小波变换

第五章 小波变换 Wavelet Transform
小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。

小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。

由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。

目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。

小波变换的应用研究正方兴未艾。

小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜
本章不对小波变换进行完整的数学讲述。

只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。

突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。

主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。

5.1 傅立叶变换到小波变换
5.1.1傅立叶变换的局限性
傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞
--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞
-∞=⎰ （5-2）
一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）
2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。

注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。

注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。

3.傅氏正变换将信号分解为不同的频率成分，但是各频率成分发生在什么时间都无法得知。

4逆变换将信号的不同频率成分组合为时间域表征的一个波形，但是某一时间包含那些频率成分也无法得知。

傅立叶变换——缺乏时域定位能力和局域性信息：.
傅氏变换对信号的表征为：要么完全在时域，要么完全在频域，它不能揭示某种频率分量出现在什么时域以及随时间的变化情况。

傅氏变换可以满足平稳信号的分析要求，但对非平稳信号的分析处理就存在局限性。

5.1.2 测不准原理
时频分析中，经常会遇到时间分辨率和频率分辨率的问题，一般情况下，
可用信号()x t 的能量密度()2x t 和能量谱密度()2x ω的二阶矩来分别表示，它们是有效时宽t D 、有效频宽D ω（也称为方根宽度）。

时间分辨率和频率分辨率是互相矛盾的。

它排除了在时间和频率均有任意高分辨率的可能性。

时间分辨率的提高是以牺牲频率分辨率作为代价，
有效时宽t D ： t D t = （5-3） 时域窗的宽度——反映的是时间分辨率能力
有效频宽D ω： D ω=
（5-4） 信号()x t 的能量()()2212E x t dt x d ωωπ
∞∞-∞-∞==⎰⎰ 测不准原理：描述了信号的有效时宽和频宽的关系，对于任何能量有限的信号()x t ，其时宽和频宽的乘积总是满足不等式：
12
t D D ω≥ （5-5） 称为Heisenberg 不等式。

5.1.3 时频分析——短时傅立叶变换
为了处理时域和频域的局部变化矛盾，1946年Gabor 提出了短时傅立叶分析方法，其基本思想为：
在信号傅氏变换前乘上一个时间有限的窗函数，并假定非平稳信号在分析窗的短时间隔内是平稳的，通过窗在时间轴上的移动从而使信号逐段进入被分析状态，这样，就可以得到信号的一组“局部”频谱，从不同时刻“局部”频谱差异上便可以得到信号的时变特性。

Short time Fourier Transform 短时傅立叶变换（STFT ）
定义：给定一个时间宽度很窄的窗函数()ωτ，让窗活动，则信号()x t 的短时傅立叶变换定义为：
()()(),j t x STFT x t t e dt ωωτωτ∞--∞
=-⎰ （5-6） 对于某一确定的时间τ，STFT 给出了信号在11,2
2t t D D ττ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（其中t D 为窗函数()ωτ的有效时间宽度）时间段的频谱信息。

当时间窗()ωτ等于1，即形成持续时间无限的矩形窗时，信号的短时傅立叶变换就退化为信号的傅立叶变换。

（5-6）式表明，信号()x t 在时间τ处的STFT 就是信号乘上一个以τ为中
心的“分析窗”()t ωτ-后所作的傅氏变换。

因为信号()x t 乘以一个短窗函数()t ωτ-等价于取出信号在分析时间点τ附近的一个切片，所以STFT 可理解为信号()x t 在时间点τ附近的傅氏变换，即“局部频谱”
令()(),j t W t W t e ωωττ=- （5-7）
设()W t 的傅氏变换为()W ω，它的中心为零，有效带宽为D ω，则：
()()',,'j t W W t e dt ωωτωτω∞
--∞=⎰ ()'j t j t W t e e d t ωωτ∞--∞=-⎰ （5-8）
若令''t t τ=-则''dt dt =，代入得：
()()()()'''','''''j t j t W e t e dt ωωωωωτωω∞
-----∞=⎰ ()()()',''j t W W e ωωωτωωω--∴=- （5-9）
可见，(),'W ωτω的中心为ω，有效带宽仍为D ω，对于某一确定的频率ω，
STFT 给出了信号在11,22D D ωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦频段的频谱信息。

因此，用时间窗(),W t ωτ在以t τ=为中心，宽为t D 的局部时间范围内考察信号得到的信息。

也可以用频域窗(),'W ωτω在'ωω=为中心，宽为D ω的局部频率范围内考察该信号的频谱来得到。

时域窗越窄，其对信号的时间定位能力越强。

频域窗越窄，其对信号的频率定位能力越强。

因此，()W t 的有效时间宽度t D 和有效频率宽度D ω分别反映信号短时傅氏变换的时间分辨率和频率分辨率。

实际应用中，为了准确定位信号中高频成分的发生时间，应使用较窄的时窗；为了使STFT 在低频时仍有较高的频率分辨率，则应使用较窄的频域窗，即较宽的时域窗。

而STFT 只能使用一个确定的窗函数，因此必须在其时间分辨率和频率分辨率作一折中的选择。

这就是STFT 的最大缺点。

根据测不准原理：12
t D D ω≥
即时域窗()W t 和它的频域窗()W ω不能同时任意窄，对于给定的窗函数（STFT ），其分析窗口的面积为恒定值。

对于给定的窗函数（STFT ），其时间分辨率与频率分辨率之积是恒定的，它们不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低换取另一种分辨率的提高。

因此具有不变窗的短时付立叶变换适合于准稳态信号的分析场合。

而对于非平稳信号的分析，希望时间分辨率和频率分辨率能根据需要进行调节（高频处用短时间窗分析，低频信息用长时间窗分析）。

对于固定窗的短时付立叶变换无法适应。

例如：1）0()cos ()1()1()22b b x t t w t t t ωτττ⎡⎤=-=-+---⎢⎥⎣
⎦ 频谱：()()()()()0000sin sin 22222b b b X b b ωωωωωωωωω⎡⎤+-⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦
b →∞变成无始无终的余弦信号，()()()00X ωπδωωπδωω=++-即离散的线段。

只有这时，频谱才反映了这个信号是频率为0ω的余弦波。

而b 为有限大时，原来由两根线组成的尖锐谱峰扩展到整个ω轴，还出现了其它的谱峰，而b 越小，折中现象越严重。

这反映了该信号不但包含了一个余弦信号，而且还包含了与之相乘的矩形窗信号。

-3-2-10123
-100
10
20
30
40
2）正态分布窗 ()()2/2t W t e αττ---= 0α> 当0τ=，即窗口中心是原点时
(
)()
()22
0022,,x SFTF e e ωωωωααωτω+---⎤⎥=+⎥⎦
与上图比较，虽谱峰也有扩展，但已不再振荡，当窗口越窄，即α越大，则谱峰越矮越宽，即谱峰扩展越严重！
-3-2-10123
短时付立叶变换的最大问题是选定了窗函数，分析窗就固定了，不能适应变化的时频需要。

是否存在能根据需要自动调节分析窗宽度的变换呢？
小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。

小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT 成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。

原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。

小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。

⏹ 傅里叶变换主要应用于平稳信号分析。

⏹ 小波变换适用于非平稳信号分析和处理。

对于非平稳信号：
由于其统计特性包含信号的频谱特性随时间变化，因此对它的分析和处理就不能将时域和频域截然分开。

小波分析可以将时域和频域结合起来描述信号
（称为时频分析），小波分析是信号的一种线性时频分析方法。

5.2连续小波变换
平方可积函数()x t 关于小波函数(),a t τψ的小波变换定义为：
(
)()*,,x def t CWT a x t dt a ψττψ∞-∞-⎛⎫ ⎪=⎝⎭
（5-10） 式中()t ψ称为基本小波（或称为母小波）* 表示共轭， a 大于零
小波变换同傅氏变换一样，都是积分变换，由于基本小波不同于傅立叶基，因此两者有很大的不同，其中最重要的是小波函数具有尺度因子a 和平移参数τ两个参数。

此外小波函数不是惟一的，而傅立叶基只有,cos ,sin t t ωωj t e ω-,具有惟一性。

同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。

小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点和热点问题，目前往往通过经验或不断地试验选择小波函数。

构造基本小波()t ψ应该满足以下条件：
1）本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零。

所以称为“小波”。

2）本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含直流趋势成分，即
()()()00||0j t t e dt t dt ωωωψωψψ∞∞
-==-∞-∞==⎰⎰ ()t ψ应是一个大体上以t=0为中心的对称函数，且具有随着t 的绝对值增大迅速减小的性质。

3）完全重构条件 ()2
d ωωω∞
-∞ψ<∞⎰ 容许条件
满足上式才存在小波变换的反变换形式。

此时可以从信号的小波变换中恢复出原来的信号。

可以证明，对于平方可积的基本小波()t ψ，上式在大部分情况下等价于： ()()()00||0j t t e dt t dt ωωωψωψψ∞∞
-==-∞-∞===⎰⎰ 即从频域上看，在0ω=点()ψω应为零。

从时域上看，()t ψ必是正负相间的振荡型函数。

4）包含尺度因子()0a a >和平移参数τ
若基本小波的有效时宽为t D 和有效频率宽为D ω，
则小波函数的有效时宽为t aD 和有效频率宽为/D a ω
尺度因子的特点：
○1a 增大，则时窗伸展（t aD ），频宽收缩（/D a ω）
，带宽变窄（/D a ω），中心频率降低（0/a ω），而频率分辨率增高（/D a ω）。

○2a 减小，则带宽增加（/D a ω
），中心频率升高（0/a ω），时间分辨率增高（t aD ）而频率分辨率降低（/D a ω）。

这恰好符合实际问题中高频信号的持续时间短（在信号变化激烈的地方时间分辨率要高）低频信号持续时间长的自然规律。

因此同固定时窗的短时傅立叶变换相比，小波变换在时域分析领域具有不可比拟的优点。

小波函数(),a t τψ是由基本小波（或称为母小波）()t ψ生成的函数
()
,a t t a ττψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
（a ，τ为实数，且0a >） （5-11）被称为由基本小波()t ψ生成的依赖于参数a 、τ的连续小波，即由不同尺度伸缩和时间平移而得到的，
目的是使不同a 值下的小波函数(),a t τψ的能量保持相同。

无论a 、τ如何变化，小波的基本形状并不变化。

小波函数以0τ=为对称中心，称为平移参数，而a 越小，则小波宽度越窄，振荡越激烈，相当于傅氏变换中频率倒数的大小（a 越小相当于ω越大），1/a ω≈。

∴称为尺度参数。

信号()x t 的连续小波变换还可以写成： ()()()()()*,,,,,x a a def CWT a x t t dt x t t ψτττψψ∞-∞=<>=⎰ （5-12）
其中()(),,a x t t τψ<>表示()x t 和小波函数(),a t τψ的内积
可见，连续小波变换定量的表示了信号和小波函数系中各个小波函数的相关程度。

对于平方可积的小波函数，如果将小波看成是2()L R 空间的基函数系，则连续小波变换定义为信号在该基函数系上的分解或投影。

傅立叶分析：用一系列不同频率的正弦波表示一个信号
⏹ 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数
小波分析：用基本小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号
⏹ 一系列小波可用作表示一些函数的基函数
⏹ 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析
⏹ 小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶
变换用的正弦波
⏹ 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，
或者说对信号的基本特性描述得更好
5.2.1小波变换的多分辨率特性
小波变换之所以受到重视，是因为连续小波(),a t τψ存在着a 尺度因子和τ平移参数，使小波具有在时域和频域表征信号局部特征的能力。

τ可以根据需要定位，尺度变化时分析也变化。

a 越小，则窗口越窄，即在信号变化激烈的地方分析的时间分辨率较高，在信号变化缓慢的地方分析的时间分辨率较低，而频率分辨率较高。

也就是在一张时频分析图上兼顾了信号缓变和激变之处。

这就是小波变换最主要的特点，它的大部分应用也就源自于此。

如果基本小波()t ψ是中心为0t ，有效带宽为t D 的偶对称函数；其对应的傅氏变换()ωψ的中心频率为0ω，带宽为D ω，
那么：小波函数(),a t τψ中心为0at τ+，宽度为t aD ⇒(),a τωψ中心频率0a
ω，带宽D a ω（品质因数0Q D ωω=保持不变） 因此连续小波变换的时间——频率定位能力和分辨率可以用时间——尺度平面上的一个矩形窗来描述，该矩形窗的范围为：
000011,,2222t t D D at aD at aD a a a a ωωωωττ⎡⎤⎡⎤+-++⨯-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（5-13） 矩形窗的宽度为t aD ，高度为
D a
ω，它们分别表示小波变换的时间分辨率和频率分辨率。

可见，a ↑（低频）
D a
ω↓，t aD ↑，所以频率分辨率越高，时间分辨率越差，反之a ↓（对应频率高）t aD ↓时间分辨率越高，D a
ω↑频率分辨率越差。

小波变换的这种“变焦距”性质正好与信号的自然特性相吻合。

这也是小波变换适用于非平稳信号处理的一个重要原因。

但是，矩形窗的面积为t D D ω，它与尺度因子无关，仅仅取决于基本小波()
t ψ
的选择。

5.2.2小波滤波器组
形状不变但幅度，中心频率和带宽都随a 而改变的带通滤波器组。

连续小波变换在频域上还可以定义为：
()()()*,,j x CWT a X a e d ωττωωω∞
ψ-∞=ψ （5-14）
其中()X ω和()ωψ具有带通的幅频特性，则连续小波变换可以表征信号()X t 的局部频域特性。

采用不同的a 值时()a ωψ的中心频率和带宽各不相同。

但是品质因数Q （Q =中心频率带宽，中心频率0a ω，带宽D a ω）却保持不变。

因此，不同尺度下的小波变换还可以理解为用一组品质因数相同的带通滤波器对信号进行分析。

5.2.3连续小波变换重要性质
1）线性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和： 若()()()1122x t c x t c x t =+，
则()()()12,,,x x x CWT a c CWT a c CWT a τττ=+ （5-15）
2）平移不变性：
若()(),x x t CWT a τ←−→，
则()()00,x x t t CWT a t τ-←−→- （5-16）
3）尺度变换性：
若()(),x x t CWT a τ←−→， 则,,0x t a x CWT c c c c τ⎛⎫⎛⎫←−→> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（5-17） 5.2.4小波变换的局限性
小波变换的这种“自动”改变分析窗口的功能难道与人们希望完全吻合吗？显然并不是这样。

事实上这与选择何种小波有密切关系。

原则上，基本小波可有无穷多种选择，选择得恰当，自然效果就好。

所以这里涉及到如何掌握和使用小波变换问题，它不能完全取代短时傅氏变换，小波变换适用于那些尤其对分析信号的突变点要求高，允许人工成本较高的场合。

虽然小波变换的窗口根据尺度a 的变小而如人所愿地自动变窄了，但相应的小波滤波器的带宽却变宽了。

即时间分辨率的提高以牺牲频率分辨率作为代价的。

这就是说小波变换的频率分辨率与时间分辨率也存在着矛盾。

小波变换的时、频分辨率互为约束；遵循测不准原理。

1）尺度因子越小（频率变高）则小波越窄，时间分辨率越好，中心频率变高、而小波滤波器的带宽越宽，频率分辨率下降。

2）尺度因子越大（频率变低）则小波滤波器的带宽越窄，选频特性越好，频率分辨率越好，而小波变得越宽，时间分辨率下降。

小波变换作为一种有用的信号处理工具必须具备三个基本要求：
1）小波是一般函数的积木块
小波能够作为基函数，对一般函数进行小波级数展开。

2）小波具有时频聚焦性
3）小波具有快速变换算法：
为了使小波函数易于计算机的实现，希望小波变换像傅氏变换一样有快速算法。

5.2.5连续小波反变换
对于任何一种积分变换，只有存在反变换（反演，重构）才能更好地解释变换的意义，也才能使这种变换得到更全面的实际应用。

()()(),,2011,x a x t CWT a t dad C a ψτψ
τψτ∞∞-∞=⎰⎰ ()(
,2011,x t x t CWT a dad C a a ψψ
τττ∞∞-∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰ （5-18） 其中： ()
20def C d ψωωω∞ψ<∞=⎰，()()F t ωψψ=⎡⎤⎣⎦ （5-19）
5.2.6二进制小波变换
为了进行数值计算，对尺度因子a 和平移参数τ离散化，
令：2j a =， 02j k ττ=
则连续小波变为二进小波，即
/2002()()2(2)2j j j j t t k t k a ττψτ----==-） 对应：
(),a t t a ττψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
令： )2(2)(02/,τψψk t t j j k j -=--
()()()()()*,,,,,x a a def CWT a x t t dt x t t ψτττψψ∞-∞=<>=
⎰ >=<=⎰∞
∞-*
)(),()()(),(,,,t t x dt t t x k j WT k j k j x ψψψ
5.27常用小波
1） 墨西哥帽子小波
基本小波为： ())2221
t t t e ψ-=- 其傅氏变换为： ()()22/2F t e ωωψω-ψ==⎡⎤⎣⎦
(),0ωωψ=在处有二阶零点，因此Marr 小波是满足小波容许条件的。

图中给出当0τ=，尺度因子0.512a =,,时连续小波和相应的小波滤波器的频率特性（只画出了0ω>的一半）。

尺度因子a 越小: 时域看--小波越窄，时间分辨率越好，时域分析的定位能力提高；频域看--中心频率变高，小波滤波器的带宽越宽，频率分辨率下降。

尺度因子a 越大: 时域看--小波越宽，时间分辨率变差；频域看--中心频率变低，小波滤波器的带宽越窄，频率分辨率提高，选频特性增强，频域分析的定位能力提高。

2）：莫列特（Morlet ）基本小波为
()202
t j t t e e ωψ-= Morlet 小波其幅值就是高斯型的单频复简谐函数。

0ω为复简谐函数的频率， ()
t ψ的傅氏变换为 ： ()()20/2ωωω--ψ=
(),0ωωψ=在处的值并不等于零，
因此从严格意义上讲Morlet 小波并不满
足小波的容许条件。

但是()ωψ是高斯型频谱的特性可知：当01ω时(),0ωωψ=在处的值可看作近似等于零，也就是说近似满足小波的容许条件。

进一步分析还可以得到：当01ω时(),0ωωψ=在处的一阶导数和二阶导数也近似等于零。

中心频率是0a ω，可得带宽为A a
（A 为常数）。

都随尺度增大而减小，见上图与上例一样，也满足恒Q 滤波器组的优良特性。

但与上例不同的是，这里滤波器的形状更接近理想带通滤波器。

Morlet 小波具有较好的时域和频域的局部性能，这也是它在时频分析中常被采用的原因。

3）的莫列特（Morlet ）小波滤波器组离散化时取2j a =（二进尺度），这里j 对应a 简称尺度，02j k ττ=
则小波函数变为：
/2,0()()2(2)j j j k t t t k a τψψτ---=
=-：
(
)()2
02/22j j ωωω--= （,1,0,1,j =-）
下图画出了当00.2,20/T s rad s ω==的Morlet 小波滤波器组中尺度1~5j =的几个滤波器的频率特性
从图可以清楚看出：
j ↑（尺度大）→带宽越窄，频率分辨率越高（小波滤波器）
j ↓（尺度小）→带宽越宽，小波滤波器高频区的频率分辨率越差，时间分辨率高。

4）Haar 小波
Haar 函数是在小波分析中用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数，Haar 函数的定义为：
()100.510.51
0t t t ψ⎧≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩
其他 在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘haar ’)获得Haar 函数的一些主要性质。

5）Daubechies(dbN)小波系
除了db1( 即Haar 小波)外，其他没有明显的表达式，dbN 函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

Daubechies 小波函数提供了比Haar 组更有效的分析和综合。

Daubechies 系中的小波基记为dbN ，N 为序号且N=1,2,3,…,10
在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘db ’)获得Daubechies 函数的一些主要性质。

此外还有如Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系, Coiflet(coifN)小波系, Symlets(symN)小波系, Meyer 小波，Gaus 小波等等。

小波变换小结：
连续小波变换定义：
()()*
,,x t CWT a x t dt a ψττψ∞-∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭
小波函数
,()()a t t a ττψ-=， 经基本小波尺度伸缩和时间平移得到
1）小波变换通过尺度因子和平移因子的作用具有分析信号局部特征的能力
()()()*,,j t x CWT a X a e d ωψτωωω∞
-∞=ψ
2）不同尺度下小波变换可理解为形状不变，幅度、中心频率和带宽都随尺度改变的恒品质因数的带通滤波器对信号进行分析。

3）时、频分辨率受控于尺度因子，具有变焦距性质：
时间分辨率=t aD ；尺度a 越小时间分辨率越好但频率分辨率越差，反之时间分辨率越差。

（尺度因子越小（频率变高）则小波越窄，时间分辨率越好，中心频率变高、而小波滤波器的带宽越宽，频率分辨率下降）。

频率分辨率=w D a
，尺度a 越大频率分辨率越好但时间分辨率越差，反之频率分辨率越差。

（ 尺度因子越大（频率变低）则小波滤波器的带宽越窄，选频特性越好，频率分辨率越好，而小波变得越宽，时间分辨率下降）。

而短时付氏变换时、频分辨率固定，仅取决于所选的窗口函数。

4）付氏变换用到的基本函数只有sin(),cos(),exp()t t j t ωωω，而小波变换用到的函数（即小波函数）具有不惟一性，小波函数的选用是小波变换应用中的难点和热点问题。

5）付氏变换的实质是把能量有限信号()x t 分解到以{}j t e ω为正交基的空间上去。

小波变换的实质是把能量有限信号()x t 分解到以：
,(1,0,1,),(1,0,1,)j j V j W j =-=-和所构成的正交基的空间上去。

Matlab下的调用函数：
一维连续小波变换COEFS=cwt（S,SCALES ’wname’）采用’wname’小波，在正实尺度SCALES下计算向量一维小波子数，S为被分析信号。