专题19 平行四边形(解析版)

专题19 平行四边形

1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。3．平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah

【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF

【答案】B．

【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．

∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

专题知识回顾

专题典型题考法及解析

A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得

到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．

C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

【答案】看解析。

【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AB=BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，

∴BD==BC=2BC，

∵G为BD的中点，

∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，

∵∠ADB=45°，

AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，

∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，

∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．

专题典型训练题

一、选择题

1. （福建福州）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（）

A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )

【答案】A

【解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称．由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．

∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1），故选择A .

2.（河北省）关于□ABCD的叙述，正确的是（）

A．若AB⊥BC，则□ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则□ABCD是正方形

C．若AC=BD，则□ABCD是矩形 D．若AB=AD，则□ABCD是正方形

【答案】C

【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.

当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项A不正确；∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项B不正确；∵AC=BD，∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项C正确；∵AB=AD，∴□ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确.

3.（湖南湘西）下列说法错误的是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断．

选项A、B、C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D .