第五章二次型教学内容

第五章 二次型 基本内容及考点综述

一、基本概念 1、二次型

设P 是一个数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式

2

222222112112211121222),,,(n

nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f 称为数域P 上的一个n 元二次型. 2.二次型的矩阵

如果数域P 上的n 元二次型),,,(21n x x x f 可表为矩阵形式.

AX X x x x f n ),,,(21

其中A x x x X a A A A n n n ij ).,,,(,)(,21 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵，A 的秩也称为二次型f 的秩.

3.非退化线性替换

设n n y y y x x x ,,,;,,,2121 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式

11111221221122221122n n n n

n n n nn n

x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y

L L L L L L 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，如果系数行列式

0ij c

那么以上线性替换称为非退化的.

4.矩阵合同

数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n 矩阵C ，使

.AC C B

5.标准形

数域P 上的二次型),,(1n x x f 可以经过非退化线性替换化成

2

222211n n x d x d x d （1）

那么（1）就称为二次型),,(1n x x f 的一个标准形.

6.正惯性指数，负惯性指数，符号差

实二次型),,,(21n x x x f 的标准形中正的平方项的个数称为f 的正惯性指数，负的平方项的个数称为f 的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.

7.正定二次型

实二次型),,(1n x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c L 都有.0),,(1 n c c f

8.负定，半正定，半负定，不定

设),,(1n x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有

,0),,(1 n c c f 那么称f 负定，如果都有1(,,)0n f c c L ，那么称f 半正定；如果都有0),,(1 n x x f .那么称f 半负定；如果f 既不是半正定又不是半负定，那么称f 为不定.

二、基本结论

1.数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域P 上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.

2.任意一个复二次型AX X x x f n

),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形2

2

22

1r y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵A 合同于

).

(,000A R r E r

其中 3.任意一个实二次型AX X x x f n

),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形2

2

12

2

1r p p y y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称

矩阵A ，合同于

0P r P E E 其中p A R r ).( 是正惯性指数.

4.实二次型AX X x x f n ),,(1 正定 正惯性指数为 n 存在n 阶可逆矩阵P ，使

T T A E AP P （T 可逆）A 的顺序主子式全大于零A 的特征值全大于零

.正定A

5.A A A A 负定正定,半负定半正定

6.

实

二

次

型

AX

X x x f n ),,(1 半正定

使阶可逆矩阵存在负惯性指数为零,P n

)(,000A R r E AP P r

其中

A 的主子式都大于或等于零T T A

.半正定零的特征值都大于或等于A A

三、基本方法

1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.

2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.

3.,A B 是实对称矩阵，且A 正定，则存在可逆矩阵P ，使BP P E AP P ,为对角矩阵，这一结论是非常有用的

试题精选

1.（华中师大，1996）求二次型

3231212

3222132161024),,(x x x x x x x x x x x x f 的正惯性指数与符号差.

.10

10110003000

110

0105110083000

110

010

511248083000

1100010

001248083051110

0010001135341511

3832331363136

E A 令

32138323

3211001011y y y x x x f y y y x x x f .3

1363),,(2

32

221321

的正惯性指数为2，符号差为1. 2.（华中师大，1997）当t 为何值时，二次型

3231212

32221321244552),,(x tx x x x x x x x x x x f 是正定的，并说明理由.

解 .5252222

t t A

2>0

.065

222