非周期信号的频谱分析

X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
X
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数） 单边指数信号 直流信号 单位阶跃信号 单位冲激信号
T1→∞ nw1→w
dt]
F(
j )
f
(t )e j
t
dt
f (t) F( jw) 时域→频域 傅立叶变换
说明：1）F(jw)的物理意义
•
•
Lim F Lim F F ( j)
T1 n
T1
T1
n f
单位频率上的振幅，具有密度含义。表示不同
频率下振幅的相对大小。
2）实际振幅
Lim Lim Fn T1
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t) Eg (t) E
2 O 2
F
(
j
)
f (t)ej t d t
2
Ee j
t
d
t
j
j
s2 in
t
E
.e
2 e 2j
2
E
2
2
2
E=1时
g
(t)
Sa
2
实函数
幅度频谱： F j E Sa
相位频谱：
2
0
F( jw)为正
π F( jw)为负
F(jw)存在
1 2(w)
sin w0t j (w w0 ) (w w0 )
如直流信号、周期信号、阶跃信号等并不满足绝对可积条件，但 傅里叶变换存在，这类信号的傅里叶变换的共同特点是都含有冲 激函数δ(w)项.因此引入冲激函数δ(w)概念，傅里叶变换的范围扩 大了。
3）所有能量信号均满足此条件
]
jw
0
w0 w0
X
6．单位阶跃函数
不满足绝对 可积条件
f
(t)
t
1, 0,
t0 t0
方法1： 做一个单边指数函数
(t )
1
e t
f1t t et ，求F1 j ，
O
t
求极限得到F j 。
F1
j
0
e
t
e j
t
dt
1 j j 2 2
F
j
lim
0
F1
j
lim
0
2
lim
0
arctg
lim[ a a0 2
a]
2
＝
( )
F1( j)
lim[ a a0 2
a]
2
+
lim[ j ] a0 (a2 2 )
0
lim [ j
a0
(a 2
]
2)
j1
1 jw
0 0
F
F j lim F1 j 0 (t) () 1 j
π
O
φ(ω) π/2
ω 0 -π/2
t
5.符号函数
第 23
页
不满足绝对可积条件，可由指数函数求极限方法
求得频谱。
F( jw)
2
2
j
e2
jw w
Sgn(t)
F(w)=2/w
(w)
π/2 1
0
t
－1
0
0
w
-π/2
w
sgn( t) 2 jw
X
推导:由双边指数函数求极限方法(自学）
第 24
页
2
F(
jw)
lim [
a0
j
a2
2w w2
f t
E
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
g 2 t
E
O
t
E 2π E
1 2π
推导（自学）
lim F j
Eej t d t
lim e j t
E
j
e j ej
E lim
j
E
lim
2
sin
2π
E
lim
π
sin
2π E
F
2π E
提问:所有信号都可以由时域变换到频域进行分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
f t d t（有限值或收敛） 即f t绝对可积
注意：
绝对可积
F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件）
2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必
要条件）
(t) (t) 1
? jw 不绝对可积
(w) (w)是w奇函数
2.对频谱密度函数的分析
频谱分析 周期信号
振幅谱： 相位谱：
Fn偶函数，双边
用振幅表示
离散 谱线
奇函数，单或双边
特点：
用谱线表示 离散变量nw1
离散谱（谱线） 收敛谱
能量集中在整数 倍谐波分量上
第 6 页
非周期信号
F( jw)偶函数，双边
用密度表示 连续
曲线
奇函数，双边
用曲线表示
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
频谱图
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
第
9.三角脉冲
t
f
2
(t
)
1
t
33 页
0
t
f
2
(t )
Sa 2
(
w
2
)
g (t) Sa 2 f
O
E 2π E
时域无限宽，频带无限窄
lim
π
Sa
(
)
证明（自学）：
lim
π
Sa
(
)
Sa
1
, π ,曲线向纵轴集中
,能量压缩到 0
π O
π
lim
π
Sa
这是一个以为自变量的冲激函数,
由冲激函数的定义得其强度为:
lim
Sa d 1
π
(因为Sa(t)曲线下面积: sin t d t π)
二.频谱密度函数（频谱函数）
1.频谱函数F(jw)的导出(傅里叶正变换)
由周期信号复振幅在T1→∞时推出
为Fn/f,单位频 带上的振幅值
思路: T1→∞ Fn→无限小,但考虑T1Fn≠无限小,是有限值.
定义:
•
limlim F F
j
T1
T1
1 T1 T1[T1
n
T1
f 2
T1 2
(t)e jn1t
f (t) 1 F ( jw)e jwt dw f (t) 1 F( jw) coswt (w)dw
2
0
fT (t) Fne jn1t n
fT (t) A0 An cos(nw1t n ) n1
指数形式
三角形式
结论：无论周期信号还是非周期信号都可分解为不同频率下三角或
虚指数函数的线性组合。
第
方法2：
28 页
Sgn(t) (t) [1 (t)] 2 (t) 1
(t) 1 1 Sgn(t)
22
(t) 1 2(w) 1 2 (w) 1
2
2 jw
jw
(t) () 1 j
X
7．单边指数信号
f
t
Ee
t
t 0
0
0 t 0
f t
E
F j F f ()
O
2
指数形式
1 F ( jw) e j (w)e jwt dw
2
1 F ( jw)e jwt (w)dw
2
f (t)
1
2
F( jw)
coswt
(w)dw
j
1
2
F( jw)
sin wt
(w)dw
f
(t)
1
0
F(
jw)
coswt
(w)dw
三角形式
X
第
信号分解
9 页
非周期信号的傅里反叶变换与周期信号的傅立叶 级数比较：
2π
2π
f (t) 1
0
F ( jw) coswt (w)dw
与周期信号比较：fT (t) A0 An cos(nw1t n )
非周期信号同样可分解为：
n1
无穷多个幅度为无穷小 1 F d或 1 F d
2
不同频率的连续虚指数信号或正弦信号的线性叠加，
占据整个频域, : 或0
T1 d
谱线无限 密集
n1 nd
离散变量
连续变量 离散谱谱 连续谱
F 复振幅
•
n
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t
dt
2
复振幅大小为无穷小
物理解释： 频谱幅度无限小，但相对大小仍然存在,谱线
大小比例关系存在.再用
•
Fn
表示频谱就不合适了。
思考：用什么物理量描述频谱呢？
为了描述非周期信号频谱中振幅间的相对大小,引入
连续变量w
连续谱（曲线） 收敛谱
能量分布在所有
频率分量上
X
3.傅里叶反变换：
思路:由周期信号复指数形式的傅里叶级数推出
F
fT (t)
n
•
n e jn1t
当T1 时，
1
n
T1
T1
2 f (t )e jnw1t dt e jn1t
T1 2
1 d, f (t)
n1
R()是的偶函数, X ()是奇函数
() arctan R() X()
是奇函数
F( j)或F() ~ :幅度频谱 偶函数
~ : 相位频谱 奇函数
如果f(t)是实函数
F( jw) R() jX () R() jX () F ( jw)
F( jw) F ( jw) F( jw) 是w偶函数
2π 4π
π
B
2π
或B f
1
脉宽与频宽成反比
奇函数
第
说明：与周期性矩形脉冲信号的频谱比较
17 页
Fn
E
T1
Sa( w
2
)
wnw1
F( jw) ESa( w )
2
两种信号频谱的包络线都是按抽样函数变化的；
具收敛性；
周期信号频谱： 离散谱 用谱线表示Fn～nw1
非周期信号频谱：连续谱 用曲线表示F(jw) ～w
两频谱关系：
Fn
1 T1
F ( jw)
wnw1
此结论适合任何脉冲信号
求法三： 由一个周期信号 的傅里叶变换求 周期信号复系数
X
2．冲激函数
F( j) tej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
均匀谱
时域无限窄，频带无限宽
(w) 0
(t) 1
说明: 时域变化异常急剧的冲激在频域是包含幅度相 等的所有频率分量
j 2
lim[
0 2 2
j
]
2 2
F1(
j )
lim[ a a0 2
a]
2
+
lim[ j ] a0 (a2 2 )
设
A(ω)=
lim
0
2
2
,因为 A(ω)=
0
0 0
说明A(w)是一个冲激信号,则其强度可由积分求得:
A( )d
lim
0
2
2
d
lim
0
d ( 1 (
) )2
4nπ 22n 1π
22n 1π 22n 2π
n 0,1,2,
频谱图
幅度频谱 相位频谱
•
E Fn 周期性矩形脉
T1
冲信号频谱
F
E
2π
2π
O 1 21
O 2π
F
E
4π
F j E Sa
2
偶函数
F E Sa
2
频宽：
2π O 2π 4π
π
2π 0
F ( jn1 )
T1
T1
1 2
F ( jn1 )
F ( jw) dw
2
各频率分量实际振幅大小是一个无穷小量。
X
3）幅频谱和相频谱 F j 一般为复信号,故可表示为
F( j)
f (t)ej t d t
f (t) cos t d t j
f (t) sin t d t
R() jX () | F( j) | e j() F()e j()
t
Ee t t ej t dt
F E
E
jw
2 2
arctan
et (t) 1
j
频谱图
幅度频谱：F
E
2 2
0,
,
F E
F 0
Eet (t) E j
F
E
相位频谱： arctan
0,
0
,
π
2
,
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出 •傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换的存在条件 •常用非周期信号的频谱 •非周期信号频谱的特点