 、有效频宽D ω（也称为方根宽度）。

时间分辨率和频率分辨率是互相矛盾的。

它排除了在时间和频率均有任意高分辨率的可能性。

时间分辨率的提高是以牺牲频率分辨率作为代价，有效时宽t D ： t D t = （5-3） 时域窗的宽度——反映的是时间分辨率能力有效频宽D ω： D ω=（5-4） 信号()x t 的能量()()2212E x t dt x d ωωπ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 测不准原理：描述了信号的有效时宽和频宽的关系，对于任何能量有限的信号()x t ，其时宽和频宽的乘积总是满足不等式：12t D D ω≥ （5-5） 称为Heisenberg 不等式。

5.1.3 时频分析——短时傅立叶变换为了处理时域和频域的局部变化矛盾，1946年Gabor 提出了短时傅立叶分析方法，其基本思想为：在信号傅氏变换前乘上一个时间有限的窗函数，并假定非平稳信号在分析窗的短时间隔内是平稳的，通过窗在时间轴上的移动从而使信号逐段进入被分析状态，这样，就可以得到信号的一组“局部”频谱，从不同时刻“局部”频谱差异上便可以得到信号的时变特性。

Short time Fourier Transform 短时傅立叶变换（STFT ）定义：给定一个时间宽度很窄的窗函数()ωτ，让窗活动，则信号()x t 的短时傅立叶变换定义为：()()(),j t x STFT x t t e dt ωωτωτ∞--∞=-⎰ （5-6） 对于某一确定的时间τ，STFT 给出了信号在11,22t t D D ττ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（其中t D 为窗函数()ωτ的有效时间宽度）时间段的频谱信息。

当时间窗()ωτ等于1，即形成持续时间无限的矩形窗时，信号的短时傅立叶变换就退化为信号的傅立叶变换。

（5-6）式表明，信号()x t 在时间τ处的STFT 就是信号乘上一个以τ为中心的“分析窗”()t ωτ-后所作的傅氏变换。

因为信号()x t 乘以一个短窗函数()t ωτ-等价于取出信号在分析时间点τ附近的一个切片，所以STFT 可理解为信号()x t 在时间点τ附近的傅氏变换，即“局部频谱”令()(),j t W t W t e ωωττ=- （5-7）设()W t 的傅氏变换为()W ω，它的中心为零，有效带宽为D ω，则：()()',,'j t W W t e dt ωωτωτω∞--∞=⎰ ()'j t j t W t e e d t ωωτ∞--∞=-⎰ （5-8）若令''t t τ=-则''dt dt =，代入得：()()()()'''','''''j t j t W e t e dt ωωωωωτωω∞-----∞=⎰ ()()()',''j t W W e ωωωτωωω--∴=- （5-9）可见，(),'W ωτω的中心为ω，有效带宽仍为D ω，对于某一确定的频率ω，STFT 给出了信号在11,22D D ωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦频段的频谱信息。

因此，用时间窗(),W t ωτ在以t τ=为中心，宽为t D 的局部时间范围内考察信号得到的信息。

也可以用频域窗(),'W ωτω在'ωω=为中心，宽为D ω的局部频率范围内考察该信号的频谱来得到。

时域窗越窄，其对信号的时间定位能力越强。

频域窗越窄，其对信号的频率定位能力越强。

因此，()W t 的有效时间宽度t D 和有效频率宽度D ω分别反映信号短时傅氏变换的时间分辨率和频率分辨率。

实际应用中，为了准确定位信号中高频成分的发生时间，应使用较窄的时窗；为了使STFT 在低频时仍有较高的频率分辨率，则应使用较窄的频域窗，即较宽的时域窗。

而STFT 只能使用一个确定的窗函数，因此必须在其时间分辨率和频率分辨率作一折中的选择。

这就是STFT 的最大缺点。

根据测不准原理：12t D D ω≥即时域窗()W t 和它的频域窗()W ω不能同时任意窄，对于给定的窗函数（STFT ），其分析窗口的面积为恒定值。

对于给定的窗函数（STFT ），其时间分辨率与频率分辨率之积是恒定的，它们不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低换取另一种分辨率的提高。

因此具有不变窗的短时付立叶变换适合于准稳态信号的分析场合。

而对于非平稳信号的分析，希望时间分辨率和频率分辨率能根据需要进行调节（高频处用短时间窗分析，低频信息用长时间窗分析）。

对于固定窗的短时付立叶变换无法适应。

例如：1）0()cos ()1()1()22b b x t t w t t t ωτττ⎡⎤=-=-+---⎢⎥⎣⎦ 频谱：()()()()()0000sin sin 22222b b b X b b ωωωωωωωωω⎡⎤+-⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦b →∞变成无始无终的余弦信号，()()()00X ωπδωωπδωω=++-即离散的线段。

只有这时，频谱才反映了这个信号是频率为0ω的余弦波。

而b 为有限大时，原来由两根线组成的尖锐谱峰扩展到整个ω轴，还出现了其它的谱峰，而b 越小，折中现象越严重。

这反映了该信号不但包含了一个余弦信号，而且还包含了与之相乘的矩形窗信号。

-3-2-10123-100102030402）正态分布窗 ()()2/2t W t e αττ---= 0α> 当0τ=，即窗口中心是原点时()()()220022,,x SFTF e e ωωωωααωτω+---⎤⎥=+⎥⎦与上图比较，虽谱峰也有扩展，但已不再振荡，当窗口越窄，即α越大，则谱峰越矮越宽，即谱峰扩展越严重！-3-2-10123短时付立叶变换的最大问题是选定了窗函数，分析窗就固定了，不能适应变化的时频需要。

是否存在能根据需要自动调节分析窗宽度的变换呢？小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。

小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT 成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。

原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。

小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。

⏹ 傅里叶变换主要应用于平稳信号分析。

⏹ 小波变换适用于非平稳信号分析和处理。

对于非平稳信号：由于其统计特性包含信号的频谱特性随时间变化，因此对它的分析和处理就不能将时域和频域截然分开。

小波分析可以将时域和频域结合起来描述信号（称为时频分析），小波分析是信号的一种线性时频分析方法。

5.2连续小波变换平方可积函数()x t 关于小波函数(),a t τψ的小波变换定义为：()()*,,x def t CWT a x t dt a ψττψ∞-∞-⎛⎫ ⎪=⎝⎭（5-10） 式中()t ψ称为基本小波（或称为母小波）* 表示共轭， a 大于零小波变换同傅氏变换一样，都是积分变换，由于基本小波不同于傅立叶基，因此两者有很大的不同，其中最重要的是小波函数具有尺度因子a 和平移参数τ两个参数。

此外小波函数不是惟一的，而傅立叶基只有,cos ,sin t t ωωj t e ω-,具有惟一性。

同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。

小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点和热点问题，目前往往通过经验或不断地试验选择小波函数。

构造基本小波()t ψ应该满足以下条件：1）本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零。

所以称为“小波”。

2）本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含直流趋势成分，即()()()00||0j t t e dt t dt ωωωψωψψ∞∞-==-∞-∞==⎰⎰ ()t ψ应是一个大体上以t=0为中心的对称函数，且具有随着t 的绝对值增大迅速减小的性质。