2015年石家庄高三质检一考试理科数学试卷及答案

石家庄市2015届高三第一次质量检测

数学理科答案

一、 选择题：

1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA

二、填空题：

13．24y x =+ 14．1- 15

． 16.3602

三、解答题

17.

因为c=2,不合题意舍去，所以5

2c =.....................................10分

18．解(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2

(33)3(312)d d +=+，

得2d =或0d =(舍)，……………………2分

所以{}n a 的通项公式为3(1)221n a n n =+-=+……………………4分

（2）2(21)2n

n n n b a n ==+ 222222,............2sin sin sin 3

cos .............62sin 2494cos 2629100.................852c=............92==∴

===+-+-==-+==a b

A B A B A a B B b a c b c B ac c c c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分解得或分

123325272(21)2n n S n =+++

++………………① …………②……………………6分

①－②得123132222222(21)2n n n S n +-=++++-+…………………8分

1

+12(12)22(21)212

2(21)2n n n n n +-=+-+-=---……………………10分 ∴1(2

1)22n n S n +=-+……………………12分

19. 解：（1）

解：a=6 b=10……………………………2分 ……….5分

（2）P （Y=0）=130

63240228=C C P （Y=1）=6528240

112128=C C C P （Y=2）=130

11240212=C C

…………………11分 23412325272(21)2n n S n +=+++

++

35

E （P ）=.…………………………12分 20

(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接

MN 、ME 、NF

，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,

∴四边形M E F N

为平行四边形.

-------------2

∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面.

- ------------4

(2) 由已知得，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以AP AB AD ，，两两垂直．

如图所示，以A 为坐标原点,分别以,,为轴轴，轴，z y x 的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，所以(001),(000),B(1,0,0),(110),(010)P A C D ，，，，，，，，，,

1111(0),(0)2222

E F ，，，，, 所以,11(0)22

EF =-，，, 11(0),(100)22AE AB ==，，，，,- ------------6

设平面ABE 法向量(,,)n a b c =,0,0,n AE n AB == 所以110220

b c a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1,0,1b a c ===-则 所以(0,1,1)n =-为平面ABE 的一个法向量 -------------8

设直线EF 与平面ABE 所成角为α,

于是1sin cos ,2

EF n

EF n EF n α=<>==.-------------10

所以直线EF 与平面ABE 所成角为

6

π. -------------12 解法2:

在平面PAD 内作EH ∥PA H 于,

因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,

所以EH ⊥底面ABCD . -------------6 E 为PD 的中点,12EH =,1111224

ABF S =⨯⨯= 11111334224

E AB

F ABF V S EH -==⨯⨯=

-------------8 设点F 到平面

ABE 的距离为h

,E ABF F ABE V V --=1112224ABE S AB AE =⨯⨯=⨯⨯

= 113

3ABF ABE S EH S h =, 4h =

. -------------10 设直线EF 与平面ABE 所成角为α,

1sin 2

h EF α==,所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π. -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，

即000032()223x x x x x y y y y y

⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，————————————————————2分

又因为22

009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2

214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。 ————————————————————4分

（2）当过点（1,0）的直线为0y =时，(2,0)(-2,0)4OM ON ==-

当过点（1,0）的直线不为0y =时可设为1x ty =+，A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）联立2

2141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩

并化简得：22(4)230t y ty ++-=，由韦达定理得：12224t y y t +=-+，12234

y y t =-+， ————————————————————6分 所以212121212121222222222(1)(1)(1)()132414(4)1717(1)1444444OM ON x x y y ty ty y y t y y t y y t t t t t t t t t t =+=+++=++++---+-++=+++===-++++++

————————————————————10分

又由222412(4)16480t t t ∆=++=+>恒成立，所以t R ∈，对于上式，当0t =时，()

max 14OM ON = 综上所述OM ON 的最大值为

14 …………………………………………12分 22． 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，

当3a =时，21123()23x x f x x x x

+-'=+-= 当102x <<

或1x >，时，()0f x '>，........................2分 当112

x <<时，()0f x '<.......... ()f x ∴的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2

..........4分