02-22.1有理函数的部分分式分解pdf

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2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2 x 1 C.
2
23
3
于是
I ln | x 2 | ln | x 2 | 1 1 ln | x 2 x 1 | x2 2
1 arctan 2 x 1 C.
3
3
数学分析
(i)
dx (x a)k
1
(1 k)( x a)k 1
C,
k 1, k 1.
数学分析
(ii)
令tx
p ,
r 2 q p2 , N M pL , 则
2
4
2
Lx M dx Lt N dt
( x2 px q)k
(t 2 r 2 )k
k 1 时,
L
t dt N
(i)
dx (x a)k
1
(1 k)( x a)k 1
C,
k 1, k 1.
数学分析
(ii)
Lx M dx ( p2 4q 0).
( x2 px q)k
L
t dt N
dt .
(t 2 r 2 )k
(t 2 r2 )k
t
2k 3
Ik 2r 2 (k 1)(t 2 r 2 )k 1 2r 2(k 1) Ik 1 ,
数学分析
例1 对 R( x) 2 x4 x3 4 x2 9 x 10 x5 x4 5x3 2x2 4x 8
作部分分式分解.
解 因为Q(x) x5 x4 5x3 2x2 4x 8
( x 2)( x 2)2( x 2 x 1). 所以 R( x) A0 A1 A2 Bx C ,
dt .
(t 2 r 2 )k
(t 2 r2 )k
t2
t
r2
dt
1 2
ln(t
2
r
2)
C,
t2
dt
r
2
1 r arctan
t r
C.
数学分析
k 2 时,
t
dt 1
d t2 r2 2
1
C.
t 2 r2 k
2 (t r2 )k 2 1 k t 2 r 2 k1
1
2
1
x 1
R( x)
x2
x 2 ( x 2)2
x2
. x 1
数学分析
有理真分式的递推公式
任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种
形式的不定积分之和：
(i) dx ; (ii)
Lx M dx ( p2 4q 0).
(x a)k
( x2 px q)k
下面解这两类积分.
ln | x a | C,
第二单元 Ch9 不定积分
2.1 有理函数的部分分式分解及 有理真分式的递推公式
数学分析
有理函数的部分分式分解
有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 其一般形式为:
R( x)
P( x) Q( x)
0
xn
1
xm
0
xn 1 n
xm 1 1
m
(0 0,0 0),
m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式.
假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.
数学分析
真分式又可化为
Ai (x a)i
与
Bi x Ci 之和,
( x2 px q) j
其分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:
1.对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解:
Q( x) ( x a )1 (x a )s (x2 p x q )1 (x2 p x q )t ,
k 2, 3,.
数学分析
例2
求 I=
2 x4 x3 4 x2 9 x 10 dx. x5 x4 5x3 2x2 4x 8
解 由例1,
2 x4 x3 4 x2 9 x 10
x5
x4
5x3
2x2
4x
dx 8
dx x2
2dx x2
dx ( x 2)2
( x 1)dx x 2 x 1
1
s
1
1
t
t
s
t
其中i ,j N+ , 且 i 2 j m,
i1
j1
pj2 4qj 0, j 1,2,,t.
2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分式.
数学分析
对应于 ( x a)k 的部分分式是
A1 A2 Ak .
x a (x a)2
(x a)k
对应于 ( x2 px q)k 的部分分式是
t 1) (t 2 r 2 )k 1
Ik
1
.
数学分析
Ik
1 r2
Ik1 源自文库
1 t 2r 2 (k 1) (t 2 r 2 )k 1
Ik
1
.
解得
t
2k 3
Ik 2r 2 (k 1)(t 2 r 2 )k 1 2r 2(k 1) Ik 1 ,
得公式
k 2, 3,.
ln | x a | C,
记 Ik
dt ,则 (t 2 r 2 )k
1 (t 2 r 2 ) t 2
1
1
t2
Ik r 2 (t 2 r 2 )k dt r 2 Ik 1 r 2 (t 2 r 2 )k dt
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
td
(t 2
1 r2
)
k
1
1 r2
Ik1
1 2r 2 (k
B1 x C1 B2 x C2 Bk x Ck ,
x2 px q (x2 px q )2
(x2 px q ) k
把所有部分分式加起来,使之等于 R(x), 由此确定 上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci .
数学分析
3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子 P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程组， 由此解出待定系数.
.
ln | x 2 | 2ln | x 2 |
1
x+2
( x 1)dx. x2 x 1
其中
( x 1)dx 1 d( x2 x 1) 1
1
x2 x 1 2 x2 x 1 2 x2 x 1dx
数学分析
1 ln | x2 x 1 | 1
2
2
dx
2
x
1 2 2
x 2 x 2 ( x 2)2 x 2 x 1 两边乘以Q( x), 得到
2 x4 x3 4 x2 9 x 10
A ( x 2)2 ( x 2 x 1) A ( x 2)( x 2)( x 2 x 1)
0
1
A2( x 2)( x 2 x 1) (Bx C )( x 2)( x 2)2 .
数学分析
比较同次项系数, 得到线性方程组
3AA0 0AA1 1BA2
2
2B
C
1
A0 3A1 3A2 4B 2C 4
4 A1 3 A2 8B 4C 9
4A0 4 A1 2 A2 8C 10
x 4 的系数 x 3 的系数 x 2 的系数 x 的系数 常数项
解得 A0 1, A1 2, A2 1, B 1, C 1. 于是完成了R(x) 的部分分式分解: