3多目标规划(M)详解
多目标规划方法概述
因子
。试建立该问题的目标规划模型。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
解：根据题意，这一决策问题的目标规划 模型是
（3.9） （3.10） （3.11） （3.12） （3.13） （3.14）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（三）目标规划模型的一般形式
假定有L个目标，K个优先级(K≤L)，n个变量。 在同一优先级 中不同目标的正、负偏差变量 的权系数分别为 、 ，则多目标规划问题可 以表示为：
（2.1）
（2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各 目标函数在总体目标中的权重，即：
（2.3） （2.4）
式中，诸 应满足： 若采用向量与矩阵
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（2.5） （2.6） （2.7）
量的系数及约束值。其中，
；
；
。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
二、求解目标规则的单纯形方法
目标规划模型仍可以用单纯形方法求解 ，在求解时 作以下规定： ①因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检 验数为：
②因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因 子，
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
所以检验数的正、负首先决定于 的系数 的
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
大纲
多目标规划及其求解技术简介 目标规划方法 多目标规划应用实例
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1 多目标规划及其非劣解 多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和
多目标规划要求在给定的一组多个目标函数和约束条件下，找出函数取值最优的决策组。
它所关注的是综合各目标函数之间相互冲突的情况。
典型地，多目标规划将把一个复杂的实际决策问题（模型）简化成一系列函数优化问题。
其特征是模型中存在多个冲突的目标函数，即必须满足在多个方面都达到最优的决策时，每一个决策要求可能相互矛盾。
多目标规划的目标函数可以是任意形式的函数，但需要满足两个条件：（1）可以通过数值的比较来判断某一结果是否更优；（2）要求比较有意义，即应该能够反映实际决策问题中的所有目标。
有时在求解多目标规划中，我们要考虑未精确指定的条件，这就带来了另一个关键问题：如何衡量决策组中目标函数之间的相互矛盾。
常用的一种技术是利用偏好函数或损失函数，即用来衡量目标函数之间矛盾程度的函数。
广义上讲，将模型转化得到的多目标规划问题，可以转换成如何求解使偏好函数最小的问题。
它的实现往往需要在算法上做出一定的折中，即尝试在满足多个目标函数的前提下，使偏好函数取得较优解。
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用随着科技的不断进步，企业在生产的过程中需要考虑的因素也越来越多，例如成本、质量、效率、环保等多个方面。
这些因素不仅对企业的发展起到了决定性的作用，而且对于整个行业的发展也具有重要意义。
因此，在这个时代，如何能够完成多目标规划，对于企业的生产优化是非常重要的。
本文将从多目标规划模型及其在生产优化中的应用方面进行探讨。
一、多目标规划模型的概述多目标规划（multi-objective programming，MOP）是指在满足多个目标的基础上，寻求最优方案的一种决策方法。
多目标规划模型是通过建立目标函数，对每个目标进行评价和权衡，从而实现多目标的决策优化模型。
多目标规划模型可以被用来解决许多现实生产和决策问题，例如资源配置问题、供应链管理问题、营销决策问题、风险管理和环境保护问题等等。
在这些问题中，优化目标多个，且有时目标之间存在着矛盾性，因此需要采用多目标规划模型来解决。
二、多目标规划模型在生产优化中的应用1. 降低成本和提高质量对于一个企业来说，成本和质量是两个非常重要的因素。
如何同时降低成本和提高质量成为了企业的一个难题。
多目标规划模型可以帮助企业在进行生产决策时，考虑多个目标，实现成本和质量的平衡。
在多目标规划模型中，建立成本和质量的目标函数，对企业的各项指标进行量化和分析，然后对目标函数进行加权，最终得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在不降低产品质量的条件下，实现成本的降低，从而提高企业的效益。
2. 提高生产效率和降低能耗随着市场竞争的加剧，企业需要不断提高生产效率，从而降低成本，并提高企业的竞争力。
另一方面，环境保护也成为了现代企业生产的一个必须考虑的因素。
多目标规划模型可以在生产过程中，同时考虑生产效率和能耗，实现生产的可持续发展。
在多目标规划模型中，建立生产效率和能耗的目标函数，评估企业的各项指标，加权得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在提高生产效率的同时，降低能耗，实现生产效率与环境保护的双赢。
《多目标规划》PPT课件
2021/4/24
16
多目标规划的象集
研究象集的作用在于：
(1) 求出F R中的有效点和弱有效点，就可确定有效解和弱有效解；
(2) 对象集F R的研究可以提供—些解多目标规划的方法；
f x
f x
f1 x f2 x
f2 x f1 x
2021/4/24
Re* a,b
O
ab
x
O a cd b x
13
a
b
多目标规划的解集
❖ 解集之间的关系
(1)
p
若
i1
Ri*
，则 Ra*b
p
i 1
Ri*
(2) Re* Rw*e R
(3) Ri* Rw*e (i 1, 2,..., p)
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
24
25
400
800
26
15
600
500
28
2021/4/24
6
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单
目标规划问题：min fi x, xR, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优
解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最
优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
《多目标规划模型》课件
02
权重法的主要步骤包括确定权重、构造加权目标函数、求解加权目标函数，最 后得到最优解。
03
权重法的优点是简单易行，适用于目标数量较少的情况。但缺点是主观性强， 依赖于决策者的经验和判断。
约束法
1
约束法是通过引入约束条件，将多目标问题转化 为单目标问题，然后求解单目标问题得到最优解 。
2
约束法的主要步骤包括确定约束条件、构造约束 下的目标函数、求解约束下的目标函数，最后得 到最优解。
多目标规划模型
目录
• 多目标规划模型概述 • 多目标规划模型的建立 • 多目标规划模型的求解方法 • 多目标规划模型的应用案例 • 多目标规划模型的未来发展与挑战
01 多目标规划模型概述
定义与特点
定义
多目标规划模型是一种数学优化方法 ，用于解决具有多个相互冲突的目标 的问题。
特点
多目标规划模型能够权衡和折衷多个 目标之间的矛盾，寻求满足所有目标 的最佳解决方案。
02 多目标规划模型的建立
确定目标函数
01
目标函数是描述系统或决策问题的期望结果的数学表达 式。
02
在多目标规划中，目标函数通常包含多个目标，每个目 标对应一个数学表达式。
03
目标函数的确定需要考虑问题的实际背景和决策者的偏 好。
确定约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件。 02 在多目标规划中，约束条件可以分为等式约束和
谢谢聆听
模型在大数据和人工智能时代的应用前景
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着大数据和人工智能技术的快速发展，多目标规划模型 在许多领域的应用前景广阔。
大数据时代带来了海量的数据和复杂的问题，这为多目标 规划模型提供了广阔的应用场景。例如，在金融领域，多 目标规划可以用于资产配置和风险管理；在能源领域，多 目标规划可以用于能源系统优化和碳排放管理。同时，随 着人工智能技术的不断发展，多目标规划模型有望与机器 学习、深度学习等算法相结合，共同推动相关领域的发展 。
多目标规划模型解读
（1） （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， ? (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
对于线性多目标规划 问题，可以进一步用矩阵表示：
max(min) Z ? CX s.t. AX ? b
式中：
X 为n 维决策变量向量；
C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵；
jj l
l
l
j?1
( l ? 1,2,? , L)
n
? a x ? (? , ? )b
ij j
i
j?1
(i ? 1,2,? , m )
x j
?
0
( j ? 1,2,? , n )
d?,d? ll
?
0
(l ? 1,2,? , L )
目标函数 目标约束 绝对约束 非负约束
在以上各式中，
??
+ kl
、?
kl
? ?
x1
?
2x2
?
10
?? x1, x2 ? 0
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为:
x
? 1
?
4,
x
? 2
?
3, Z ?
?
62
（万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如：
① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量 。
约束模型
目标规划模型
目标达到法
?目标规划方法
?目标规划模型
?目标规划的图解法
?求解目标规划的单纯形方法
?多目标规划应用实例
多目标规划-精品
步骤：
主要目标 f1x的最优集合为 R 1 ，再在集合 R 1
内求次重要目标 f2x的最优解，设此时的最优
解集合为 R 2 ，如此继续进行，直到求出最后一
个目标函数的最优解。
第一步 第二步 第 p步
m x R 0 fi1n xf1x1
m x R 1 fi2n xf2x2
假定要求 p个目标 f1x,f2x, ,fpx的最优值，约束
条件为 xR。如果其中一个目标比较关键，如 f1x希望
它取极小值，使其他目标满足一定条件，如使
fifixfi i 2,,p
而把问题转化为单目标规划问题
mifn1x
x R'
R f 1 f i x f i , i 2 , ,p , x R
例子：
橡胶配方问题
一个橡胶由 n种成分组成，用 xx1,x2, xnT
来表示一个橡胶配方。对于每一个配方往往同
时硬需 度要f2 考x，察伸多长个指f3 标x，。变例形如橡f4 胶x的等强，力假设f1共x有，m
个指标，则对两个不同方案，就要同时比较个 指标，才能获得尽可能好的橡胶配方。
求最小时，可以p 给每个目标相应的权系
数i 0，且 i 1，构成新的目标函数 i1 p Fxi fix i1 然后使这个新的目标函数取极小值。
这里的权系数大小根据每个目标函数的相 对重要性来确定。
3.平方和加权法
首先确定各个目标 fi x的希望目标值 f i *，
x m Rp1ifp nxfpxp
式中：
R R0
R i x im fix i ,x n R i 1
最后所求出的 x p为最优解。
多目标规划方法讲义(PPT42张)
s . t .
（1）
( X ) G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
i 1 k
( x , x , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
x d d 200 1 d d 0( j 1 . 2 . 3 ) j, j x d d 250 2
2 3
2 3
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 x 4 x d d 3600 d , d 0 则变为 9 1 2 4 4 4 4
1( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想 化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) , 每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。 那么，多目标规划问题就转化为：
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
二 多目标规划求解
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
多目标规划求解方法介绍
多目标规划求解方法介绍多目标规划（multi-objective programming，也称为多目标优化）是数学规划的一个分支，用于处理具有多个冲突目标的问题。
在多目标规划中，需要找到一组解决方案，它们同时最小化（或最大化）多个冲突的目标函数。
多目标规划已经在许多领域得到了应用，如工程、管理、金融等。
下面将介绍几种常见的多目标规划求解方法。
1. 加权和法（Weighted Sum Method）：加权和法是最简单和最直接的多目标规划求解方法。
将多个目标函数通过赋予不同的权重进行加权求和，得到一个单目标函数。
然后使用传统的单目标规划方法求解该单目标函数，得到一个最优解。
然而，由于加权和法只能得到权衡过的解，不能找到所有的非劣解（即没有其他解比它更好），因此它在解决多目标规划问题中存在局限性。
2. 约束方法（Constraint Method）：约束方法是将多目标规划问题转化为一系列带有约束条件的单目标规划问题。
通过引入额外的约束条件，限制目标函数之间的关系，使得求解过程产生多个解。
然后使用传统的单目标规划方法求解这些带有约束条件的问题，得到一组最优解。
约束方法可以找到非劣解集合，但问题在于如何选择合适的约束条件。
3. 目标规划算法（Goal Programming Algorithms）：目标规划算法是特别针对多目标规划问题设计的一类算法。
它通过将多个目标函数转化为约束关系，建立目标规划模型。
目标规划算法可以根据问题的不同特点选择相应的求解方法，如分解法、交互法、加权法等。
这些方法与约束方法相似，但比约束方法更加灵活，能够处理更加复杂的问题。
4. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种启发式的优化方法，也可以用于解决多目标规划问题。
它模仿自然界中的进化过程，通过不断地进化和迭代，从初始种群中找到优秀的个体，产生一个适应度高的种群。
在多目标规划中，遗传算法通过构建适应度函数来度量解的好坏，并使用交叉、变异等操作来产生新的解。
多目标规划模型-很好
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400x1 600x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又 彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难 的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来 越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求 解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题, 然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优 解,以此作为多目标问题的解.
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为： aij A1 A2 A3 A4 f1 1 100 1 40.6 f2 1 100 42.25 25.75 f3 67 1 100 67 f4 50.5 100 1 25.75 f5 34 1 67 100
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
第五章_多目标规划
R x gi ( x ) 0, i 1, 2,, m 称为多目标规划问题
的可行集或容许集， x R 称为可行解或容许解 . 多目标规划问题与前面讲的规划问题的主要区 别在于：目标函数不止一个，而是 p 个（ p 2 ） 。 多目标规划问题的解法：根据问题的实际背景 和特征，设法将多目标优化问题转化为单目标优 化问题，从而得到满意解的方法.
F f1 ( x ), f 2 ( x ), f p ( x ) 为其最优值.
T
容易看出，在使用分层序列法时，若对某个 问题 Pi ， 其最优解是唯一的， 则问题 Pi 1 , Pp 的 最优解也是唯一的，且 x(i 1) x( p) x(i ) 。因 此常将分层序列法修改如下：选取一组适当 的小正数 1 ,, p ，成为宽容值，把上述的问 题 Pi 修改如下：
解： 设该厂每周生产布料 A1 , A2 , A3 的小时数为
x1 , x2 , x3 ，总利润为 y1 f1 ( x ) （元） ，总能耗为 y2 f 2 ( x ) （ t 标准煤） ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T ，
y1 f1 ( x ) 0.15 400 x1 0.13 510 x2 0.20 360 x3 y2 f 2 ( x ) 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 0.36 1.4 x3
一般的多目标规划问题都可写成如下的形式：
min f1 ( x ) min f 2 ( x ) min f p ( x ) s.t. gi ( x ) 0, i 1, 2,, m
其中， x = ( x1 , x2 ,, xm )T Rn ， p 2 .
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的 最优化（最大或最小），而不顾其他目标。
3多目标规划(M)
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
Min Z xi
i 1
9
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
x4 x6 x7 x9 2
例 选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
转化为单目标的具体方法介绍：
Min {Z , W }
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际 情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问题。
多目标规划模型概述ppt
X(x1,x2,...x.n), 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)
弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 , x 2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2(X)40x0160x02 20000
f3(X)3x12x2 90
由主要目标法化为单目标问题
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2
的函数：
U (x)U (f1,f2,..f.p),
并设
aij fi(xj )
且各个方案的效用函数分别为
U (xj)U (a1j,a2j,.a .p .)j,
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ord(U X)(U(X1)U , (X2),..U ..(,Xp))T s.t. gi(X)0
hj(X)0
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T s.t. gi(X)0
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x 1 600 x 2
多目标规划的若干理论和方法共3篇
多目标规划的若干理论和方法共3篇多目标规划的若干理论和方法1多目标规划的若干理论和方法多目标规划是指在多目标条件下进行决策的一种数学方法，它把一个问题转化成一个具有多个目标约束条件的数学优化问题。
在现代化的社会经济发展中，人们往往不仅仅关注单一的目标，而是有着多种不同的目标和需求。
因此，多目标规划技术应运而生，被广泛应用于各行各业的决策和管理中。
本文将简单介绍多目标规划的若干理论和方法。
一、多目标规划的相关理论1. Pareto最优解Pareto最优解是多目标规划中比较重要的概念之一，它指的是在多个目标之间不能再做出更好的妥协的一种解法。
具体来说，如果一个解决方案比其他所有解决方案在某个目标上优秀，而在其他目标上没有任何明显的劣势，则该解决方案就被称为Pareto最优解。
2. 支配支配是另一个多目标规划的重要概念，它指的是在所有可能的解空间中，一个解决方案中所有目标值都比另一种解决方案好，则前者支配后者。
例如，如果一个解决方案在所有目标上都比另一个解决方案好，则前者支配后者。
3. 目标规划多目标规划中，一个重要的理论发展就是目标规划。
它把问题分解为多个聚焦于更少数目标的小问题。
通过优化多个小问题的解决方案，最终达到全局最优解。
二、多目标规划的方法1. 权值法权值法是多目标规划的一种基础方法，其主要思路是通过对每个目标进行加权求和，将多目标问题转化为单一目标问题。
先确定每个目标的权重，然后将所有目标的得分加权求和，得到唯一的一个综合得分。
由此作为参考，进一步进行优化。
2. 线性规划法线性规划法是一种基础的多目标规划方法，它的求解过程基于线性规划。
将所有的目标约束转为线性规划约束条件，然后通过线性规划问题来求解最优解。
3. 模糊规划法模糊规划法是一种基于模糊数学的多目标规划方法。
它采用模糊数值来表达目标和约束条件，并通过模糊方法解决多目标策略问题。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的求解多目标规划问题的方法。
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法，它根据问题的实际情况．确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中，()1f x 为主要目标，而对应于其余（p-1）个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值：(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理，于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题：公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x)，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x))，然后求解如下问题：()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题：()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ，首先分别求解p 个单目标规划问题：()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ，而其目标函数值可以表示为：()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中：(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说，不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同，故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集，所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
多目标规划求解方法介绍
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
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增加约束
x
i 1
9
i
6，
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
1 2 3
4 5 6 7 8 9
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
Hale Waihona Puke 求解算法 转化为单目标 实例1：投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用 作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了 评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率，并预测出 购买Si的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小， 公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用 所投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率已知，并且当购买额不超过最低限 额时，交易费按购买最低限额计算（不买当然无须付费）。 另外，假定同期银行存款年利率是1%, 且既无交易费又无风 险。试给该公司设计一种投资组合方案 目标一：使净收益尽可能大； 目标二：而总体风险尽可能小。
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优 解 *
x1 3, x2 3, z 1500 .
Max z 200x1 300x2 ;
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
s. t. 2 x1 2 x2 12 , 4 x1 16, 5 x2 15, x1 , x2 0.
目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。
1. 设置偏差变量
用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 d d d ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 其中d 与 d 至少有一个为0
多目标优化模型
一、多 目 标 优 化 简 介
• 优化(Optimization) : 从若干可能的方案中寻求某 种意义下的最优方案 •多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给 定区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0
x4 x7 x4 x7 0
2 x5 x1 x2 0 x6 x7 0
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
x8 x5 0
2 x1 2 x2 12 .
另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解生产安排中，我 们希望利润不低于1500元，则目标可表示为
min{ d }; 200 x 300 x d d 1500. 1 2
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际 情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问题。
转化单目标法
2. 线性加权和法：按照m个目标 fi ( x) 的重要 程度，分别乘以一组权系数，然后相加作 为目标函数。
1 p
转化单目标法
5. 评价函数法 以上的各种方法都是由 f i ( x)归结成一 个目标其可看作是 f i ( x) 的函数 U ( x) u( f ( x)) 我们可统一称其为评价函数，显然其 具有很大的概括性，它不仅包括以上的 一些方法，还可以构造新的方法。当然 这种构造也不是随意的，一般要根据问 题的具体背景和几何意义来构造
约定如下： •当实际值超过目标值时，有 d 0, d 0; •当实际值未达到目标值时，有 d 0, d 0; •当实际值与目标值一致时，有 d 0, d 0.
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解生产安排问题中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
品产 单耗 甲 原料
乙
5 2 0 100
总量
80 48 6
4 1 C 单位利润 80
A B
4
矛 盾 的
一般形式： min Q( X ) max R( X ) s .t . F ( X ) M X O 双目标规划模型
化成单目标规划模型 化法一
min Q( X ) s .t . R( X ) a F(X ) M
求解算法 实例2：旅游路线设计
转化为单目标
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内 外的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望 能安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文 景观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定； 每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
或
max R( X ) s.t . Q( X ) b F(X ) M
X O
X O
化法二
min Q( X ) (1 ) R( X ) s .t . F ( X ) M X O
为目标权重或偏好系数。
a , b, 均可看成参数，对不同的参数值求出 最优解，然后加以讨论，选出满意解。
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2
• 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用
• 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
例 选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
学分
5 4 4 3 4 3 2 2 3
所属类别
数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
Z xi
i 1
9
W 5x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9
最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。
求解算法之一：
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
Min Z xi
i 1
9
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
x4 x6 x7 x9 2
Min {Z , W }
最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y 1Z 2W 0.7Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
转化为单目标的具体方法介绍：
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
1 2 3
4 5 6 7 8 9