《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案

直线与平面所成角复习课（2）
——线面角的三种常见求法一、教学内容解析
新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。

对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。

特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。

那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。

二、教学目标设置
1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。

2、过程与方法：
（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。

（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。

（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。

3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。

三、学生学情分析
我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。

学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。

本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。

四、教学策略分析
由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。

然后，我挑选几位同学的做法，就他们的解题思路予以细节上的纠正和方法的总结。

再之后，留给他们大段的思考整理时间，并给予一道类似但难度有所上升的题目交给他们再次求解，要求尽量用三种方法解答出来。

整节课堂基本由学生们自己回忆，自己思考，自己讨论和总结。

当然，线面角的方法复习并不是一蹴而就的，还需要不断地润色和努力。

五、教学过程
前情提要：
在前一节课，我们通过一道简单的立体几何题，复习并回顾了直线与平面所成角的相关知识。

请同学归纳总结一下上节课所学：（先由一位同学讲述，再提示，启发，或由其他同学补充配合完成，主要有以下三点内容）
1、直线与平面所成角的定义：（分三个部分）
2、寻找线面角的关键：（结合实际生活中的大桥为例）
3、最小角定理和三面角关系：（仍旧以实际生活中的大桥为例）
例题精析：（前一节课留给学生们的课后思考作业，批改后选取其中几位同学的做法展示） 如图：在四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°，求直线SC 与平面ABC 所成角的正弦值.
（1）移花接木 李代桃僵——向量法
向量法是绝大多数女生解决立体几何问题尤其是求角问题的终极法宝。

提问：
（1）为什么首先想到用向量法求解;
SA,SB,SC 两两垂
（2）用向量法求解线面角问题的关键是什么，需要注意什么；
关键是求出已知直线的方向向量和已知平面的法向量；需要注意方向向
量和法向量的夹角与我们要求的线面角之间存在怎样的关系；
（3）用向量法求解线面角的具体过程；
结论
和已知平面的法向量求已知直线的方向向量建系>⇒<=⇒⇒→→→→n v n v ,cos sin θ 点评：向量是连接数和形的一座桥梁，用此法求线面角，可避开大强度的逻辑推理，避免较复杂的垂线添加，回避高要求的空间想象，从而降低了问题求解的难度，将复杂的推理过程转化为代数运算确切的说是坐标运算。

但向量法也有它的短板，首先就是建系要准确，需要找出两两垂直的三条直线，其次有些点的坐标运算也非易事。

（2）无中生有 避实就虚——等体积法
提问：
（1）为什么想到用等体积法求解;
首先线面角找起来比较麻烦，虽然点S 在已知平面上的射影不确定具体位置，但客观存在。

其次题中几何图形为四面体，四面体的任何一个面都能当做底面来看待，利用体积自等容易求出点S 到已知平面的距离。

（2）你认为用等体积法求解线面角问题最关键的是什么；
关键是选取合理的面作为底面，能够求出四面体的体积进而求出直线上的某点到已知平面的距离；
（3）用等体积法求解线面角的具体过程；
点评：此法通过改变三棱锥的底面利用体积自等来得到我们想要的斜线上某点到已知平面的距离，进而求出线面角，十分巧妙，却也有其缺点，多数用在四面体中，并不适用所有题目。

等体积法为我们提供了一个避实就虚的方式，避免长时间地思索添加辅助线和复杂的证明，相较定义法，对空间想象能力和逻辑思维能力的要求有所降低。

（3）立竿见影 垂面见影——定义法
S C B
第一位同学思维比较活跃，空间想象能力较强，能够一眼看出斜线在已知平面上的射影是哪条，但是并不是所有学生都能马上理解的，课堂上便有学生提出质疑。

之后他经过仔细思考，为其他同学提供了证明方法，恰恰是第二位同学的做题方式，即“先找到已知平面的垂面，然后根据面面垂直的性质找到垂直于已知平面的直线，从而找到射影和要求的线面角”。

找到角后，两位同学都不约而同地将某几个平面单独抽象出来，用以求各边长进而求出线面角的正弦值，我将这种方法叫做“立体几何平面化”。

在这里，我还补充了一种做法，找到角后，我们还可以利用三面角关系求解，在这道题中具体是这样的ACM SCM SCA ∠⋅∠=∠cos cos cos .
请学生总结定义法求解线面角的具体步骤：
能力提升：
（经过例题的提炼与总结，希望学生能够整理思考，用三种方法来解答以下这道习题） 这道题给了学生15分钟左右思考和同桌间讨论的时间，除个别同学计算错误以外，大多学生都做出了正确解答，但以向量法和等体积法居多，最后的时间几乎都在尝试寻找线面 角。

这里我简单讲述下学生们犯的几点错误和我补充的一些内容：
1.用向量法建系之前，需要证明“两两垂直”；
2.建系方法不同，点的坐标求法不同；
3.等体积法求解线面角在这道题中，可以选取两种不同的底面来求四面体体积；
4.利用定义法求解线面角时，一时找不到垂直于已知
平面的垂线，需要利用面面垂直的性质，先找到一个
与已知平面垂直的平面来辅助，这个平面POM （其
中O ，M 分别为线段AC 和线段BC 的中点）大多学
生找到了。

之后绝大多数学生又束手无策，还有四五
位学生过点A 去作直线PM 的垂线。

这种做法恰恰
是学生经常犯的错误，“垂直于交线则垂直于平面”
要求垂直的这条线必须在其中一个平面内。

只有两位
同学指出了其中的错误，并提出可以将直线AP 也平移。

于是我们又将定义法求解线面角的步骤具体化：
方法总结：
通过例题和提升练习的讲解和总结，同学们对求解线面角的三种方法有了更加系统的认知，在一定程度上能让他们从“无从下手，只会建系”到能“尝试寻找”。

向量法：
结论和已知平面的法向量求已知直线的方向向量建系>⇒<=⇒⇒→
→→→n v n v ,cos sin θ 等体积法：
定义法： 课后巩固：（留给学生课后巩固与思考，留待下节课讲解分析）
如图：在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°， 如图：在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA=PC=AC=2，BC=AB=2，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.。