9.3扭转问题的薄膜比拟法
固体力学发展及分支
固体力学固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。
固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。
在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体。
自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。
人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。
现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。
由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。
固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。
薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。
在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。
固体力学的发展历史萌芽时期远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。
中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。
随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。
尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。
发展时期实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。
在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。
弹塑性力学历年考题(杨整理)
i, j x, y, z ，展开其中的 xy 。 （5 分）
三、 以图示平面应力问题为例，列出边界条件，叙述半逆解法的解题步骤。 （15 分） 。
四、 解释图示受内压 p 作用的组合厚壁筒（半径上的过盈量为 ）的弹性极限载荷为何比 单层厚壁筒大。 （25 分）
五、 说明为何扭转问题可以进行薄膜比拟。计算边长为 a 的正方形截面，材料剪切屈服强 度为 s 的柱体扭转塑性极限扭矩。 （15 分） 六、 解释为何在用最小总势能原理和里兹法求解图示梁的挠度时，可以设位移函数 （15 分） w a1x 2 (l x) a2 x 2 (l 2 x 2 ) ... 取一项近似计算梁的挠度。
Ar 2 ( ) r 2 sin cos r 2 cos 2 tan ( A为常数)
能满足图示楔形悬臂梁问题的边界条件。并利用这个应力函数确定任一点的应力分量。
四、已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为 R，壁厚为 t。圆筒由理想塑性材料制成，其屈服极 限为 s 。薄壁圆筒因受内压而屈服，试确定： （1）屈服时，薄壁筒承受的内压 p； （2） 塑性应力增量之比。 （20 分） 五、求解狭长矩形截面柱形杆的扭转问题：求应力分量和单位长度的扭转角。 （16 分） 六、试用能量法求解图示悬臂梁的挠度曲线。 （提示：设挠度函数为 y A1 cos 其中 A 为待定系数）
2 A r 2 4 sin cos 2(cos 2 sin 2 ) tan 2
2 2 A r 2 sin 2 2 sin cos ) tan r
满足协调方程：
4 (
应力分量：
薄膜比拟法
❖ 薄膜比拟——实验应力分析方法的一种。
❖ 它是根据两种物理现象之间的比拟关系，通过一 种物理现象的观测试验，研究另一种物理现象的方 法。如果两种（或两种以上）物理现象中有可用形 式相同的数学方程描述的物理量，它们之间便存在 比拟关系，比拟法即因此得名。此法的优点是，用 一种较易观测试验的物理现象，模拟另一种难以观 测试验的物理现象，可使试验工作大为简化。在实 验应力分析领域中，常用的有薄膜比拟、电比拟、 电阻网络比拟和沙堆比拟等方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
❖ It can be shown that the differential equation for the of a homogeneous membrane, subjected to uniform lateral pressure and with uniform surface tension and with the same outline as that of the cross section of a bar under torsion, has the same form as that governing the stress distribution over the cross section of a bar under torsion.
❖End
Application to thin-walled, open
cross sections
❖ While the membrane analogy allows the stress distribution on any cross section to be determined experimentally, it also allows the stress distribution on thin-walled, open cross sections to be determined by the same theoretical approach that describes the behavior of rectangular sections. Using the membrane analogy, any thin-walled cross section can be "stretched out" into a rectangle without affecting the stress distribution under torsion. The maximum shear stress, therefore, occurs at the edge of the midpoint of the stretched cross section, and is equal to 3T/bt^2 , where T is the torque applied, b is the length of the stretched cross section, and t is the thickness of the cross section.
固体力学的发展历史
固体力学的发展历史萌芽时期远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。
中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。
随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。
尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。
发展时期实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。
在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。
这期间，固体力学理论的发展也经历了四个阶段：基本概念形成的阶段；解决特殊问题的阶段；建立一般理论、原理、方法、数学方程的阶段；探讨复杂问题的阶段。
在这一时期，固体力学基本上是沿着研究弹性规律和研究塑性规律，这样两条平行的道路发展的，而弹性规律的研究开始较早。
弹性固体的力学理论是在实践的基础上于17世纪发展起来的。
英国的胡克于1678年提出：物体的变形与所受外载荷成正比，后称为胡克定律；瑞士的雅各布第一〃伯努利在17世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；而丹尼尔第一〃伯努利于18世纪中期，首先导出棱柱杆侧向振动的微分方程；瑞士的欧拉于1744年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于1757年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的学者；法国的库仑在1773年提出了材料强度理论，他还在1784年研究了扭转问题并提出剪切的概念。
这些研究成果为深入研究弹性固体的力学理论奠定了基础。
法国的纳维于1820年研究了薄板弯曲问题，并于次年发表了弹性力学的基本方程；法国的柯西于1822年给出应力和应变的严格定义，并于次年导出矩形六面体微元的平衡微分方程。
柯西提出的应力和应变概念，对后来数学弹性理论，乃至整个固体力学的发展产生了深远的影响。
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)ppt课件
s 0
(10-4）
在多连截面的 虽情 然况 应下 力 在 ， 函 每数 一边界上 ，都 但是常 各个常数一般 。并 因不 此相 ，同 只能 一把 个其 边中 界 s取 某 上为 的 零。其他边 s， 界则 上须 的根据位 件移 来单 确值 定条 。
精品课件
11
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1 ) 2 y
2 y 2
0
xyzxy0
(1
) 2
z
2 z 2
0
(1)2yzy2z 0 (1)2zxz2x0
该两式要求：
2yz 0,
2zx 0
最后一式自动满足。
(1)2xyx2y0
xz
将(102)代入，得：
zx
y
(10-2）
yz
zy
x精品课件
相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。
弹性力学讨论自由精品课扭件 转。
4
第十章 等截面直杆的扭转 y
10.1 扭转问题的应力和位移
x
设有等直截面杆，体力可
y
以不计，在两端平面内受有大
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移 10.2 扭转问题的薄膜比拟 10.3 椭圆截面杆的扭转 10.4 矩形截面杆的扭转
精品课件
1
学习指导
扭转问题是空间问题中的一个专门问 题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基 本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立 起来的。扭转问题的应力函数(x，y)， 仍然是二维问题。
硕士生弹塑性力学复习题(2007)
硕士生弹塑性力学复习题一、 判断题1、 对于单个弹性材料组成的物体，其平面应力问题的应力与位移解答都与弹性体的材料常数有关。
（ ）2、 应力轴对称问题的位移解答也一定是轴对称的。
（ ）3、 应变状态，是可能的。
（ ）3,,x y xy Axy By C Dy εεγ===−24、 第一边值问题的所有解答（应力、应变、位移）都是唯一的。
（ ）5、 弹性体保持连续（不发生相互脱离或侵入现象）的条件是满足应变协调方程。
（ ）6、 作用在半无限体上的集中力对离作用力位置较远的地方会产生较大的应力集中。
（ ）7、 对梁端部作用一附加平衡力系，则该力系对作用点附近的应力分布会产生明显的影响。
（ ）8、 弹性薄板上的扭矩可以等效为分布及集中剪力。
（ ）9、 薄板的Navier 解法只适用于四边支承的矩形板。
（ ） 10、薄板的Levy 解法适用于任意支承的矩形板。
（ ）11、满足应力相容方程的一组应力分量，也一定满足平衡方程。
12、最大正应力作用面上的剪应力为零，最大剪应力作用面上的正应力为零。
（ ） 13、应力不变量与坐标系的选择无关。
（ ）14、薄板弯曲时，若满足了自由边合剪力与弯矩等于零的边界条件，则弯矩M 、扭矩xy M 、横向剪力Q 都分别为零。
（ ）15、Tresca 屈服条件是：当最大拉应力达到某一数值时，材料就发生屈服。
（ ） 16、当八面体上的剪应力达到某一数值时，材料就会产生屈服现象。
（ ）二、 填空题1、 弹性力学的基本假设有 ， ， ， ， ， 。
2、弹性力学的三类边值问题是：（1） ，（2） ，（3） 。
3、对于平面应变问题，只需将对应的平面应力问题的解答作材料常数的替换即可，即 E → ，γ→ 。
4、弹性薄板的弹性曲面方程为： 。
5、弹性力学问题有 和 两种基本解法，前者以 为基本未知量，归结为在 条件下求解 ，后者以 为基本未知量，归结为在 条件下求解 。
6、对于平面应变问题z σ= ，z ε= ；对于平面应力问题z σ= ，z ε= 。
作业(4)
第四次作业选择题：1．下列关于柱体扭转基本假设的叙述中，错误的是______。
A. 柱体扭转时，横截面可不再保持为平面；B. 柱体扭转时，横截面上任意线段在坐标面的投影形状和大小均不变；C. 柱体扭转位移与横截面的位置坐标无关；D. 柱体扭转时，横截面形状和大小不变。
2．根据扭转应力函数在横截面边界为零的性质，不能求解的问题是______。
A. 圆形横截面柱体；B. 正三角形截面柱体；C. 椭圆形截面柱体；D. 厚壁圆筒。
3．下列关于柱体扭转应力函数的说法，有错误的是_______。
A. 扭转应力函数必须满足泊松方程；B. 横截面边界的扭转应力函数值为常数；C. 扭转应力函数是双调和函数；D. 柱体端面面力边界条件可以确定扭转应力函数的待定系数。
4．下列关于薄膜比拟方法的说法，有错误的是_________。
A. 薄膜作用均匀压力与柱体扭转有类似的微分方程；B. 柱体横截面切应力方向与薄膜等高线切线方向一致；C. 因薄膜比拟与柱体扭转有相同的微分方程和边界条件，因此可以完全确定扭转应力；D. 与薄膜等高线垂直方向的切应力为零。
5．根据矩形截面柱体推导的开口薄壁杆件扭转切应力，问题的分析基础与___________描述无关。
A. 开口薄壁构件是由狭长矩形组成的；B. 组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形的扭转角相同；C. 组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形承受的扭矩相同；D. 组成开口薄壁杆件的各个狭长矩形承受的扭矩等于外力矩。
计算题1． 试求图示正三角形截面杆件的扭转应力函数，并求最大切应力。
设扭矩为M T2． 求图示相同尺寸开口和闭口薄壁杆件的切应力和扭转刚度，并比较之。
弹性力学第8章—柱体扭转问题
8.2 基本方程
8.2.2 位移法方程
将扭转时u、v、w的表达式代入位移法基本方程 （6.2.4）
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
⎧ ∂e 2 ( ) u=0 λ μ μ + + ∇ ⎪ ∂x ⎪ ∂e ⎪ ( ) λ μ + + μ∇ 2v = 0 ⎨ ∂y ⎪ ⎪(λ + μ ) ∂e + μ∇ 2 w = 0 ⎪ ∂z ⎩
8.1 基本概念 边界条件：
y
n
τ zx
τ zy
ds
τ zy
dF τ zx
x
侧面边界条件：
端部边界条件：
σ x l + τ xy m = 0 ⎫ ⎪ τ yx l + σ y m = 0 ⎬ τ zx l + τ zy m = 0 ⎪ ⎭
l = cos ( n, x ) , m = cos ( n, y )
应力应变关系： 将上述应变表达式代入广义胡克定律，得到
τ zx = Gθ ⎛ ⎜
⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ⎞ − y ⎟ , τ zy = Gθ ⎜ + x ⎟ , σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
平衡方程：
⎫ ∂τ zx =0 ⎪ ∂z ⎪ ∂τ zy ⎪ =0 ⎬ ∂z ⎪ ⎪ ∂τ zx ∂τ zy + = 0⎪ ∂x ∂y ⎭
得到
∂ψ ∂y ∂ψ ∂x dψ + = =0 ∂y ∂s ∂x ∂s ds
y dy ds dx
弹性力学简明教程
弹性力学简明教程主讲：王雪峰邮 箱：***************.cn , 答疑地点：南二楼109第一章 绪论§1-1 弹性力学的学习基础一、 弹性力学课程特点 1. 数学推导频烦 2. 概念抽象3. 解析解——例题偏少，一个好的解析解可能就是一篇好的文章4. 表面上较少联系实际、实则不然 二、 本学科学习内容1. 平面问题：基本理论、直角坐标、极坐标2. 空间问题，尤其扭转问题3. 简单的薄板弯曲问题三、 弹性力学、材料力学、结构力学的区别： 特别提示：弹性力学和材料力学在剪应力方面定义的是完全相反的。
四、 弹性力学的简介 1. 固体力学的重要分支它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
下表为力学种类的一种粗略分类，由此可见弹性力学的学科地位。
它是各种建筑结构分析与计算的理论基石；是材料力学、结构力学的有力支撑；是所有涉及固体的力学学科与应学科研究对象分析对象目标特点与精度材料力学 杆状构件：杆、梁、柱 面上应力、位移 强度、刚度 宏观、近似 结构力学 杆系结构：桁架、刚架面上应力、位移 强度、刚度 宏观、近似 弹性力学 一切弹性范围内的固体连续介质：板/壳/坝/翼/墙空间各点的应力、位移强度、刚度、点的状态细观、较精确用领域包括塑性力学、粘弹塑性力学、断裂损伤力学、应力波理论、细观力学、生物力学、土力学、岩体力学等的出发点，流体力学、空气动力学其实也不例外。
→→→→→→力学种类热力学、电动力学、量子力学、分子动力学等等刚体理论力学气、液空气动力学、激波理论、流体力学弹性力学材料力学结构力学塑性力学静细观力学断裂力学损伤力学固连续统模型岩石力学基本土力学振动理论结构动力学动波动理论粘弹性理论瞬态动力学（爆炸力学）多相高等土力学（固结、渗流、饱和土与非饱和土问题）、生物力学→→细观细观力学、晶格理论宏观天体力学、固体潮、地质力学等 2. 发展简史弹性力学的发展初期，有的学者认为应从Hooke 实验 (1660) 开始到Navier 和 Cauchy 提出弹性力学的基本方程为止，这段时期还没有一套成熟的理论；理论基础建立期是从Navier 和 Cauchy 提出方程 (1821) 起到Green （1838） 和 Thomson (1855) 确定弹性系数为21 个止， 这段时期理论基本成熟，已经把物理问题或工程问题化成数学物理边值问题求解。
弹性力学复习思考题
第二章平面问题的基本理(1) 两类平面问题的特点？(几何、受力、应力、应变等)。
(2) 试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
(3) 在建立平面问题基本方程(平衡方程、几何方程)时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？(4) 位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？(5) 已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？(6) 已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？(7) 什么是线应变(正应变)、剪应变(切应变、角应变)？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？(8) 平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？(9) 边界条件有哪两类？如何列写？第四章平面问题的极坐标解(1 )极坐标解答适用的问题结构的几何形状(?圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等)(2) 极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程)(3) 极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等)(4) 极坐标下应力分量与应力函数间关(5) 极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？(6) 极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点？(7) 圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？(如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数的形式？)(8) 楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？(11) 弹性力学问题为超静定问题，试说明之。
(12) 弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？(13) 弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？(14) 按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程(相容方程)？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？(15 )应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？(16) 常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？(17) 何为逆解法？何为半逆解法？(18) Airy应力函数在边界上值的物理意义是什么？应力函数的导数：_________ 在边界上值的物理意义是什么？x ' y (9 )半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确(11) 定加法的应用。
弹性力学-06-B-1
2、何谓最小余能原理？简述利用该原理进行近似计算的基本思路和方法（10分）
3、说明柱形杆扭转问题的薄膜比拟法的原理（10分）
三．，并指出它们能否满足变形协调条件。（10分）
四．如图所示的简之梁只承受自重的作用，设材料的比重为 ，试检验应力函数
能否成立？并求出各系数及应力分量。（15分）
五．带有圆孔的无限大板，在无穷远处受到均匀拉力 的作用，试用叠加法求出孔边应力。（10分）
已知：两边在均匀拉力 作用下，其孔边应力为 ， ，
六．铅直平面内的正方形薄板，边长为 ，四边固定，如图，只受重力的作用。设 ，试取位移分量的表达式为：
，
，
用伽辽金法求解。（15分）
/
弹性力学
备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）
一．概念题（共20分）
1、一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（4分）
2、如何描绘一点邻近的变形情况？写出各部分的表达式（4分）
3、薄膜比拟法的原理及其结论（4分）
4、叠加原理及其限制（4分）
5、应力集中的几个主要特点（4分）
二．简述题（共30分）
9.3扭转问题的薄膜比拟法
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法学习思路:扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。
薄膜比拟法是由德国力学家Prandtl提出的。
薄膜比拟法的基本思想是：受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件，因此可以通过测试薄膜变形，分析柱体扭转时横截面上的应力分布。
当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
薄膜比拟法的主要作用是定性地分析横截面的扭转应力。
这一方法借助薄膜等高线直观地说明横截面的切应力方向与大小。
学习要点：1. 薄膜比拟；2. 薄膜垂度与扭转应力；3. 薄膜等高线与切应力；扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。
薄膜比拟的基本思想是：假设一个与柱体横截面形状相同的孔，孔上敷以张紧的均匀薄膜，那么，受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件。
因此，可以通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布。
设有一块均匀的薄膜，张在一个与扭转柱体横截面形状相似的水平边界上。
当薄膜承受微小的均匀压力q作用时，薄膜上各点将产生微小的垂度。
将边界所在水平面作为Oxy平面，z轴垂直向下，如图所示。
由于薄膜的柔顺性，可以假设它不承受弯矩，扭矩，剪力和压力，而只承受均匀的张力。
设薄膜内单位宽度的张力为F T。
现在考虑薄膜中微分单元abcd的平衡。
微分单元受的总压力为q d x d y，薄膜的垂度用Z表示。
ad边上的张力为F T d y，它在z轴上的投影为；bc边上的张力也是F T d y，它在z 轴上的投影为；ab边的张力在z轴上的投影为；cd 边上的张力在z轴上的投影为。
根据薄膜微分单元平衡条件,则简化可得这就是薄膜平衡时垂度Z所满足的微分方程，垂度Z在边界上显然是等于零。
固体力学计算方法的发展
固体力学计算方法的发展孙秀山 岑章志 刘应华（北京大学工程力学系, 北京100084）摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。
文中分析了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后总结了这些方法之间的关系。
关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系1 引言固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支[1]。
固体力学的发展首先是建立在弹性理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定理论等得到了进一步的发展[2, 3]。
在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。
这样，对于一个确定的固体力学问题，借助于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依曼（Neumann）边值问题。
对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。
在这些方法的发展中，尤以计算机技术的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4, 5]。
弹性力学知到章节答案智慧树2023年浙江大学
弹性力学知到章节测试答案智慧树2023年最新浙江大学第一章测试1.从下面哪个假设出发（），可以认为物体内部的应力、应变和位移等都是连续的。
参考答案:连续性假设2.理想弹性假设只考虑应力和应变成线性关系的情形。
（）参考答案:对3.物体在外界荷载作用下发生变形，当外界荷载被消除后，该变形可完全恢复的性质称为弹性。
（）参考答案:对4.根据连续性假设，弹性力学问题的应力、应变和位移可表示成坐标的连续函数。
（）参考答案:对5.在研究下面对象的宏观力学行为时，各向同性假设不成立的是（）。
参考答案:纤维增强复合材料;木材6.下面属于研究弹性力学问题基本假设的是（）。
参考答案:均匀性假设;连续性假设;完全弹性假设;各向同性假设第二章测试1.已知矢量，张量，按照求和约定，表达式的值是（）。
参考答案:22.已知物体内一点的应力张量为，下面叙述正确的是（）。
参考答案:三个主应力分别是（3，0，-2），最大切应力 2.53.在给定应力状态下，一点的主应力方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.物体内一点的主应力仅与该点的应力状态有关，与所选取的参考坐标系无关。
（）参考答案:对5.过一点的任意截面上的应力分量相互独立。
（）参考答案:错6.如图所示三角形水坝刚性固结在基础上，坝高为h，坝基底宽为l，水位线离坝顶O点距离为h0，水的密度为，若略去坝体自重，下面关于坝体应力边界条件描述正确的是（）。
参考答案:OB边上各点的应力分量有：当时，;OA边上各点的应力分量有：;OA边上各点的应力分量有：;OB边上各点的应力分量有：当时，第三章测试1.已知位移场为,,，对应的应变张量为（）。
参考答案:2.下面的应变分量中，哪个可能发生（）。
参考答案:3.在一定的应变状态下，物体内任一点的三个应变主方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程是保证物体连续的充分必要条件。
（）参考答案:对5.下面关于三个主应变叙述正确的是（）。
历史人物介绍之二
历史人物介绍之二托里拆利（1608-1647）流体力学的奠基人，是17世纪西方的一位颇负盛名的科学家。
托里拆利出生在意大利华耶查城的富裕的贵族家庭，他从小就受到了良好的数学教育．托里拆利的父亲是一位纺织业主，后来由于经营情况不佳，日益衰落．父亲为了摆脱窘境，被迫把托里拆利送给伯父雅可布抚养．他在十七八岁时，卓越的数学才能已初露锋芒．1627年，伯父在朋友们的劝说下，把托里拆利送到罗马，拜伽利略的得意门生、数学家和水力学工程师卡斯特里为师，继续深造．卡斯德利是当时远近闻名的数学家和水利工程师，他在数学领域内很多方面都有卓著的成就，还为水力学创立了科学的基础。
1628年，卡斯特出版了一本有关流体力学的著作．托里拆利仔细研读了导师的名著，还做了一系列实验，逐个验证书中的重要结论．他发现，书中关于液体从容器底部小孔流出的速度和小孔离液面高度成正比的结论，和实验不符．经过反复测量和计算，他总结出水从容器底部小孔流出的速度和水从小孔上方的水面高度自由下落到小孔时候的速度相等，进一步得到了这个速度和小孔上方水面高度的平方根成正比的正确结论．托里拆利热爱和尊敬自己的导师，但是他并不盲从．他决定把自己的发现整理成文，公开发表，来纠正导师的这个学术错误．胸怀宽广的卡斯特里看到这篇文章以后，十分高兴，认定托里拆利大有培养和发展前途，立即决定让他当自己的秘书，在学术上给予他指导。
托里拆利深刻研究了伽利略的《两种新科学的对话》一书．从中获得了有关力学原理的发展的很多启发．1641年，托里拆利出版了《论重物的运动》一书，企图对伽利略的动力学定律作出新的自己的结论．卡斯德利在一次拜访伽利略时，将托里拆利的论著给伽利略看了，还热情推荐了托里拆利．伽利略看完托里拆利论著之后，表示非常欣赏他的卓越见解，便邀请他前来充当助手．1614年，托里拆利来到佛罗伦萨，会见了伽利略，此时伽利略已双目失明，终日卧在病床上．在他生命的最后三个月中，托里拆利和他的学生维维安尼担任了伽利略口述的笔记者，成了伽利略的最后的学生。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§9.3 扭转问题的薄膜比拟法
学习思路:
扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。
薄膜比拟法是由德国力学家Prandtl提出的。
薄膜比拟法的基本思想是：受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件，因此可以通过测试薄膜变形，分析柱体扭转时横截面上的应力分布。
当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
薄膜比拟法的主要作用是定性地分析横截面的扭转应力。
这一方法借助薄膜等高线直观地说明横截面的切应力方向与大小。
学习要点：
1. 薄膜比拟；
2. 薄膜垂度与扭转应力；
3. 薄膜等高线与切应力；
扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。
薄膜比拟的基本思想是：假设一个与柱体横截面形状相同的孔，孔上敷以张紧的均匀薄膜，那么，受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件。
因此，可以通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布。
设有一块均匀的薄膜，张在一个与扭转柱体横截面形状相似的水平边界上。
当薄膜承受微小的均匀压力q作用时，薄膜上各点将产生微小的垂度。
将边界所在水平面作为Oxy平面，z轴垂直向下，如图所示。
由于薄膜的柔顺性，可以假设它不承受弯矩，扭矩，剪力和压力，而只承受均匀的张力。
设薄膜内单位宽度的张力为F T。
现在考虑薄膜中微分单元abcd的平衡。
微分单元受的总压力为q d x d y，薄膜的垂度用Z表示。
ad边上的张力为F T d y，它在z轴上的投影为；
bc边上的张力也是F T d y，它在z 轴上的投影为；
ab边的张力在z轴上的投影为；
cd 边上的张力在z轴上的投影为。
根据薄膜微分单元平衡条件,则
简化可得
这就是薄膜平衡时垂度Z所满足的微分方程，垂度Z在边界上显然是等于零。
有
Z=0
垂度Z所满足的微分方程与扭转应力函数相同，均为泊松方程，只是常数不同。
下面考察薄膜垂度Z所满足的边界条件。
讨论薄膜所围的体积，有上述分析表明，薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式，边界条件的差
别仅是一个常数。
虽然确定薄膜体积与扭矩的关系仍然是困难的，但是通过薄膜曲面，可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布。
由于薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式，其差别仅是一个常数。
因此我们可以通过薄膜曲面，形象地表示出横截面上的应力分布情况。
我们可以想象一系列的和Oxy平面平行的平面与薄膜曲面相截，得到一系列曲线，显然这些曲线是薄膜的等高线。
对于薄膜的等高线上的任意点的垂度Z为常数，所以，Z对等高线方向的导数为零，因此，，这就是说。
将扭转应力分量计算公式中的坐标转换成曲线坐标，可以写出切应力分别沿等高线的切线和法线方向的分量表达式：
上式表明柱体扭转时，横截面的切应力的方向总是沿着薄膜上对应点的等高线的切线方向，切应力的数值与等高线的法线导数成正比，如图所示。
因此，薄膜的等高线，对应于扭转杆件横截面上这样的曲线，各点的切应力均与曲线相切。
因此这一曲线称为切应力线。
这个结论对于研究柱体扭转时横截面上的应力分布是很重要的。
因为，虽然我们很难完全通过薄膜比拟测定柱体扭转时横截面的应力分布，但是通过这种比拟，至少可以定性的描述出横截面上应力分布的大致情况。
例如，要知道横截面上哪一点的应力最大，只要看一下对应的薄膜上哪一点的斜率最大。
也就是说，薄膜上斜率最大的点，就是对应横截面上切应力最大的作用点。
由此可知，最大切应力一定发生在横截面的周界上，而且横截面的周界是一条切应力线。
§9.4 椭圆截面杆的扭转
学习思路:
对于自由扭转问题的应力解法，椭圆横截面柱体扭转问题是最成功的应用。
本节通过椭圆截面柱体的扭转问题，对应力解法作全面介绍。
应力解法的关键是应力函数的确定。
根据边界应力函数值为零，椭圆横截面柱体扭转的应力函数是容易确定的。
对于待定常数根据基本方程，即泊松方程确定。
端面面力边界条件的应用确定了外力偶与柱体应力的关系。
通过这个条件，可以建立待定常数与外力偶的关系。
应力函数确定后，可以确定横截面切应力以及最大切应力关系式。
椭圆形横截面的最大切应力在长边的中点。
本节最后讨论横截面的翘曲，即扭转变形。
对于非圆横截面柱体，在扭矩作用下，横截面将发生翘曲。
因此对于非圆横截面柱体的扭转，平面假设不能使用。
学习要点：
1. 椭圆截面直杆应力函数；
2. 椭圆截面切应力；
3. 椭圆截面翘曲；
设有椭圆截面直杆，它的横截面为椭圆边界，椭圆的长短半轴分别为a和b，
如图所示。
椭圆方程可以写作
根据自由扭转问题的基本方程，应力函数在横截面的边界上应该等于零，所以假设应力函数为：
这一应力函数满足 c=0 。
将上述应力函数代入基本方程，则
即
则扭转基本方程满足。
将应力函数代入端面边界条件公式，则
设
计算可得。
回代可得应力函数表达式
将上述应力函数代入应力分量计算公式，可以得到横截面应力分量为
横截面上的任意一点的合成切应力为
根据薄膜比拟，最大切应力发生在椭圆边界上，边界切应力最大值在椭圆短轴处，而最小值在椭圆的长轴处，如图所示。
有
下面讨论椭圆截面杆扭转时横截面的翘曲，将应力分量代入翘曲函数公式，则将上面两式分别对x和y积分，则
比较上述两式，必然有f1(x) = f1(x)＝k(常数)，所以
其中，k 表示横截面沿z方向的刚体平动，对变形没有影响，因此可以略去。
所以
上式表达了横截面在变形后并不是保持为平面，而是翘曲成为曲面，成为双曲抛物面，
如图所示。
曲面的等高线在Oxy面上的投影是双曲线，而且这些双曲线的渐近线是x轴和y 轴。
只有当a=b时，即圆截面杆，才有w=0，横截面保持为平面。