第9章 质点动力学基本方程

第9章质点动力学基本方程
一、是非题
1.凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。(√)
2.一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。(×)
3.两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。(×)
4.质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。(√)
5.凡运动的质点一定受力的作用。(×)
解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有
根据静滑动摩擦定律，有 ≤ ，代入上式，有
≤
即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为
9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮 、 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦wk.baidu.com动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径 ，求管模的最低转速 。
，
9-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度 脱离胶带，设 与水平线的夹角为 。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。
解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有
，
即
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
物料脱离胶带后的运动方程可写为
解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有
而 ，所以上式可以写成
即
物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由 变成0，而坐标由0变成 。两边积分，有
这样有
物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b）所示。应用质点运动微分方程，有
上式可写成
物体自最高点下落到地面，其速度由 变成 ，而坐标由0变成 。两边积分，有
图
解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有
解得
管模的最低转速 为
9-3物体自地球表面以速度 铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度 。假定空气阻力 ，其中 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。 是物体质量， 是物体的速度，重力加速度认为不变。
5．飞机以匀速 在铅直平面内沿半径为 的大圆弧飞行。飞行员体重为 ，则飞行员对座椅的最大压力为 。
三、选择题
1．如图9.6所示，质量为 的物块 放在升降机上，当升降机以加速度 向上运动时，物块对地板的压力等于(B)。
(A) (B) (C) (D)
2．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为 ，弹簧的刚度系数为 ，静伸长量为 ，原长为 ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B)。
解：(1)由于球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，球具有向心加速度 如图(a)所示。该加速度大小为
(2)选小球 为研究对象，受力分析如图(b)所示。
（3）应用质点运动微分方程，有
其中： ， ，代入上式，可得
，
9-10如图9.15所示，电机A重量为 ，通过连接弹簧放在重量为 的基础上，弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律 作简谐运动。式中振幅 ，周期 ，试求支撑面 所受压力的最大值和最小值。
，
图
9-6滑翔机受空气阻力 作用，其中 为比例系数， 为滑翔机质量， 为滑翔机的速度。在 时，有 ，试求滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离(假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为 。应用质点的运动微分方程，有
上式可写为
上面微分方程的通解为
解：(1)选滑块 为研究对象，受力分析如图(a)所示。
(2)选滑块 为动点，杆 为动系，由 作 的加速度合成图如图(b)所示。
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
（3）应用质点运动微分方程，有
，
其中：当 时， ， ，代入上式，可得
9-9质量为 的小球 ，用两根长为 的细长杆支持，如图9.14所示。球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，设 ，不计杆自重，求各杆所受的力。
即 ，解得
代入初始条件
，
可解得
，
滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为
9-7一物体质量 ，在变力 牛顿作用下运动。设物体初速度 ，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？
解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有
6.质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。(×)
二、填空题
1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是 ，写成自然坐标投影形式为 。
3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为 的质点沿直线运动，其运动规律为 ，其中 为初速度， 为常数。则作用于质点上的力 。
(A) (B)
(C) (D)
3．在介质中上抛一质量为 的小球，已知小球所受阻力 ，坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段(A)，下降段(A)。
(A) (B)
(C) (D)
四、计算题
9-1质量为 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 ，如图9.9所示。设物体与转台表面的摩擦系数为 ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。
即 ，解得
代入初始条件
，
解得
，
物体的运动方程可写为
物体的运动速度为
令物体速度为零，即 ，解得 ，此时，物体的运动的路程为
9-8质量为 的滑块 在力 作用下沿杆 运动，杆 在铅直平面内绕 转动，如图9.13所示。已知 ， (s的单位为m， 的单位为rad，t的单位为s)，滑块与杆 的摩擦系数为 。试求 时力的大小。
解得
这样，有
解得
9-4静止中心 以引力 吸引质量是 的质点 ，其中 是比例常数， 是点 的矢径。运动开始时 ，初速度为 并与 的夹角为 ，如图9.11所示。求质点 的运动方程。
解：应用直角形式的质点运动微分方程，有
上面两式可分别写为
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
质点 的运动方程可写为
解：应用质点运动微分方程，有
即
两边同时积分，并应用初始条件，有
即
而上式可写成
积分上式，有
由初始条件 ，解得 ，代入上式，可得质点的运动规律为
解：(1)物件 在三棱体上处于相对静止，物件 加速度和三棱体的加速度 一致如图(a)所示。
(2)选物件 为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有
其中： ，解得
9-12质量为m的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律 变化，其中 ， 为常数。当开始运动时，质点已具有初速度 ，试求质点的运动规律。
图
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有
解得
其中： ， ， ， 。计算可得支撑面 所受压力的最大值和最小值分别为
9-11如图9.16所示，在三棱体 的粗糙斜面上放有重为 的物体 ，三棱体以匀加速度 沿水平方向运动。为使物件 在三棱体上处于相对静止，试求 的最大值，以及这时 对三棱体的压力。假设摩擦系数为 ，并且 < 。