数形结合思想及其在教学中的应用(作业)

数形结合思想及其在教学中的应用

姓名：xxx 学号：xxxxx 专业：数学与应用数学班级：数本x班

一、前言部分

数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普通适用的方法，是铭记在人们头脑中永恒作用的精神和观点。它能使人们领悟到数学的真谛，懂得数学价值，学会数学的思考和解决问题。它能把知识的学习、能力的培养和智力的发展有机的结合起来。

在中学数学研究中，数形结合思想是数学解题中的一种思想方法，他可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想，它不仅对于沟通代数、几何与三角的内在联系具有指导意义，并把数式的准确刻划与几何图形的直观描述有机的结合起来，而且更重要的是对发展学生的创造性思维，完善学生的思维品质有着特殊的重要作用。所以，作为以后要从事数学教育工作的我们，对数学解题思想方面有所了解是很有必要的。

所谓的数形结合，就是数学问题的条件和结论之间的内在联系，即分析其代数干含义，同时又揭示其几何意义，是数量关系和空间形式巧妙地结合在一起，并充分的利用这种结合的相互转化来解决数学问题的一种重要的思想方法。数形结合的根本特征是把数量关系和集合图形的直观形象有机的结合起来

一、主题部分

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔以坐标为桥梁，在点与数列之间、曲线与方程之间建立起对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终页借助代数的方法得到了完满的解决。现在，数形结合一直就是一线数学教师和广大教研人员研究的一个基本问题，但是有一些研究存在很多缺憾，如未对数形结合形成合理的、正确的认识，主要限于单向认识，没有揭示数形之间的本质联系

等。现在，有一批研究人员对数形结合解题的研究更注重解题的思维过程和从心理层面揭示数学解题的心理规律。

就数形结合思想及其在数学教学中的应用这一课题，许多数学家早已经展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。经阅读大量的资料，对他们的主要成果阐述如下：

文献[1]中作者提出在高等数学中，一般地说，思考问题往往是把数学式子或函数等与几何图形联系起来，利用直观形象来启发人们的解题的解题思路，这种思考问题的方法正是数形结合方法的运用，在高等数学中数形结合实质上是“式”形结合。作者具体举了两例阐述用数形结合思想解决微积分问题：

例1、设满足条件；

例2、设函数在上是递增的连续函数，证明在上

，使得。通过例题说明在解决微积分问题中若能灵活、正确地运用数形结合的思想，就可把一些复杂问题简单化、抽象问题具体化，达到化难为易的目的。

文献[2]中指出数学研究必然要求将数与形结合起来，理解和掌握数形结合的思想将有助于提高我们分析问题、解决问题的能力。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，能避免复杂的计算。由形化数，有些几何问题通过“形化数”的转化会更简便，如采用代数方法解决几何问题，常用的方法有解析法、判别式法、复数法、面积（体积）法、代数三角法等；运用几何方法解决代数问题，根据解决问题的需要，常把数量关系转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观，这个过程主要运用构造法，构建相应的几何模型，利用函数图象来解决问题。

文献[3]中作者认为：数形结合思想贯穿于高中数学的始终，特别是在新课程改革的背景下，更加强调对基本数学思想的掌握和考查，切实把握好数形结合

的方法是学好数学的关键之一。进行数形结合，一般说来要遵循三项基本原则：1、等价性原则；2、双向性原则；3、简单性原则。运用数形结合的途径有两种，包括由数到形的转换途径和由形到数的转换途径。

文献[4]中作者指出数形结合是一个重要的数学思想，但同时它也是一柄双刃的解题利剑。数形结合要遵循等价性、双向性与简单性的原则。数转形时图形失真；形转数时不等价；数形互换不简洁；数形互换逻辑循环四个问题是应用数

形结合解题时常出现的错误。文中例3：求函数的最大值与最小值.可以用数形结合进行解答，但由原式直接进行变形再用判别式法即可得出，显然在这里用数形结合比较烦琐。利用数形结合解题时，代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题就会出现漏洞，同时由于图形的局限性，有时不能完整的表现数的一般性。

文献[5]中作者指出：数学解题研究是我国数学教育研究的一个特色工作。数学解题研究不能局限于解题技巧的直接展示，不能停留于解题方法的简单呈现，应该提高到数学思想和数学方法的理论高度，应该进入到数学教学和数学学习的心理层面乃至哲学层面。数形结合在解题中的应用研究一直就是我国解题研究的一个重要内容，并且构成了解题研究的一个特色工作。作者主要选取数学表征作为研究视角，选取数形结合作为研究对象，具体研究了运用数形结合方法解决问题的有关问题。

文献[6]中作者指出在教学中我们更多是向学生展示数形结合的优越性，渐渐的使学生认为数形结合是“万能”的。但图形的直观性易使我们失去了精确的计算，解法的简洁性易使我们失去了深刻的反思，思路的奇异性也易使我们充满了幻想，所以片面的理解，使数形结合成为我们手中的一把双刃剑，时时充满危险。数形结合的优越性体现在简洁性、直观性、奇异性和突破性。数形结合的局限性则体现在精确性、等价性、存在性和完整性。所以数形结合的思想方法，它的优越性和局限性同样明显，我们可以也应该让学生尝试一些失败，从中感悟出数形结合的两面性，正确掌握数形结合方法。

文献[7]中作者运用了以下几个方面的实例论证了数形结合的误区：1、图形失真；2、以偏概全；3、无中生有；4、逻辑循环。在数形转换的过程中，必须