公选课(3)-空间直线及其方程-点向式方程、和参数方程

第五节 空间直线及方程

与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然，直线的方向向量有无穷多个。

有立体几何知道，过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条已知直线的直线。下面我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。

设直线L 过点(){}0000,,, ,n ,p M x y z s m =是直线L 的方向向量（图8-23）。设()

,y ,z M x 是直线L 上任意一点，则{}0000,,M M x x y y z z =--- ，且0//M M s

。由两向量平行的充

要条件可知

00

x x y y z z m

n

p

---== （8.5.1）

方程组（8.5.1）称为直线的点向式方程或标准方程（当m 、n 、p 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）。 若直线L 的方程为

00

x x y y z z m

n

p

---==

平面π的方程为

0Ax By Cz D +++=

则直线L 与平面π 平行的充要条件是0mA nB pC ++=；直线L 与平面π 垂直得充要条件是

m n p A B C

==

在直线方程（8.5.1）中，记其比值为t ，则有

000x x m t

y y nt z z pt

=+⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

（8.5.2） 这样，空间直线上动点M 的坐标 x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实数值时，由（8.5.2）所确定的点() , ,M x y z 就描出来直线。形如（8.5.2）的方程称为直线的参数方程，t 为参数。

例1 求过点()2 ,0 ,3M 且垂直于平面π450x y z +-+=的直线方程。 解 设所求直线方程为

23x y z m

n p

--==

由于直线垂直于平面π，所求可取平面π 的法向量{}4 ,1 ,-1n = 为直线的方向向量s ，

即

{}{} ,n ,p 4 ,1 ,-1s m ==

故所求的直线方程为

234

11

x y z --==-

例2 求过点()()11112222 ,y ,z ,y ,z M x M x 的直线方程。 解 设所求直线方程为

11

1

x x y y z z m

n

p

---==

由于直线过12 M M ，所以可取向量{}12212121 , ,z M M x x y y z =---

为直线的方向向量 。

故所求直线方程为

11121

21

21x x y y z z x x y y z z ---==

---

例3 求过点()1 ,-3 ,2 且平行于两平面234

1

1

x y z --==

- 的直线方程。

解 设所求直线方程为

132x y z m

n

p

-+-=

=

因为所求直线平行于两平面，故直线的方向向量s 垂直于两平面的法向量

{}{}123 , -1 ,5 1 ,2 ,-3n n ==及 ，所以可取

{}12 j k

,n ,p 3 -1 51 2 -3

i s m n n ==⨯=

7147i j k

=-++

因此所求直线方程为

1327

147x y z -+-==-

即

1321

2

1

x y z -+-=

=

-

例4

求直线1232x t

y t z t =-⎧⎪

=+⎨⎪=-⎩

与平面250x y z +--= 的交点。

解 设所求交点为()x ,y ,z P ，显然P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程.解方程组

1232250

x t

y t

z t x y z =-⎧⎪

=+⎪⎨

=-⎪⎪+--=⎩ 得t=4 ，带入参数方程得3,6,5x y z =-==- 。即交点P 的坐标为()3,6,5-- 。 例5 求点()1 ,1 ,4P 到直线L ：

2341

1

2

x y z ---== 的距离。

解： 先求过点()1 ,1 ,4P 且垂直于直线L 的平面π的方程，显然，平面π的法向量为{}1 ,1 ,2n = ，则平面方程为 ()()()1124

0x y z -+-+-=

(1) 即 2100

x y z ++-= 再求平面 与直线L 的交点Q.由于L 的参数方程为

2342x t

y t z t =+⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

(2) 将（2）代入（1），得 630t += 即 12

t =-

（3）

将（3）代入（2）得点Q 的坐标为35,,3

2

2

x y z =

=

= .所以点P 到L 的距离

2

d PD ==

=。

习 题 8-5

将63—66题中的直线方程化为参数方程及一般方程。 63.

2312

3

x z y -+=+=

64. 2134x y z -=-= 65. 521102x y z ++-==

66.

120

2

x y z -+==

将67—70题中直线的一般方程化为点向式方程及参数方程。