复数的乘除法运算练习题(教师版)
7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二
7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。
人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：47复数的概念与运算(文)
复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念 1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
要点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。
要点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. 3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：i i 1-21i =-i 21x =-21x =-i -i a bi +,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈a b i C ,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。
）知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：. 要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”． 知识点三、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
复数乘除运算
A
8
探究复数乘法法则 计算： 分别计算 [ (3-2i)(1+i)] i 和 i [ (3-2i)(1+i)]
结复试数果类乘怎比法样实符数？合结这，合说写律明 出 什 复
么数？乘 法 的 交 换 律 、 结
合律、乘法对加法的
分配律
A
9
复数乘法运算律：
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
A
22
回顾小结
3.2.2复数代数形式的乘除运算
一个定义 两种运算 三个技巧
说明：高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘 除法运算，属于低档题，只要掌握法则，认真求解即可．
A
23
体验高考
1．（2013山东）复数z满足（z-3)(2-i)=5,则z的共轭复数 为( )
A．2+i
B. 2-i
A
25
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.若 z C 且 (3 z)i 1,则 z -_3_-__i_ .
3.已知 m R 且 (m i)3 R ,则 m _____33.
4.已知 z 1 3 i ,求 2z3 3z2 3z 9 的值. 22
8
A
26
i 解:原式= 4 9 2 =4+9=13 更简便!
A
11
法则应用
2、计算 (a+bi )(a-bi ).
A
12
2、计算 ：(a+bi )(a-bi ).
解： 原式= a 2 ( bi ) 2 = a2 b2
特点：结果是实数
A
13
规律技巧1
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的运算-教师用卷
复数的运算一、选择题（本大题共20小题）1.已知,复数,若,则( )A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】解：, 则,,,得,故选：B．根据复数的基本运算进行化简,结合,进行求解即可．本题主要考查复数的运算,结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．2.已知复数为虚数单位,则z的虚部A. 1B.C. iD.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算,以及虚数单位i的周期性运算,化简即可得到结果．【解答】解：,,,,,的虚部为1．故选A．3.若其中i为虚数单位,则复数z的虚部是( )A. 2iB.C.D. 2【答案】D【解析】解：,复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题．4.已知i为虚数单位,则的共轭复数的实部与虚部的乘积等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：,故的共轭复数是,则的实部与虚部的乘积,故选：A．根据复数的有关概念,即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念和运算,利用复数的四则运算是解决本题的关键,比较基础．5.已知两非零复数,,若,则一定成立的是A. B. C.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查共轭复数,考查运算求解能力,是基础题．设,,b,c,,然后逐个计算判断A、B、C,结合判断D．【解答】解：设,,b,c,,则,不一定成立,故A不正确；,不一定成立,故B不正确；,不一定成立,故C不正确；,且,正确,故D成立．故选D．6.复数为虚数单位,则复数的共轭复数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的模以及共轭复数的概念,属于基础题将复数按照四则运算法则化简后求模,可得的形式,于是可得z的共轭复数【解答】解：．．故选B．7.已知i为虚数单位,,若为纯虚数,则复数的模等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由为纯虚数,得,即．,则．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0求得a,代入z,再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题．8.计算( )A. B. 0 C. 2i D. 2【答案】B【解析】解：,．．故选：B．由于,即可得出．本题考查了复数的运算法则、周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．9.复数为虚数单位,则A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数模的求法,考查虚数单位i的性质,是基础题由复数模的求法及虚数单位i的性质化简求值．【解答】解：,．故选C．10.复数z满足,则复数z的实部与虚部之和为A. B. C. 1 D. 0【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义,属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：,,则复数z的实部与虚部之和为．故选D．11.若为纯,虚数其中i为虚数单位,a是实数,则A. B. 1 C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算,复数的模,属于基础题．【解答】解：因为为纯虚数,所以,．故选A．12.i是虚数单位,R是实数集,,若,则A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的混合运算,难度一般．【解答】解：,即．故选B．13.复数,则复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的几何意义,属基础题．【解答】解：化简可得,,复数对应的点为,在第二象限,故选B．14.设i是虚数单位,复数,则复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】本题考查复数运算及复数的几何意义,求出z,得z对应的点即可求解．【解答】解：,所以z对应点的坐标为,在第一象限．故选A．15.复数的共轭复数是( )A. B. C. D. i【答案】C【解析】解：复数,它的共轭复数为：．故选：C．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为的形式,然后求出共轭复数,即可．本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,共轭复数的概念,常考题型．16.当时,的值等于( )A. 1B.C. iD.【答案】D【解析】解：由得,,,故选：D．由已知求得,代入得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了虚数单位i得运算性质,是基础题．17.若复数z满足,则z的实部为A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、实部的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．,化为,再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：,,的实部为．故选A18.若复数为虚数单位,则复数z的模为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的公式得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础的计算题．19.已知,则( )A. B. 0 C. 3 D.【答案】C【解析】解：,,,故选C．根据分段函数的解析式,先求出的值,再求的值．本题考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,体现了分类讨论的数学思想．20.若复数z满足为虚数单位,则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算和复数的代数表示及其几何意义,先求出z的代数形式,则可找出z在复平面内对应的点所在象限．【解答】解：,则z对应的点为．故选D．二、填空题（本大题共15小题）21.已知复数,,是正实数,则复数______ ．【答案】【解析】解：设复数,,,是正实数,,解得：．则复数．故答案为：．设复数,求出,再根据已知条件列出方程组,求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题．22.复数,i是虚数单位,则______ ．【答案】【解析】解：,,,,,,,,,、,,,故答案为：．通过计算出、、、的值得出规律：、,进而计算可得结论．本题考查复数代数形式的乘除运算,注意解题方法的积累,属于中档题．23.复数,则______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：．．故答案为：．24.若复数z为纯虚数,且为虚数单位,则______．【答案】【解析】解：设,则,得,即,则．．故答案为：设,结合求得,则z可求．本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题．25.i是虚数单位,若,且点在角终边上,则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算及复数相等,三角函数的概念与二倍角公式,先解出a,b,再根据三角函数定义求出,最后利用二倍角公式可得解．【解答】解：,,．故答案为．26.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,直到19世纪虚数才真正闯入数的领域,虚数不能像实数一样比较大小已知复数z,,且其中i 是虚数单位,则复数___________．【答案】【解析】【分析】根据复数的四则运算求解即可得结果．【解答】解：设则又,所以解得所以故答案为．27.____________．已知函数若函数有两个零点,且其中一个零点是,则函数的另外一个零点是____________．已知a,,且,则的最大值是____________．设函数的图象与的图象关于对称,曲线在点处的切线方程为,则a的值为____________．【答案】；；；【解析】【分析】首先利用向量的除法运算计算,然后利用向量的模的计算即可求得结果．【解答】解：．故答案为1．【分析】首先根据函数零点的定义得到,然后得到的图象与恰有两个交点,再根据分段函数的解析式即可求得结果．【解答】解：函数有两个零点,,即的图象与恰有两个交点,其中一个交点的横坐标为,所以, 令,所以另一个零点为e．故答案为e．【分析】首先利用指数运算化简,然后利用基本不等式即可求得结果．【解答】解：,所以其最大值为．故答案为．【分析】首先利用对称性得到在的图象上,然后利用曲线的切线方程即可求得结果．【解答】解：设为图象上的任意一点,则在的图象上,所以,由切点在切线上知,又,故．故答案为e．28.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,直到19世纪虚数才真正闯入数的领域,虚数不能像实数一样比较大小已知复数z,,且其中i是虚数单位,则复数_________．已知在三棱锥 —中,平面平面BDC,且,,,若此三棱锥的四个顶点在同一球面上,则该球的体积为_________．设函数是常数,,,若函数在区间上是单调函数,且,则的最小正周期为________．已知,,,,是曲线上的点,,,,,是x轴正半轴上的点,且,,,,均为正三角形,其中O为坐标原点设点,则_________．【答案】．【解析】【分析】本题考查复数的性质,解决问题的关键是由题得到为实数,进而求解即可．【解答】解：由题为实数,设,则,所以,结合,可得,故答案为【分析】本题是基础题,考查四面体的外接球的体积的求法,找出外接球的球心,是解题的关键,考查计算能力,空间想象能力由题意,BC的中点就是球心,求出球的半径,即可得到球的体积．【解答】解：由题根据所给几何关系可得三棱锥的棱AB,BC,AD为正方体的四条棱,进而得到其外接球半径为,所以外接球的体积为．故答案为【分析】根据三角函数的单调性与对称性及周期性结合条件求解T的最小值即可．【解答】解：根据所给条件可得对称轴,对称中心,进而得到,故答案为；【分析】由题根据所给几何关系设出三角形边长为,通过递推关系得到数列的通项公式即可．【解答】解：由题设的边长为前n项和Sn 进而得到，结合An在曲线上,得到,即,进而得到,两式相减可得：,,可验证,,,,故答案为．29.若变量x,y满足约束条件,则的最大值为________．设复数为虚数单位,则________．已知点,在：上任取一点Q,则的概率为________．已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则面积的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值．【解答】解：依题意,画出可行域如图示,则对于目标函数,由,得,当直线经过时,z取到最大值,．故答案为9．【分析】首先化简,然后观察多项式,,再利用二项式定理,化简即可．【解答】解：,所以,故答案为【分析】此题重点考查了几何概型概率公式和圆的标准方程,是一个基础题,难度不大．【解答】解：以点P为圆心,为半径的圆的标准方程为,由得,易知满足条件的圆弧的长度为,故满足条件概率为,故答案为；【分析】首先由三角形面积公式可得：,可得,再利用基本不等式即可求解此题．【解答】解：由三角形面积公式可得：,可得,,,,当时等号成立,当时,取的最大值,故S的最大值为,故答案为；30.计算：______是虚数单位【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．【解答】解：,原式故答案为31.复平面内的点A,B,C对应的复数分别为i,1,,由按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则______ ．【答案】【解析】解：依题意知,,．故答案为：．依题意,可求得,从而可得答案．本题考查复数代数形式的混合运算,求得是关键,属于基础题．32.若复数,,且为纯虚数,则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：,,且为纯虚数,则,,解得：．故答案为：．由复数,,且为纯虚数化简为的形式,然后根据题意列出方程组求解,则答案可求．本题考查了复数的基本概念,是基础题．33.已知是虚数单位,以下同是关于x的实系数一元二次方程的一个根,则实数______,______．【答案】；2【解析】解：是关于x的实系数一元二次方程的一个根, 也是此方程的一个虚根,．．故答案分别为：,2．利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系,属于基础题．34.考察下列等式：,,,,其中为虚数单位,,均为实数由归纳可得,的值为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的xingz性质与归纳推理．【解答】解：由,,．故答案为35.已知复数z与都是纯虚数,则___________【答案】【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题．设,然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简,结合已知条件列出方程组,求解即可得答案【解答】解：设,为纯虚数,,解得故答案为三、解答题（本大题共10小题）36.已知复平面内的A,B对应的复数分别是,,其中,设对应的复数是z．求复数z；若复数z对应的点P在直线上,求的值．【答案】解：设,x、,则由题意可得,,．由于复数z对应的点P在直线上,故有,,再结合,可得或,或．【解析】设,x、,则由题意根可得,,从而求得z的值．由于复数z对应的点P在直线上,求得的值,可得的值,从而求得的值．本题主要考查两个复数代数形式的加减法,根据三角函数的值求角,属于基础题．37. 已知复数 ,． 求 ；若 三内角A ,B ,C 依次成等差数列,且,求｜ ｜的取值范围．【答案】解： 依题, ,,则；在 中, ,B ,C 依次成等差数列, ,,,,｜ ｜,由,得,,,,｜ ｜的取值范围是． 【解析】本题主要考查复数的混合运算,复数的模,等差数列的性质,两角和差余弦公式,二倍角公式,同角三角函数的基本关系,题目综合性强,属于偏难题目．将 代入到 中整理,分子分母同时乘以分母的共轭复数,整理即可求解；根据等差数列的性质,结合条件求出B ,利用二倍角公式整理出 ,通过化简讨论 模的平方的范围来得到 的范围．38. 如果复数其中i 为虚数单位,b 为实数 的实部和虚部互为相反数．求z ．求 ．负数z 在复平面内对应的点在第几象限． 若 是纯虚数,求m 的值． 求 ．【答案】解： 复数,复数其中i 为虚数单位,b 为实数 的实部和虚部互为相反数,可得 ,解得 , ．．复数z 在复平面内对应的点 在第四象限．,是纯虚数,可得 ,解得 ．．【解析】 化简复数为 的形式,求出复数z ． 直接利用复数的模求解即可．求出复数的对应点的坐标,即可得到结果．利用复数的基本概念求解即可．利用复数的幂运算求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模,复数的基本概念以及幂运算法则的应用,考查计算能力．39.已知。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
复数的三角形式及乘除运算
]∪[
π,2π) 法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1, ∴ |Z|=
≤
=
, ∵ (x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由逆时针旋转θ2角模变为的r2倍所得向量便是积z1·z2=z 的向量。 < 2 >若θ2< 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z 的向量。 为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出 z1·z2=za z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数 的积”的运算。 ②除法 （其中 z2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量 旋转同乘法简述如下： < 1 >。 < 2 >。
五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复 数z的三角形式。即z=r（cos θ+ isinθ） 其中 θ为复数z的辐角。 ②非零复数z辐角θ的多值性。 以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐 角 因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。 定义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。 ④不等于零的复数的模是唯一的。 ⑤z=0时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、 除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式 时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解 题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求 法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数 辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示
人教A版必修第二册《7.2 复数的四则运算》练习卷(3).doc
人教A版必修第二册《7.2复数的四则运算》练习卷（3）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若复数Z满足iz = 2,其中，为虚数单位，则Z等于（）A. -2iB. 2iC. -2D. 22 .若z = 4 + 3L则厂\Zi=()A. 1B. -1S+m D- 5-513.已知冬尹= l + i（i为虚数单位），则复数z =（）A. 1 + iB. 1-iC. —1 + iD. -1-i4 .已知Z,是虚数单位,若复数Z满足z=el + l,则Z的共辄复数5为（）A 1+iA-VB.—2L T+i. 2D.—25 .Z•为虚数单位，7+号+东+5等于（）A. 0B. 2iC. —21D. 4i6.若复数Z满足右= 1 + 2i,则z =()A. l + 3iB. 3 + iC. 3 + 3iD. —1 + 3i7 .已知复数Z1 = 3—,bi, z2 = l-2i,若兰是实数，则实数b的值为（）A. 6B. -6 C wJ 3D*8 .设复数Z满足片=1-Z3,则|z| = ()A. 1B. V2C. V3D. 29 .设复数Z = *，则.1-1z・z =()A. 1 + iB. 1-iC. 1D. 2—\填空题（本大题共6小题，共30.0分）1 0已知复数z满足|z|—z =2 — 4i,贝!Jz =11.计算：—=12.计算：（老尸=——13.设a,b E R f，为虚数单位，若(Q +步)• i = 2 — 5i,则沥的值为.14.已知复数z = 1 + 2i(i为虚数单位)，贝U|z| =.15.定义运算| : 3 = ad-be,则满足条件| ；；：| = 4 + 2i的复数z为三、解答题(本大题共3小题，共36.0分)16.计算：(1)(1 一0(1 + 02 _(5 _ 70 + ?■^一4，；「2) (T+VIi)3 _ (2 + i)2()(l+i)6 4-3i *17.设复数Zi = 2 + Q?(其中。
《复数的乘除运算》课件与练习
实数 的值
【解】设方程的实数根为 = ，
则 32 − 2 − 1 + 22 + − 10 ⅈ = 0
∴
32 − 2
− 1 = 0,
22 + − 10 = 0,
解得 = 11 或 = −
71
5
将方程转化为等号两
边均为复数 + ⅈ(, ∈
) 的形式，确定两边复数
2
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一
定成立，如：
当 ∈ 时， 2 = ||2；当 ∈ 时， = 2 ∈ , 2 ∈ , 故 2 与 ||2 不
一定能比较大小
若 , ∈ ，则 2 + 2 = 0 ⇔ = = 0 ；若 1, 2 ∈ ，则 12 +
c＋di
[提醒]
在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的
共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把
分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
小试牛刀
)
1．复数(3＋2i)i 等于(
B．－2＋3i
A．－2－3i
C．2－3i
D．2＋3i
答案 B
2. 已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为(
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个 相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
= +
=
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
复数的四则运算
加减法
1.复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d )i ，z1－z2＝ (a－c)＋(b－d) i . (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
加减法的几何意义
例4
10 (2)已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z· ( z －3i)＝ ，求 z. 1－3i
乘除法的运用
1. 实数 x ， y 满足 z1 ＝ y ＋ xi ， z2 ＝ yi － x 且 z1 － z2 ＝ 2 ，则 xy 的 值为( A.1 ) B.2 C.－2 D.－1
复数的四则运算
交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1· z2＝
z2· z1
(z1· z2)· z3＝ z1· (z2· z 3) z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
共轭复数
当两个复数的实部相等， 虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为
共轭复数，复数 z 的共轭复数用 z 表示.也就是当 z＝a＋bi 时，z＝a＋bi， z ＝a－bi .于是 z· z ＝a2＋b2＝|z|2.
例2 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值.
解 设复数－ i ， i ，－ (1 ＋ i) 在复平面内对应 的点分别为Z1，Z2，Z3，如图. ∵|z＋i|＋|z－i|＝2，Z1Z2＝2， ∴点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动，
求ZZ3的最小值.
→ → ，四边形 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 OZ 1，OZ2 → OZ OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与
复数的乘除运算
= (3 + 4i)(3 - 4i)
(2) 原式=13+i3+3×12×i+3×1×i2
25 - 25i = = 1-i 25
3 +4
2
2
=1-i+3i-3=-2+2i
三.小结
⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则.
四.作业： P111 2(1)(3)、P112A组5(3)(4)、6 名师金典:P83一层2、二层6
3.探究
复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对 加法的分配律？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i
发现 : 两个复数的积是一个确定的复数
把i2换成-1然 后实、虚部分 别合并
2.应用举例
牛刀小试：计算 (3+4i)(-2-3i)
解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i 例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：原式 =(11-2i)(-2+i) = -20+15i
10 5i
2.多项式与多项式乘积计算:
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
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(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
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(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
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4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
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解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
(完整版)复数基础练习题
复数基础练习题1．12ii +=- ( )A ．135i + B ．335i+ C ．133i+ D ．333i+ 2．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A ．12B ．22C ．1D ．24．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ）A ．1i - B ．12i C ．1i + D ．1i -- 5．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ． B ．C ．D ．56．若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．-1 7．复数的虚部是( )A ． B ． C ． D ．18．已知复数满足，则的虚部为（ ）A ．-4 B ． C ．4 D ．9．复数212iz i +=- 的共轭复数是（ ）.A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 10．实数m 取什么数值时，复数分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？11．设复数，当为何值时.（Ⅰ）是实数？ （Ⅱ）是纯虚数？12．已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．13．已知复数24i1im z +=-（,i m ∈R 是虚数单位）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值和z ； （2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.14． 是虚数单位，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设复数，且满足复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求．15．已知复数，（，i 是虚数单位） （1）.若z 是纯虚数，求m 的值；（2）.设是z 的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．16．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求a .(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围.17．已知复数21(2)i z m m m =+-，()22131i z m m =+-+-，其中m R ∈.（1）若复数1z 为实数，求m 的取值范围；（2）求12z z +的最小值.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，可得11325i ii ++=-，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()121132225i i i ii i i ++++==--+，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴22112||222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 由题意得：()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的运算、共轭复数的定义，属于基础题. 5．C 【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－，b ＝－1 所以|a ＋bi|＝，选C考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 6．B 【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得， 2a ∴=。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。