第十讲中位线

第十讲、中位线

第一部分、 教学目标：

1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理

2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力

4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 教学重点和难点：

1.教学重点:三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

2.教学难点 :三角形中位线定理的证明. 第三部分、 教学过程： 例题讲解：

例1、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是（ ） A ．9° B ．18° C ．27°

D ．36°

【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，

∴FP ，PE 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，

∴PF ＝21BC ，PE ＝2

1

AD ，

∵AD ＝BC ，

∴PF ＝PE ，故△EPF 是等腰三角形． ∵∠PEF ＝18°， ∴∠PEF ＝∠PFE ＝18°． 故选：B ．

练1.1、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE ＝65°，则∠CFE的度数为（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，EF∥AB，由平行线的性质得出∠ADE＝∠B，∠B＝∠EFC，即可得出答案．

【解答】证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AB，

∴∠ADE＝∠B，∠B＝∠EFC，

∴∠ADE＝∠EFC＝65°，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．

练1.2、如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于F，则＝（）

A．B．C．D．

【分析】先根据重心的定义得到点F为△ABC的重心，则根据重心的性质得AF：FD＝2：1，然后利用比例得性质可计算出DF：AD＝1：3．

【解答】解：∵D、E分别是边BC、AB的中点，

∴点F为△ABC的重心，

∴AF：FD＝2：1，

∴DF：AD＝1：3．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

例2、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，△ADE 和四边形BCED 的面积分别记为S 1，S 2，那么2

1

S S 的值为（ ） A ．2

1 B ．41 C ．

3

1 D ．3

2

【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得2

1S S 的值．

【解答】解：根据三角形的中位线定理，△ADE ∽△ABC ，DE ：BC ＝1：2，所以它们的面积比是1：4，所以

3

1

14121=-=S S ，故选C ． 练2.1、如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任一点，点F ，G ，E 分别是AD ，BF ，

CF 的中点，连结GE ，若△FGE 的面积为8，则△ABC 的面积为（ ） A ．32 B ．48

C ．64

D ．72

【分析】由已知条件易得GE 是△BFC 的中位线，结合已知数据进而可求出△

BFC 的面积，再根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【解答】解：

∵G ，E 分别是BF ，CF 的中点， ∴GE 是△BFC 的中位线， ∴GE ＝BC ， ∵△FGE 的面积为8，

∴△BFC的面积为32，

∵点F是AD的中点，

∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC，

∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形中位线定理以及三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．

练2.2、如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（）

A．＝B．＝

C．S△DOE：S△BOC＝1：2 D．△ADE∽△ABC

【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．

【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，DE∥BC，

∴＝，故A选项正确；

∵DE∥BC，

∴＝，故B选项正确；

∵DE∥BC，

∴△DOE∽△COB，

∴＝（）2＝（）2＝，故C选项错误；

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故D选项正确；

故选：C．

例3、如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（）

A．1002 B．1001 C．1000 D．999

【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形，列方程可解决问题．

【解答】解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，

图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；

图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；

图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；…

可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．

按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3，即4n﹣3＝4005，n＝1002，

故选：A．

练3.1、如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△

AB

1C

1

各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△

A 3B

3

C

3

，…如此下去，则△AB n∁n的周长为（）