第9章 质点动力学基本方程
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理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
质点动力学的基本方程
动力学引言动力学是研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
工程中的许多问题，如高速转动机械的动力计算、结构的动力计算。
宇宙飞行器和火箭轨道的计算等等，都需要应用动力学的理论。
在动力学中，物体的抽象模型有质点和质点系。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
如研究人造地球卫星的轨道时，卫星形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略。
顾客警卫星抽象唯一的质量集中在重心的质点。
刚体作平动时，也可以抽象为一个质点系来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，或刚体不作平动，则应抽象为质点系。
所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
我们常见的固体、流体、气体以及由几个物体组成的机构，都是质点系。
刚体是一种特殊的质点系，其中任意两个质点间的距离保持不变，也成为不变质点系。
动力学可分为质点动力学和质点系动力学。
我们以后各章都以质点动力学入手，然后再研究质点系问题。
第十章质点动力学的基本方程§10-1 动力学的基本定律质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果的基础上提出的，称为牛顿三大定律：第一定律（惯性定律）不受力的指点，将永远保持静止或做匀速直线运动。
即：不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是永远保持其原有的速度不变。
这种性质称为惯性。
第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。
由此可知，质点如受到不平衡力系作用时，其运动状态一定改变。
则作用力与物体的运动状态改变的定量关系将由第二定律给出。
第二定律（力与加速度之间关系定律）质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小。
加速度方向与力的方向一致，即：am=F此式建立了质点的的质量、加速度与力之间的关系。
该式表明：1．加速度矢a与力矢F的方向相同。
2．力与加速度之间的关系时瞬时关系。
即：只要其瞬时有力作用于质点，则在该瞬时质点必有确定的加速度。
3．如在某段时间内没有力作用于质点，则在该段时间内质点没有加速度，质点做惯性运动。
第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
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µ
m
t
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质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
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第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
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第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
第九章动力学微分方程(陆)案例
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
|t0 0, |t0 0 c g / r
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
质点动力学基本方程
y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
理论力学(9.2)--质点动力学的基本方程
dt
vx
v
0
e
m
t
vy
mg
(1
e
m
t
)
t 0 时x， y 0
积分
x
v0
m
(1
e
m
t
)
y dy
0
O
y
x dx
0 t
0
v0 FM
Pv
t 0
v0
e
m
t
dt
mg
(1
e
m
t
x
)dt
y
mg
t
m2g
2
(1
e
m
t
)
属于第二类基本问 题 。
其中 b l sin
F
mg cos
1.96N
v
Fl sin2 m
2.1m s
属于混合问 题 。
例 9-4 已知：粉碎机滚筒半径为 Ｒ， 绕 通过 中心的水平
轴 匀速转 动 ，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带 着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
例 9-3
已知：一圆锥摆 , 如图所示。质量 m=0.1kg 的小
球系于长 l=0.3 m 的绳上 , 绳的另一端系在固定点
O, 并与铅直线 成60
角。
求：如小球在水平面内作匀速圆 周运动 ，小球的速 度与绳 的张 力。
解： 研究小球
m v2 b
F sin
F cos mg 0
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
理论力学习题-质点动力学基本方程
理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。
、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。
质点动力学的基本方程
单位矢量，如图 10 − 1所示，
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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解：应用质点运动微分方程，有
即
两边同时积分，并应用初始条件，有
即
而上式可写成
积分上式，有
由初始条件 ，解得 ，代入上式，可得质点的运动规律为
(A) (B)
(C) (D)
3．在介质中上抛一质量为 的小球，已知小球所受阻力 ，坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段(A)，下降段(A)。
(A) (B)
(C) (D)
四、计算题
9-1质量为 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 ，如图9.9所示。设物体与转台表面的摩擦系数为 ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。
解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有
而 ，所以上式可以写成
即
物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由 变成0，在下落的过程中，其运动过程如右图（b）所示。应用质点运动微分方程，有
上式可写成
物体自最高点下落到地面，其速度由 变成 ，而坐标由0变成 。两边积分，有
解：(1)选滑块 为研究对象，受力分析如图(a)所示。
(2)选滑块 为动点，杆 为动系，由 作 的加速度合成图如图(b)所示。
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
（3）应用质点运动微分方程，有
，
其中：当 时， ， ，代入上式，可得
9-9质量为 的小球 ，用两根长为 的细长杆支持，如图9.14所示。球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，设 ，不计杆自重，求各杆所受的力。
解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有
根据静滑动摩擦定律，有 ≤ ，代入上式，有
≤
即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为
9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮 、 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径 ，求管模的最低转速 。
即 ，解得
代入初始条件
，
可解得
，
滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为
9-7一物体质量 ，在变力 牛顿作用下运动。设物体初速度 ，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？
解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有
解：(1)物件 在三棱体上处于相对静止，物件 加速度和三棱体的加速度 一致如图(a)所示。
(2)选物件 为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有
其中： ，解得
9-12质量为m的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律 变化，其中 ， 为常数。当开始运动时，质点已具有初速度 ，试求质点的运动规律。
解得
这样，有
解得
9-4静止中心 以引力 吸引质量是 的质点 ，其中 是比例常数， 是点 的矢径。运动开始时 ，初速度为 并与 的夹角为 ，如图9.11所示。求质点 的运动方程。
解：应用直角形式的质点运动微分方程，有
上面两式可分别写为
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
质点 的运动方程可写为
，
9-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度 脱离胶带，设 与水平线的夹角为 。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。
解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有
，
即
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
物料脱离胶带后的运动方程可写为
即 ，解得
代入初始条件
，
解得
，
物体的运动方程可写为
物体的运动速度为
令物体速度为零，即 ，解得 ，此时，物体的运动的路程为
9-8质量为 的滑块 在力 作用下沿杆 运动，杆 在铅直平面内绕 转动，如图9.13所示。已知 ， (s的单位为m， 的单位为rad，t的单位为s)，滑块与杆 的摩擦系数为 。试求 时力的大小。
第9章质点动力学基本方程
一、是非题
1.凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。(√)
2.一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。(×)
3.两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。(×)
4.质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。(√)
5.凡运动的质点一定受力的作用。(×)
6.质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。(×)
二、填空题
1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是 ，写成自然坐标投影形式为 。
3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为 的质点沿直线运动，其运动规律为 ，其中 为初速度， 为常数。则作用于质点上的力 。
解：(1)由于球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，球具有向心加速度 如图(a)所示。该加速度大小为
(2)选小球 为研究对象，受力分析如图(b)所示。
（3）应用质点运动微分方程，有
其中： ， ，代入上式，可得
，
9-10如图9.15所示，电机A重量为 ，通过连接弹簧放在重量为 的基础上，弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律 作简谐运动。式中振幅 ，周期 ，试求支撑面 所受压力的最大值和最小值。
图
解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有
解得
管模的最低转速 为
9-3物体自地球表面以速度 铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度 。假定空气阻力 ，其中 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。 是物体质量， 是物体的速度，重力加速度认为不变。
5．飞机以匀速 在铅直平面内沿半径为 的大圆弧飞行。飞行员体重为 ，则飞行员对座椅的最大压力为 。
三、选择题
1．如图9.6所示，质量为 的物块 放在升降机上，当升降机以加速度 向上运动时，物块对地板的压力等于(B)。
(A) (B) (C) (D)
2．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为 ，弹簧的刚度系数为 ，静伸长量为 ，原长为 ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B)。
图
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有
解得
其中： ， ， ， 。计算可得支撑面 所受压力的最大值和最小值分别为
9-11如图9.16所示，在三棱体 的粗糙斜面上放有重为 的物体 ，三棱体以匀加速度 沿水平方向运动。为使物件 在三棱体上处于相对静止，试求 的最大值，以及这时 对三棱体的压力。假设摩擦系数为 ，并且 < 。
，
图
9-6滑翔机受空气阻力 作用，其中 为比例系数， 为滑翔机质量， 为滑翔机的速度。在 时，有 ，试求滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离(假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为 。应用质点的运动微分方程，有
上式可写为
上面微分方程的通解为
即
两边同时积分，并应用初始条件，有
即
而上式可写成
积分上式，有
由初始条件 ，解得 ，代入上式，可得质点的运动规律为
(A) (B)
(C) (D)
3．在介质中上抛一质量为 的小球，已知小球所受阻力 ，坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段(A)，下降段(A)。
(A) (B)
(C) (D)
四、计算题
9-1质量为 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为 ，如图9.9所示。设物体与转台表面的摩擦系数为 ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。
解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有
而 ，所以上式可以写成
即
物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由 变成0，在下落的过程中，其运动过程如右图（b）所示。应用质点运动微分方程，有
上式可写成
物体自最高点下落到地面，其速度由 变成 ，而坐标由0变成 。两边积分，有
解：(1)选滑块 为研究对象，受力分析如图(a)所示。
(2)选滑块 为动点，杆 为动系，由 作 的加速度合成图如图(b)所示。
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
列 投影方程有
其中：在 时， ， ，故有
（3）应用质点运动微分方程，有
，
其中：当 时， ， ，代入上式，可得
9-9质量为 的小球 ，用两根长为 的细长杆支持，如图9.14所示。球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，设 ，不计杆自重，求各杆所受的力。
解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有
根据静滑动摩擦定律，有 ≤ ，代入上式，有
≤
即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为
9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮 、 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径 ，求管模的最低转速 。
即 ，解得
代入初始条件
，
可解得
，
滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为
9-7一物体质量 ，在变力 牛顿作用下运动。设物体初速度 ，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？
解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有
解：(1)物件 在三棱体上处于相对静止，物件 加速度和三棱体的加速度 一致如图(a)所示。
(2)选物件 为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有
其中： ，解得
9-12质量为m的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律 变化，其中 ， 为常数。当开始运动时，质点已具有初速度 ，试求质点的运动规律。
解得
这样，有
解得
9-4静止中心 以引力 吸引质量是 的质点 ，其中 是比例常数， 是点 的矢径。运动开始时 ，初速度为 并与 的夹角为 ，如图9.11所示。求质点 的运动方程。
解：应用直角形式的质点运动微分方程，有
上面两式可分别写为
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
质点 的运动方程可写为
，
9-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度 脱离胶带，设 与水平线的夹角为 。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。
解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有
，
即
，
其微分方程的通解可写为
，
代入初始条件
， ， ，
可解得
， ， ，
物料脱离胶带后的运动方程可写为
即 ，解得
代入初始条件
，
解得
，
物体的运动方程可写为
物体的运动速度为
令物体速度为零，即 ，解得 ，此时，物体的运动的路程为
9-8质量为 的滑块 在力 作用下沿杆 运动，杆 在铅直平面内绕 转动，如图9.13所示。已知 ， (s的单位为m， 的单位为rad，t的单位为s)，滑块与杆 的摩擦系数为 。试求 时力的大小。
第9章质点动力学基本方程
一、是非题
1.凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。(√)
2.一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。(×)
3.两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。(×)
4.质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。(√)
5.凡运动的质点一定受力的作用。(×)
6.质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。(×)
二、填空题
1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是 ，写成自然坐标投影形式为 。
3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为 的质点沿直线运动，其运动规律为 ，其中 为初速度， 为常数。则作用于质点上的力 。
解：(1)由于球和杆一起以匀角速度 绕铅垂轴 转动，球具有向心加速度 如图(a)所示。该加速度大小为
(2)选小球 为研究对象，受力分析如图(b)所示。
（3）应用质点运动微分方程，有
其中： ， ，代入上式，可得
，
9-10如图9.15所示，电机A重量为 ，通过连接弹簧放在重量为 的基础上，弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律 作简谐运动。式中振幅 ，周期 ，试求支撑面 所受压力的最大值和最小值。
图
解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有
解得
管模的最低转速 为
9-3物体自地球表面以速度 铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度 。假定空气阻力 ，其中 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。 是物体质量， 是物体的速度，重力加速度认为不变。
5．飞机以匀速 在铅直平面内沿半径为 的大圆弧飞行。飞行员体重为 ，则飞行员对座椅的最大压力为 。
三、选择题
1．如图9.6所示，质量为 的物块 放在升降机上，当升降机以加速度 向上运动时，物块对地板的压力等于(B)。
(A) (B) (C) (D)
2．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为 ，弹簧的刚度系数为 ，静伸长量为 ，原长为 ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B)。
图
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有
解得
其中： ， ， ， 。计算可得支撑面 所受压力的最大值和最小值分别为
9-11如图9.16所示，在三棱体 的粗糙斜面上放有重为 的物体 ，三棱体以匀加速度 沿水平方向运动。为使物件 在三棱体上处于相对静止，试求 的最大值，以及这时 对三棱体的压力。假设摩擦系数为 ，并且 < 。
，
图
9-6滑翔机受空气阻力 作用，其中 为比例系数， 为滑翔机质量， 为滑翔机的速度。在 时，有 ，试求滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离(假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时 到任意时刻 所飞过的距离为 。应用质点的运动微分方程，有
上式可写为
上面微分方程的通解为